解析几何学案(九)专题:椭圆中最值问题求解策略


营口开发区第一高中高二数学学案(九)椭圆中最值为题求解策略 2015 年 11 月

椭圆中的最值问题是比较重要的课题,它主要体现了转化思想及数形结合的应用,涉及到的知 识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。能够考查学生的 分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。椭圆中的最值问题通常有两类: 一类是有关长度、面积等的最值问题;一类是椭圆中有关元素的最值问题。这些问题往往通过 回归定义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式知识,以及观形、设参、 转化、替换等途径来解决。 策略一:定义法 例 1、 (1)P(-2, 3 ),F2 为椭圆 的最大值和最小值。 F1 F2 M2

策略二:二次函数法 例 2、求定点 A(a,0)到椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上的点之间的最短距离。 2

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,点 M 在椭圆上移动,求︱MP︱+︱MF2︱ 25 16
M1

结论 3: 椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点 M(x,y)到定点 A(m,0)或 B(0,n)距离的最值问题, 可以用两点间 a2 b2

x2 y2 结论 1:设椭圆 2 ? 2 ? 1 的左右焦点分别为 F1、F2, P(x0,y0)为椭圆内一点,M(x,y)为椭圆上 a b
任意一点,则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为 2a+︱PF1︱,最小值为 2a–︱PF1︱。 (2)P(-2,6),F2 为椭圆 和最小值。

距离公式表示︱MA︱或︱MB︱,通过动点在椭圆上消去 y 或 x,转化为二次函数求最值,注意 自变量的取值范围。

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,点 M 在椭圆上移动,求︱MP︱+︱MF2︱的最大值 25 16

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭 演练:点 A、B 分别是椭圆 36 20
圆上,且位于 x 轴上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的 一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值。

结论 2:设椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1、F2, P(x0,y0)为椭圆外一点,M(x,y)为椭圆上 a2 b2

任意一点,则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为 2a+︱PF1︱,最小值为 PF2。 演练:已知点 F 是椭圆 求|MA|+|MF|的最小值。 y M F’ A F M0 x
1

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,M 是这椭圆上的动点,A(2,2)是一个定点, 25 9

营口开发区第一高中高二数学学案(九)椭圆中最值为题求解策略 2015 年 11 月

策略三:三角函数法 例 3、椭圆

策略五:均值不等式法

x2 ? y 2 ? 1 上的点 M(x,y)到直线 l:x+2y=4 的距离记为 d,求 d 的最值。 4

例 5、 椭圆上

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到两焦点距离之积为 m, 则 m 取最大值时, p 点的坐标是( 25 9

)

A (5,0)或(? 5, B 0) ( ,

5 3 3 5 3 3 )或( , ? ) 2 2 2 2 5 3 3 5 3 3 , )或(? ,) 2 2 2 2

结论 4:若椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方 a2 b2

(0, 3)或(0, ? 3) C D (

程,统一变量转化为三角函数求最值。 策略六:数形结合法 演练:求椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 l : x ? 2 y ? 12 ? 0 的最大距离和最小距离. 16 12

例 5 已知

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,在直线 l : x ? y ? 6 ? 0 上找一点 M,求以 F1、F2 为焦 9 5

点,通过点 M 且点 M 到两焦点的距离之和最小时的椭圆方程. y F1 策略四:判别式法 F1’ o F2 x

x2 ? y 2 ? 1 上的点 M(x,y)到直线 l:x+2y=4 的距离记为 d,求 d 的最值。 例 4、椭圆 4

M

x2 y2 ? ? 1 的焦点为焦 演练:在直线 l : x ? y ? 9 ? 0 上任意取一点 M ,经过 M 点且以椭圆 12 3
点作椭圆,问当 M 在何处时,所作椭圆的长轴最短,并求出最短长轴为多少?

结论 5:椭圆上的点到定直线 l 距离的最值问题,可转化为与 l 平行的直线 m 与椭圆相切的问题, 利用判别式求出直线 m 方程,再利用平行线间的距离公式求出最值。

2

营口开发区第一高中高二数学学案(九)椭圆中最值为题求解策略 2015 年 11 月

专题:椭圆中最值问题求解策略
椭圆中的最值问题是比较重要的课题,它主要体现了转化思想及数形结合的应用,涉及到的知 识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。能够考查学生的 分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。椭圆中的最值问题通常有两类: 一类是有关长度、面积等的最值问题;一类是椭圆中有关元素的最值问题。这些问题往往通过 回归定义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式知识,以及观形、设参、 转化、替换等途径来解决。 M1 策略一:定义法

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,M 是这椭圆上的动点,A(2,2)是一个定点, 演练:已知点 F 是椭圆 25 9
求|MA|+|MF|的最小值。 解 : 设 F 为 椭 圆 的 左 焦 点 , 则 |MF|+|MF’|=2a=10,


要使

y M F


|MA|+|MF|最小,当 A 在椭圆外时,可为 A、F 的连接与椭圆的交 A F M0 x 点, 而使|MA|+|MF|的最小值等于|AF|, 当 A 在椭圆内部时 (见图) , ∴ |MA|+|MF|=|MA|+(2a-|MF’|)=2a-(|MF’|-|MA|), |AF’|= ∵ |MF’|-|MA| ≤

x y ? ? 1 的右焦点,点 M 例 1、 (1)P(-2, 3 ),F2 为椭圆 25 16

2

2

F1 F2

(2 ? 4) 2 ? ( 2 ? 0) 2 ? 2 10

即 |MF’|-|MA| 的 最 大 值 为

M2 在椭圆上移动,求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值。 分析:欲求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值可转化为距离差再求。 由此想到椭圆第一定义︱MF2︱=2a-︱MF1︱, F1 为椭圆的左焦点。 o 解:︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱连接 PF1 延长 PF1 交椭圆于点 M1, 延长 F1P 交椭圆于点 M2 由三角形三边关系知–︱PF1︱ ? ︱MP︱-︱MF1︱ ? ︱PF1︱ 当且仅当 M 与 M2 重合时取右等号、M 与 M1 重合时取左等号。因为 2a=10, ︱PF1︱=2 所以(︱MP︱+︱MF2︱)max=12, (︱MP︱+︱MF2︱)min=8 结论 1:设椭圆
2 2

2 10 (M 在 M0 处取得) ,∴|MA|+|MF|的最小值为 2a ? 2 10 ? 10 ? 2 10 .
评注:这个问题是用椭圆第一定义中的数量关系进行转换,使问题化归为几何中求最大(小) 值的基本模式,主要是利用三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边等结论. 策略二:二次函数法

x y ? 2 ? 1 的左右焦点分别为 F1、F2, P(x0,y0)为椭圆内一点,M(x,y)为椭 2 a b

x2 ? y 2 ? 1 上的点之间的最短距离。 例 2、求定点 A(a,0)到椭圆 2
分析:在椭圆上任取一点,由两点间距离公式表示︱PA︱,转化为 x,y 的函数,求最小值。 解:设 P(x,y)为椭圆上任意一点,︱PA︱ =(x-a) +y =(x-a) +1方程知 x 的取值范围是[- 2 , 2 ]
2 2 2 2

圆上任意一点,则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为 2a+︱PF1︱,最小值为 2a–︱PF1︱。 (2)P(-2,6),F2 为椭圆 和最小值。 分析:点 P 在椭圆外,PF2 交椭圆于 M,此点使︱MP︱+︱MF2︱值最小,求最大值方法同例 1。 解:︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱连接 PF1 并延长交椭圆于点 M1,则 M 在 M1 处时︱MP ︱-︱MF1︱取最大值︱PF1︱。∴︱MP︱+︱MF2︱最大值是 10+ 37 ,最小值是 61 。 (1) 若︱a︱≤

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,点 M 在椭圆上移动,求︱MP︱+︱MF2︱的最大值 25 16

1 2 1 x = ( x ? 2 a ) 2 +1-a2 由椭圆 2 2

2 ,则 x=2a 时︱PA︱min= 1 ? a 2 2

(2) 若 a>

2 ,则 x= 2 时︱PA︱min=︱a- 2 ︱ 2 2 ,则︱PA︱min=︱a+ 2 ︱ 2

结论 2:设椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1、F2, P(x0,y0)为椭圆外一点,M(x,y)为椭圆上 a2 b2

(3) 若 a<-

任意一点,则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为 2a+︱PF1︱,最小值为 PF2。 结论 3: 椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点 M(x,y)到定点 A(m,0)或 B(0,n)距离的最值问题, 可以用两点间 a2 b2

3

营口开发区第一高中高二数学学案(九)椭圆中最值为题求解策略 2015 年 11 月

距离公式表示︱MA︱或︱MB︱,通过动点在椭圆上消去 y 或 x,转化为二次函数求最值,注意 自变量的取值范围。 演练: (05 年上海)点 A、B 分别是椭圆 当 sin (? ?

?
4

) =1 时,dmin=

4 5 ? 2 10 , 5

当 sin (? ?

?
4

) =﹣1 时,dmax=

4 5 ? 2 10 5

x y ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点, 36 20

2

2

结论 4:若椭圆

点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点, M 到直线 AP 的距离等于 | MB | , 求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值。 分析:解决两点距离的最值问题是给它们建立一种函数关系,因此本题两点距离可转化成 二次函数的最值问题进行求解。 解: (1)略 (2) 直线 AP 的方程是 x - 3 y +6=0。 设点 M( m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是

x2 y2 ? ? 1 上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参 a2 b2

数方程,统一变量转化为三角函数求最值。

演练:求椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 l : x ? 2 y ? 12 ? 0 的最大距离和最小距离. 16 12

m?6 2



? x ? 4 cos? x2 y2 ? ? 1 的参数方程为 ? 解:椭圆 (0 ? ? ? 2? ) 16 12 ? y ? 2 3 sin ?
则椭圆上任意一点 P 坐标为 P(4 cos? ,2 3 sin ? ) ,

于是

m?6 2

= m ? 6 ,又-6≤ m ≤6,解得 m =2。

设椭圆上的点( x , y )到点 M 的距离 d

5 4 9 d 2 ? ( x ? 2 )2 ? y 2 ? x ?4 x2 ?4 ?2 0 ? x2 ? (x ? 2) , ?1 5 9 9 2 9 由于-6≤ m ≤6, ∴当 x = 时,d 取得最小值 15 2
点评:对于此类最值问题关键是如何将点点之间的最值问题转化成我们常见函数——二次 函数的最值问题求解。 策略三:三角函数法 例 3、椭圆

∴P 到直线的距离 d ?

4 cos? ? 4 3 ? 12 5

=

8 1 2 3 8 ? 3 cos? ? sin ? ? = sin( ? ? ) ? 2 2 6 2 5 2 5
?
6 ??) ?1

? 0 ? ? ? 2?
值,即 d 最大值

??

11 ? ? ? ? ?? ? 6 6 6

??1 ? sin(

?当 sin(

?
6

? ? ) ? ?1时 ,d 取最大

x2 ? y 2 ? 1 上的点 M(x,y)到直线 l:x+2y=4 的距离记为 d,求 d 的最值。 4

4 5 ? ? 4 5 ;?当 sin( ? ? ) ? 1时 ,d 取最小值,即 d 最小值 ? 6 5
x2 y2 ? 2 ? 1 类似于三角中的同角的平方关系 cos2 ? ? sin 2 ? ? 1,故经 2 a b

分析:若按 d=

x ? 2y ? 4 5

转化为 x 或 y 的函数就太麻烦了,为了统一变量,可以用椭圆的参

评析:因为椭圆方程为

数方程,即三角换元。 解:d=

x ? 2y ? 4 5



? x ? 2 cos? x ? y 2 ? 1 ∴令 ? ?? ? R ? 4 ? y ? sin ?
2

常用三角代换转化为角的运算,对于解题往往会收到奇效,但一定要注意角的范围. 策略四:判别式法 例 4、椭圆

则 d=

2 cos? ? 2 sin ? ? 4 5

=

2 5

2 sin(? ?

?
4

)?2

x2 ? y 2 ? 1 上的点 M(x,y)到直线 l:x+2y=4 的距离记为 d,求 d 的最值。 4

分析:把直线平移使其与椭圆相切,有两种状态,一种可求最小值,另一种求最大值。 解。令直线 m:x+2y+c=0 将 x=﹣2y﹣c 代入椭圆方程整理得 8y2+4cy+c2-4=0,由△=0 解得 c=
4

营口开发区第一高中高二数学学案(九)椭圆中最值为题求解策略 2015 年 11 月

± 2 2 , c=- 2 2 时直线 m:x+2y- 2 2 =0 与椭圆切于点 P,则 P 到直线 l 的距离为最小值,

y F1 F1’ o F2 x

解:F1(-2,0) 、F2(2,0) ,F1 关于 l 的对称点为 F’1(-6,-4),

2a ? F1' F2 ? 4 5 ,c=2, 连接 F’1 、 F2 交 l 于点 M 即为所求,
b2=16,所求椭圆为

且最小值就是两平行直线 m 与 l 的距离,所以 dmin=

4 5 ? 2 10 5

c= 2 2 时直线 m:x+2y+ 2 2 =0 与椭圆切于点 Q,则 Q 到直线 l 的距离为最大值,且最大值

M

x2 y2 ? ? 1. 20 16

就是两平行直线 m 与 l 的距离,所以 dmax=

4 5 ? 2 10 。 5

评注:对称是数学美的一个非常重要的方面,充分发掘几何图形的对称性,利用数形结合的思 想,可以把复杂的运算简单化.

结论 5:椭圆上的点到定直线 l 距离的最值问题,可转化为与 l 平行的直线 m 与椭圆相切的 问题,利用判别式求出直线 m 方程,再利用平行线间的距离公式求出最值。 说明:有些题目可以用几种不同的方法去解决,我们必须清楚它们的最优解法,以便提高做题 速度及准确率。 策略五:均值不等式法

演练:如图,在直线 l : x ? y ? 9 ? 0 上任意取一点 M ,经过 M 点且以椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦 12 3

点为焦点作椭圆,问当 M 在何处时,所作椭圆的长轴最短,并求出最短长轴为多少? 分析: 要使所作椭圆的长轴最短, 当然想到椭圆的定义。 基本的解题思路如下: 长轴最短 ? ) 三点一直线 ? 寻求对称 ? 对称变换。在一系列的变化过程中巧妙的运用对称,使我们找到一 种简明的解题方法。通过此对称性主要利用 | NF1 | ? | NF2 |?| F2 F1 |
/

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到两焦点距离之积为 m, 例 5、 椭圆上 则 m 取最大值时, p 点的坐标是( 25 9

A

(5,0)或(? 5, 0)

B

5 3 3 5 3 3 ( , )或( , ? ) 2 2 2 2

C

(0, 3)或(0, ? 3)

y 解:椭圆的两焦点分别为 F1 (-3,0)、 F2 (3,0),
' ' 作 F1 关于直线 l 的对称点 F1 ,则直线 F1 F1 的方程为 x ? y ? ?3

F

' 1

N M P F1 O

l

D (

5 3 3 5 3 3 , )或(? ,) 2 2 2 2

由方程组 ? 评析:因为椭圆第一定义为|PF1|+|PF2|=2a, 2a 为定值,这正符合均值不等式和一定时,积有最 大值这个结论 . 因而由 |PF1|+|PF2|=10, 所以 PF1 ? PF2 ? 2 PF1 ? PF2 |PF1|=|PF2|时,|PF1|· |PF2|=m 取最大值,故 P 是短轴的端点时,m 最大。选 C 策略六:数形结合法 ,所以当

? x ? y ? ?3 ? x ? y ? ?9

得 P 的坐标(-6,3),

F2

x

' ' 由中点坐标公式得的 F1 坐标(-9,6),所以直线 F2 F1 的方程 x ? 2 y ? 3 。

解方程组 ?

?x ? 2y ? 3 ? x ? y ? ?9

' 得 M 点坐标(-5,4)。由于 F1 F2 ? 180 ? 2a ? 6 5 ,

点评:对于此类最值问题是将所求的最值转化成三角形两边之和大于第三边或两点连线最 短、垂线段最短的思想。

例 5 已知

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,在直线 l : x ? y ? 6 ? 0 上找一点 M,求以 F1、F2 为焦 9 5

点,通过点 M 且点 M 到两焦点的距离之和最小时的椭圆方程.
5


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