高中数学(北师大版)必修五教案:1.4 数列创新题的基本类型及求解策略


数列创新题的基本类型及求解策略
高考创新题,向来是高考试题中最为亮丽的风景线.这类问题着重考查观察发 现,类比转化以及运用数学知识,分析和解决数学问题的能力.当然数列创新题 是高考创新题重点考查的一种类型.下举例谈谈数列创新题的基本类型及求解策 略. 一、创新定义型 例 1.已知数列 {an } 满足 an ? logn?1 (n ? 2) ( n ? N? ) ,定义使 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak 为整数 的数 k 叫做企盼数,则区间 [1, 2005] 内所有的企盼数的和 M ? ________. 解:∵ an ? logn?1 (n ? 2) ( n ? N? ) , ∴ a1a2 a3 ......ak ? log2 3 ? log3 4 ? ? ? logk ?1 (k ? 2) ? log2 (k ? 2) . 要使 log2 (k ? 2) 为正整数,可设 k (n) ? 2 ? 2n?1 ,即 k (n) ? 2n?1 ? 2 ( n ? N? ) . 令 1 ≤ 2n ?1 ? 2 ≤ 2005 ? 1 ≤ n ≤ 9 ( n ? N? ) . 则区间 [1, 2005] 内所有企盼数的和
M ? ? k (n) ? ? (2n ?1 ? 2) ? (22 ? 2) ? (23 ? 2) ? (24 ? 2) ? ....... ? (210 ? 2)
n ?1 n ?1 9 9

? (22 ? 23 ? 24 ? ....... ? 210 ) ? 2 ? 9 ?

22 (29 ? 1) ? 18 ? 2056 , 2 ?1

∴ M ? 2056 . 评析: 准确理解企盼数的定义是求解关键.解题时应将阅读信息与所学知识结合起 来,侧重考查信息加工能力. 二、性质探求型 例 2.已知数列 {an } 满足 an ? ?
?n n ? 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,则 a2005 ? ______. n≥7 ??an ?3

解:由 an ? ?an ?3 , n ≥ 7 知, an?6 ? ?an?3 ? an . 从而当 n ≥ 6 时,有 an ? an?6 ,于是知 a2005 ? a334?6?1 ? a1 ? 1 . 评析: 本题主要通过对数列形式的挖掘得出数列特有的性质,从而达到化归转化解决 问题的目的.其中性质探求是关键.

三、知识关联型 例 3.设 F 是椭圆
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,且椭圆上至少有 21 个不同的点 7 6
3

P F1 , P F 2 ,P F i (i ? 1, 2, 3, ?) ,使 P

, ? 组成公差为 d 的等差数列,则 d 的取值范围

为_______. 解析:由椭圆第二定义知
Pi F Pi Pi?

? ? e ? PF ? e PP i i i ,这些线段长度的最小值为右

焦点到右顶点的距离即 FP 1 ? 7 ? 1 ,最大值为右焦点到左顶点的距离即
PF21 ? 7 ? 1 ,故若公差 d ? 0 ,则 7 ? 1 ? 7 ? 1 ? (n ? 1)d ,∴ n ?
2 ? 1≥ 21 , d

∴0?d ≤

1 1 .同理,若公差 d ? 0 ,则可求得 ? ≤ d ? 0 . 10 10

评析: 本题很好地将数列与椭圆的有关性质结合在一起,形式新颖,内容深遂,有一 定的难度,可见命题设计者的良苦用心.解决的关键是确定该数列的最大项、最 小项,然后根据数列的通项公求出公差的取值范围. 四、类比联想型 例 4.若数列 {an }(n ? N? ) 是等差数列,则有数列 bn ?
a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an (n ? N? ) 也 n

是等差数列;类比上述性质,相应地:若数列 {cn } 是等比数列,且 cn ? 0 ,则有数 列 dn ? _______也是等比数列. 解析: 由已知“等差数列前 n 项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列 前 n 项的几何平均值也应该是等比数列”不难得到 dn ? n c1c2c3 ?cn 也是等比数列. 评析: 本题只须由已知条件的特征从形式和结构上对比猜想不难挖掘问题的突破口. 五、规律发现型 例 5.将自然数 1, 2, 3, 4, ? 排成数陈(如右图) ,在 2 处转第一个弯,在 3 转第 二个弯,在 5 转第三个弯,…. ,则第 2005 个转弯处的数为____________.

21―22 ―23―24―25-26 | | 20 7 ― 8 ―9 ―10 27 | | | 19 6 1 ―2 11 …… | | | | 18 5 ― 4 ―3 12 | | 17―16 ―15―14 ―13

解: 观察由 1 起每一个转弯时递增的数字可发现为“ 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, ? ”. 故 在第 2005 个转弯处的数为: 1 ? 2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? 1002) ? 1003 ? 1006010 . 评析: 本题求解的关键是对图表转弯处数字特征规律的发现.具体解题时需要较强的 观察能力及快速探求规律的能力.因此,它在高考中具有较强的选拔功能. 六、图表信息型 例 6.下表给出一个“等差数阵”:
4
7 7

( ( )( )( ……
ai 3

)( )( )( )( ……
ai 4

)( )( )( )( ……
ai 5

) …… ) …… ) …… ) …… …… …… ……

a1 j a2 j a3 j a4 j

…… …… …… …… …… …… ……

12

( ( ……
ai1

)( )( ……
ai 2

……
aij

……

……

……

……

……

……

其中每行、每列都是等差数列, aij 表示位于第 i 行第 j 列的数. ⑴写出 a45 的值; ⑵写出 aij 的计算公式; ⑶证明: 正整数 N 在该等差数列阵中的充要条件是 2 N ? 1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积. 解:⑴ a45 ? 49 (详见第二问一般性结论) . ⑵该等差数阵的 第一行是首项为 4 ,公差为 3 的等差数列: a1 j ? 4 ? 3( j ? 1) ;

第二行是首项为 7 ,公差为 5 的等差数列: a2 j ? 7 ? 5( j ? 1) ,……, 第 i 行是首项为 4 ? 3(i ? 1) ,公差为 2i ? 1 的等差数列, 因此 aij ? 4 ? 3(i ? 1) ? (2i ? 1)( j ? 1) ? 2ij ? i ? j ? i(2 j ? 1) ? j ; ⑶必要性:若 N 在该等差数阵中,则存在正整数 i , j 使得 N ? i(2 j ? 1) ? j , 从而 2 N ? 1 ? 2i(2 j ? 1) ? 2 j ? 1 ? (2i ? 1)(2 j ? 1) . 即正整数 2 N ? 1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积. 充分性:若 2 N ? 1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积,由于 2 N ? 1 是奇数,则 它必为两个不是 1 的奇数之积,即存在正整数 k,l,使得 2 N ? 1 ? (2k ? 1)(2l ? 1) ,从 而 N ? k (2l ? 1) ? l ? akl 可见 N 在该等差数阵中. 综上所述, 正整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2 N ? 1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积. 评析: 本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识,考查逻辑思维能力、分析问 题和解决问题的能力.求解关键是如何根据图表信息求出行列式中对应项的通项 公式. 七、“杨辉三角”型 例 7.如图是一个类似“杨辉三角”的图形,第 n 行共有 n 个数,且该行的第一个 数和最后一个数都是 n ,中间任意一个数都等于第 n ? 1 行与之相邻的两个数的和,
an,1 , an,2 , .......an,n (n ? 1, 2, 3, ?) 分别表示第 n 行的第一个数,第二个数,…….第 n 个

数. 求 an,2 (n ≥ 2 且 n ? N) 的通项式.
1 2 3 4 7 4 7 2 3 4

5 11 14 11 5 ............................................

解:由图易知 a2,2 ? 2, a3,2 ? 4, a4,2 ? 7, a5,2 ? 11, ?从而知 {an,2 } 是一阶等差数列, 即

a3,2 ? a2,2 ? 2......(1) a4,2 ? a3,2 ? 3......(2) a5,2 ? a4,2 ? 4......(3) ............................... an ,2 ? a( n ?1),2 ? n ? 1.......(n ? 1)

以上 n ? 1 个式相加即可得到:
an,2 ? a2,2 ? 2 ? 3 ? 4 ? ....... ? (n ? 1) ? (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)(n ? 2) ? an,2 ? ?2 2 2

即 an,2 ? 评析:

n2 ? n ? 2 ( n ≥ 2 且 n ? N) 2

“杨辉三角”型数列创新题是近年高考创新题的热点问题.求解这类题目的关键 是仔细观察各行项与行列式的对应关系,通常需转化成一阶(或二阶)等差数列 结合求和方法来求解.有兴趣的同学不妨求出 aij (i , j ? N? 且 i ≥ j ) 的通项式. 八、阅读理解型 例 8.电子计算机中使用二进制,它与十进制的换算关系如下表: 十进制 二进制
1 1
2
10
3

4
100

5

6

…… ……

11

101

110

观察二进制 1 位数, 2 位数, 3 位数时,对应的十进制的数,当二进制为 6 位数 能表示十进制中最大的数是 解:通过阅读,不难发现:
1 ? 1? 20 , 2 ? 0 ? 20 ? 1? 21 , 3 ? 1? 20 ? 1? 21 , 4 ? 0 ? 20 ? 0 ? 21 ? 1 ? 22 ,
5 ? 1 ? 20 ? 0 ? 21 ? 1 ? 22 ,进而知 7 ? 1 ? 20 ? 1 ? 21 ? 1 ? 22 ,写成二进制为 111 .



于是知二进制为 6 位数能表示十进制中最大的数是 111111化成十进制为
1? 20 ? 1? 21 ? 1? 22 ? 1? 23 ? 1? 24 ? 1? 25 ? 26 ? 1 ? 63 . 2 ?1

评析: 通过阅读,将乍看陌生的问题熟悉化,然后找到解决的方法,即转化成等比数 列求解. 总之,求解数列创新题的关键是仔细观察,探求规律,注重转化,合理设计解 题方案,最后利用等差、等比数列有关知识来求解.


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