2017高考数学(理)考前冲刺复习课时作业:第2部分专题1第3讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用


课时作业 1.函数 y= 3 ? A.? ?4,1? C.(1,+∞) A 1 的定义域为( log0.5(4x-3) 3 ? B.? ?4,+∞? 3 ? D.? ?4,1?∪(1,+∞) )

?4x-3>0, ? [解析] 使函数有意义需满足? ? ?log0.5(4x-3)>0,

3 解得 <x<1. 4 2.(2016· 贵州省适应性考试)幂函数 y=f(x)的图象经过点(3, 3),则 f(x)是( A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 C.奇函数,且在(0,+∞)上是减函数 D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 D
1 1 [解析] 设幂函数 f(x)=xa,则 f(3)=3a= 3,解得 a= ,则 f(x)=x2= x,是非奇非 2

)

偶函数,且在(0,+∞)上是增函数. 3.(2016· 高考全国卷甲)下列函数中,其定义域和值域分别与函数 y=10lg x 的定义域和 值域相同的是( A.y=x C.y=2x D
x

) B.y=lg x D.y= 1 x

[解析] 法一:(通性通法)函数 y=10lg x 的定义域为(0,+∞),又当 x>0 时,y=10lg

=x,故函数的值域为(0,+∞).只有 D 选项符合. 法二:(光速解法)易知函数 y=10lg x 中 x>0,排除选项 A、C;又 10lg x 必为正值,排除

选项 B.故选 D. 4.(2016· 贵州省适应性考试)函数 y=ax 2-1(a>0 且 a≠1)的图象恒过的点是(


)

A.(0,0) C.(-2,0) C

B.(0,-1) D.(-2,-1)

[解析] 法一:因为函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象恒过点(0,1),将该图象向左平移 2
+ +

个单位, 再向下平移 1 个单位得到 y=ax 2-1(a>0, a≠1)的图象, 所以 y=ax 2-1(a>0, a≠1) 的图象恒过点(-2,0),选项 C 正确. 法二:令 x+2=0,x=-2,得 f(-2)=a0-1=0,所以 y=ax 2-1(a>0,a≠1)的图象


恒过点(-2,0),选项 C 正确.

6 5.已知函数 f(x)= -log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是( x A.(0,1) C.(2,4) C B.(1,2) D.(4,+∞)

)

[解析] 易知 f(x)为减函数,因为 f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)

3 1 = -log24=- <0,所以函数 f(x)的零点所在区间为(2,4). 2 2 6.(2016· 沈阳市教学质量监测(一))若函数 y=logax(a>0, 且 a≠1)的图象如图 所示,则下列函数与其图象相符的是( )

B

[解析] 由函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象可知,a=3,所以 y=3 x,y=(-x)3


=-x3 及 y=log3(-x)均为减函数,只有 y=x3 是增函数,选 B. 7.如图,直线 l 和圆 C,当 l 从 l0 开始在平面上绕 O 按逆时针方向匀速转动(转动角度 不超过 90° )时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数,这个函数的大致图象是 ( )

C

[解析] 随着时间的增加,直线被圆截得的弦长先慢慢增加到直径,再慢慢减小,所

以圆内阴影部分的面积增加速度先越来越快,然后越来越慢,反映在图象上面,则先由平缓 变陡,再由陡变平缓,结合图象知,选 C. 8.(2016· 石家庄市第一次模考)已知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=0 对称,当 x∈(0, 1? +∞)时,f(x)=log2x,若 a=f(-3),b=f? ?4?,c=f(2),则 a,b,c 的大小关系是( A.a>b>c C.c>a>b D B.b>a>c D.a>c>b )

[解析] 由函数 y=f(x)的图象关于 x=0 对称,得 y=f(x)是偶函数.当 x∈(0,+∞)

时,f(x)=log2x 单调递增,又 a=f(-3)=f(3), 所以 a>c>b,选项 D 正确. 9.已知函数 f(x)=ln x-2[x]+3,其中[x]表示不大于 x 的最大整数(如[1.6]=1,[-2.1] =-3),则函数 f(x)的零点个数是( A.1 ) B .2

C.3 B

D.4

[解析] 设 g(x)=ln x,h(x)=2[x]-3,当 0<x<1 时,h(x)=-3,作出图象,两函数

有一个交点即一个零点;当 2≤x<3 时,h(x)=1,ln 2≤g(x)<ln 3,此时两函数有一交点,即 有一零点,共两个零点.
1 x ? ?1-2 ,x≥1, 10.已知函数 f(x)=? 3 则方程 2f(x)=1 的根的个数为( ?x -3x+2,x<1, ?


)

A.1 C.3 C

B .2 D.4

1 1 - [解析] 依题意,由 2f(x)=1 得 f(x)= .当 x≥1 时,f(x)=1-21 x= ,解得 x=2;当 2 2

1 3 3 x<1 时,f(x)=x3-3x+2= ,x3-3x+ =0.记 g(x)=x3-3x+ ,则 g′(x)=3x2-3,当 x<-1 2 2 2 时,g′(x)>0,当-1<x<1 时,g′(x)<0,g(x)在区间(-∞,-1)上是增函数,在区间(-1,1) 7 1 上是减函数,且 g(-1)= ,g(1)=- ,因此 g(x)在区间(-∞,1)上有 2 个零点.故方程 2f(x) 2 2 =1 的根的个数为 3,选 C. 1 ? ?x-3,x∈(0,1] 11.已知在(0,2]上的函数 f(x)=? ,且 g(x)=f(x)-mx 在(0,2]内 x-1 ? ?2 -1,x∈(1,2] 有且仅有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是( 9 ? ? 1? A.? ?-4,-2?∪?0,2? 11 ? ? 1? B.? ?- 4 ,-2?∪?0,2? 9 ? ? 2? C.? ?-4,-2?∪?0,3? 11 ? ? 2? D.? ?- 4 ,-2?∪?0,3? A [解析] 由函数 g(x)=f(x)-mx 在(0,2]内有且仅有两个不同的 )

零点, 得 y=f(x), y=mx 在(0, 2]内的图象有且仅有两个不同的交点. 当 1 y=mx 与 y= -3,x∈(0,1]相切时,mx2+3x-1=0,Δ=9+4m=0, x 9 9 1 m=- ,由图可得当- <m≤-2 或 0<m≤ 时,函数 g(x)=f(x)-mx 在(0,2]内有且仅有两 4 4 2 个不同的零点,选项 A 正确. 12.设函数 y=f(x)的定义域为 D,若对于任意 x1,x2∈D,当 x1+x2=2a 时,恒有 f(x1) +f(x2)=2b,则称点(a,b)为函数 y=f(x)图象的对称中心.研究函数 f(x)=x3+sin x+1 图象 的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到 f(-2 017)+f(-2 016)+f(-2 015) +…+f(2 016)+f(2 017)=( )

A.0 C.4 034 D

B.2 017 D.4 035

[解析] 函数 y=x3 与 y=sin x 均是奇函数,因此 y=x3+sin x 是奇函数,其图象关于

点(0,0)对称,函数 f(x)=x3+sin x+1 的图象关于点(0,1)对称,于是有 f(-x)+f(x)=2,因 此 f(-2 017)+f(2 017)=2,f(-2 016)+f(2 016)=2,…,f(0)=1,所求的和等于 1+2 017× 2 =4 035. 16? 4 5 4 13.? ?81? +log34+log35=________. 16? 4 5 4 ?2? 27 27 [解析] ? ?81? +log34+log35=?3? +log31= 8 +0= 8 . [答案] 27 8
- 3 -3 - 3

x ? ?2 (x≤0) 14.(2016· 开封市第一次模拟)设函数 f(x)=? ,则方程 f(x)=1 的解集为 ?|log2x|(x>0) ?

________. [解析] 由 f(x)=1,知当 x≤0 时,2x=1,则 x=0;当 x>0 时,则|log2x|=1,解得 x= 1 ? ? 或 2,所以所求解集为?0,2,2?.
? ?

1 2

1 ? ? [答案] ?0,2,2? ? ?
? ?x+3,x≤1, 15.已知 f(x)=? 2 ?-x +2x+3,x>1, ?

则函数 g(x)=f(x)-ex 的零点个数为________. [解析] 函数 g(x)=f(x)-ex 的零点个数即为函数 y=f(x)与 y=ex 的图象的交点个数. 作出 函数图象可知有 2 个交点,即函数 g(x)=f(x)-ex 有 2 个零点.

[答案] 2 16.如图,线段 EF 的长度为 1,端点 E,F 在边长不小于 1 的正方形 ABCD 的四边上 滑动,当 E,F 沿着正方形的四边滑动一周时,EF 的中点 M 所形成的轨迹为 G,若 G 的周 长为 l,其围成的面积为 S,则 l-S 的最大值为________.

[解析] 设正方形的边长为 a(a≥1),当 E,F 沿着正方形的四边滑动一周时,EF 的中点 1 M 的轨迹如图,是由半径均为 的四段圆弧与长度均为 a-1 的四条线段围成的封闭图形, 2 π 5π 周长 l=π+4(a-1),面积 S=a2- ,所以 l-S=-a2+4a+ -4(a≥1),由二次函数的知 4 4 5π 识得,当 a=2 时,l-S 取得最大值 . 4

[答案]

5π 4


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