【最新精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编(第3期)专题08 立体几何 文


【精选+详解】2013 届高三数学名校试题汇编(第 3 期)专题 08 立体 几何 文
一.基础题 1. 广东省华附、 【 省实、 广雅、 深中 2013 届高三上学期期末四校联考】 若平面 ? , 满足 ? ? ? , ?

? ? ? ? l , P ? ? , P ? l ,则下列命题中是假命题的为(
(A)过点 P 垂直于平面 ? 的直线平行于平面 ? (B)过点 P 在平面 ? 内作垂直于 l 的直线必垂直于平面 ? (C)过点 P 垂直于平面 ? 的直线在平面 ? 内 (D)过点 P 垂直于直线的直线在平面 ? 内

)

2.【广东省肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第一学期统一检测题】某三棱锥的三 视图如图 2 所示,该三棱锥的体积是为( ) A. 80 B. 40 C.

80 3

D.

40 3

【答案】D 【解析】从图中可知,三棱锥的底为两直角边分别为 4 和 5 的直角三角形,高为 4 体积为 V ?

1 1 40 ? ? 4 ? (2 ? 3) ? 4 ? 3 2 3

3.【2012-2013 学年四川省成都市高新区高三(上)统一检测】设 l、m、n 表示三条直线,α 、 β 、r 表示三个平面,则下面命题中不成立的是( ) A.若 l⊥α ,m⊥α ,则 l∥m
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B.若 m? β ,n 是 l 在 β 内的射影,m⊥l,则 m⊥n C.若 m? α ,n?α ,m∥n,则 n∥α D.若 α ⊥r,β ⊥r,则 α ∥β

4. 【山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试】如图,若一个空间几何体的三视图中,正 视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为 1,则该几何体的体积为

A.

1 3

B.

1 2

C.

1 6

D.1

5.【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】 在空间四边形 ABCD 中, 、F 分别为 AC、BD 的中点, CD ? 2 AB ? 4,EF ? AB, EF 若 则 E 与 CD 所成的角为 A. 90ο 【答案】D 【解析】如图所示,取 BC 的中点为 H,连接 HE 和 HF,则 FE∥DC, 则 EF 与 CD 所成的角为∠ B. 60ο C. 45
ο

D. 30

ο

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EFH, ? CD ? 2 AB ? 4, EH ? 1, FH ? 2, EF ? EH, sin ?HFE ? ? ?

1 ,? ?HFE ? 30?. 2

D

F A E H B C

6. 【安徽省皖南八校 2013 届高三第二次 联考】如图,三棱锥 A—BCD 的底面为正三角形,侧面 ABC 与底面垂直且 AB=AC,已知
其正(主)视图的面积为 2,则其侧(左)视图的面积为 A.

3 2

B

3 3 2

C.

3 3 4

D.

3

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7.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试】下列命题正确的是 A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C 【解析】A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线可能平行,也可能相交或 异面,所以错误。B 中,若三点共线,则两平面不一定平行,所以错误。C 正确。 若 D 两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行或相交,所以错误。所以命题正确的 为 C,选 C. 8.【安徽省 2013 届高三开年第一考文】某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是 【答案】3 【解析】由三视图可知,该几何体是底面为梯形的四棱柱,

1 V ? [ ? (1 ? 2) ?1] ? 2 ? 3 2
二.能力题 1.【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】 如图,右边几何体的正视图和侧视图可能正确的是 ..

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2.【广东省肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第一学期统一检测题】 已知某个几何体的三视图如图 2 所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,则这个几何体的体

积是( A. 8cm3

). B. 12cm3 C. 24cm3 D. 72cm3

【答案】B 【解析】三视图的直观图是有一个侧面垂直于底面三棱锥,底面是底边长为 6 高为 4 的等腰 三角形,三棱锥的高为 3,所以,这个几何体的体积 V ?

1 1 ? ? 6 ? 4 ? 3 ? 12 3 2

3.【2012-2013 学年江西省南昌二中高三(上)第四次月考】已知以下三视图中有三个同时表 示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图是( ) A. B. C. D.

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4.【广州市 2013 届高三年级 1 月调研测试】已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图 1 所示, 则四棱锥 P ? ABCD 的四个侧面中面积最大的是 A. 3 B. 2 5 C. 6 D. 8

3

3

4 正视图 2 2

2 侧视图

2

俯视图 图1

【答案】 C 【解析】三棱锥如图所示, PM ? 3 , S ?PDC ?

P
1 ? 4? 5 ? 2 5 , 2 1 ? ? 4?3 ? 6 2
3

S ?PBC ? S ?PAD

1 ? ? 2 ? 3 ? 3 , S ?PAB 2

3

5

D A

2 2

N

2 2

C

M

B

5. 【2012-2013 学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试(零诊) 】设某几何体的三视图如 图(尺寸的长度单位为:m) ,若该几何体的各个顶点都在同一球面上,则此球的表面积等于 2 m (答案用含有 π 的式子表示)

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【解析】由已知中的三视图,可得该几何体是一个三棱柱 底面的半径 r 满足 2r= 则 r=3 棱柱的高为 8 则球心到底面的距离 d=4 则球的半径 R= =5
2

=6

故此球的表面积 S=4π R =100π 故答案为:100π

6.【北京市昌平区 2013 届高三上学期期末理】已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据 图中标出的尺寸,可得这个几何体的全面积为

A. 10 ? 4 3 ? 4 2

B. 10 ? 2 3 ? 4 2

C. 14 ? 2 3 ? 4 2

D. 14 ? 4 3 ? 4 2

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7.【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末理】已知三棱锥的底面是 边长为的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的 面积为 A.

3 4

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B.

3 2
3 4

C.

D. 【答案】C 【解析】由正视图与俯视图可知,该几何体为正三棱锥,侧视图 视图的高为 为, 侧

3 ,高为 2

3 ,所以侧视图的面积为

1 3 3 ? ? 3 ? 。选 C. 2 2 4
8.【北京市东城区 2013 届高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的

表面积为



【答案】 75 ? 4 10 【解析】由三视图可知,该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为 4,

,底面梯形的上底为 4,下底为 5,腰 CD ? 的面积为 S ?

32 ? 1 ? 10 ,所以梯形

(4 ? 5) ? 3 27 ,梯形的周长为 3 ? 4 ? 5 ? 10 ? 10 ? 12 ,所以四个侧面积 ? 2 2 27 为 ( 10 ? 12) ? 4 ? 4 10 ? 48 ,所以该几何体的表面积为 4 10 ? 48 ? 2 ? ? 75 ? 4 10 。 2
9.【北京市丰台区 2013 届高三上学期期末理】如图,某三棱锥的三视图都是直角边为 2 的

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等腰直角三角形,则该三棱锥的四个面的面积中最大的是 (A)

3

(B) 2 3

(C) 1

(D) 2

10.【北京市海淀区 2013 届高三上学期期末理】三棱锥 D ? ABC 及其三视图中的主视图和左 视图如图所示,则棱 BD 的长为_________.

【答案】 4 2 【 解 析 】 取 AC 的 中 点 , 连 结 BE,DE 由 主 视 图 可 知

BE ? AC , BE ? DE

.

DC ? ABC



DC ? 4, BE ? 2 3, AE ? EC ? 2 .所以 BC ? BE 2 ? EC 2 ? (2 3) 2 ? 22 ? 16 ? 4 ,

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即 BD ?

BC 2 ? DC 2 ? 42 ? 42 ? 32 ? 4 2 。

11.【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理】 m, n 是不同的直线,? , ? 是不同的平面, 设 下列命题中正确的是( )

A.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? B.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? / / ? C.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? ⊥ ? D.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? / / ? 【答案】C 【解析】C 中,当 m / /? , m / / n ,所以, n / /? , 或 n ? ? , 当 n ? ? ,所以 ? ⊥ ? ,所以正确。 12.【北京市通州区 2013 届高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示,该几何 体的 表面积是

(A) 16 ? 4 2 (B) 12 ? 4 2 (C) 8 ? 4 2 (D) 4 ? 4 2 【答案】B 【解析】由三视图可知,该几何体是一个平放的直三棱柱,棱柱的底面为等腰直角三角形, 棱 柱 的 高 为 2 , 所 以 该 几 何 体 的 底 面 积 为 2?

1 ? 2? 2 ? 4 , 侧 面 积 为 2

(2 ? 2 ? 2 2) ? 2 ? 8 ? 4 2 ,所以表面积为 8 ? 4 2 ? 4 ? 12 ? 4 2 ,选 B.
13.【北京市西城区 2013 届高三上学期期末理】某四面体的三视图如图所示.该四面体的六
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条棱的长度中,最大的是(



(A) 2 5 (B) 2 6 (C) 2 7 (D) 4 2

14.【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末理】在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 点 P , P2 分别是线段 AB , BD1(不包括端点)上的动点,且线段 P 1 P2 平行于平面 A1 ADD1 , 1 则四面体 P P2 AB1 的体积的最大值是 1 A.

1 24

B.

1 12

C.

1 6

D.

1 2

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15、 【北京市石景山区 2013 届高三上学期期末理】某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的 体积是( A. ) B. 4 C. 2 D.

8 3

4 3

2 2 2 3 1 3

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

【答案】B 【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥,三棱锥的高为 2,底面三角形的高为 3,底面边长 为 3,所以底面积为

1 1 ? 4 ? 3 ? 6 ,所以该几何体的体积为 ? 6 ? 2 ? 4 ,选 B. 2 3

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16.【安徽省 2013 届高三开年第一考】一个多面体是由正方体割去两个三棱锥得到的,其正 视图、侧视图、俯视图均是边长为 2 的正方形,如图所示,该多面体的表面积是( ) A. 12 ? 4 3 B. 8 ? 2 3 C. 12 ? 2 3 D. 8 ? 4 3

【答案】A 【解析】由三视图可得,多面体如图所示,其面积为

S ? 12 ? 4 3 ,选 A
17.【 2013 安徽省省级示范高中名校高三联考】如图,L,M,N 分别为正方体对应棱的中点, 则平面 LMN 与平面 PQR 的位置关系是 A.垂直 B.相交不垂直 C. 平行 D.重合

19.【2013 年河南省开封市高考数学一模试卷(文科) 】已知三个互不重合的平面 α ,β ,γ , 且 α ∩β =a,α ∩γ =b,β ∩γ =c,给出下列命题: ①若 a⊥b, a⊥c, b⊥c; 则 ②若 a∩b=P, a∩c=P; 则 ③若 a⊥b, a⊥c, α ⊥γ ; 则 ④若 a∥b, 则 a∥c. 其中正确命题个数为( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】D 【解析】三个平面两两相交,交线平行或交于一点,故②④正确, 当三条交线交于一点时,若 a⊥b,a⊥c,则 b⊥c,故①正确, 若 a⊥b,a⊥c,则 a⊥γ ,又 a? α ,得到 α ⊥γ ,故③正确, 综上可知四个命题都正确, 故选 D. 20.【2013 年河南省开封市高考数学一模试卷(文科) 】三棱椎 A﹣BCD 的三视图为如图所示的 三个直角三角形,则三棱锥 A﹣BCD 的表面积为( )

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A.2+2

B.4+4

C.

D.2+2

21.【安徽省 2013 届高三开年第一考文】.已知直线 m,n,平面 ? , ? ,且 m / /? , n ? ? ,给 出下列四个命题:①若 ? / / ? ,则 m ? n ②若 m ? n ,则 ? / / ? ;③若 ? ? ? ,则 m ? n 的序号为 ④若 m / / n ,则 ? ? ? ,其中正确命题

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三.拔高题 1.【北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考】 (满分 13 分) (1)某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示,求三棱锥的体 积. (2)过直角坐标平面 xOy 中的抛物线 y ? 2 px? p ? 0 ?
2

的焦点 F 作一条倾斜角为 A,B

?
4

的直线与抛物线相交于

两点. 用 p 表示 A,B 之间的距离;

解: (1)该几何体的高 h= 4 -2 = 12=2 3, 1 1 ∴V= × ×6×2×2 3=4 3. 3 2 解: (2)焦点 F ?1,0 ? ,过抛物线的焦点且倾斜角为

2

2

?
4

的直线方程是 y ? x ?

p 2

? y 2 ? 2 px p2 p2 2 由? ? x A ? x B ? 3 p, x A x B ? ? AB ? x A ? x B ? p ? 4 p ? p ? x ? 3 px ? 4 ? 0 4 y ? x? ? 2 ?

( 或 AB ?

2p sin
2

?
4

? 4p )

2.【北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考】 (满分 13 分) 如图,已知三棱锥 A-BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为

AB 中点,D 为 PB 中点,且△PMB 为正三角形.
(1)求证:DM∥平面 APC;
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(2)求证:平面 ABC⊥平面 APC;

3.[2012-2013 学年河南省平顶山许昌新乡三市高三(上)第一次调研考试](12 分)在四棱 锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形, ∠BAD=∠CBA=90°, PAB⊥面 ABCD, 面 PA=PB=AB=AD=2, BC=1,点 M 是棱 PD 的中点 (Ⅰ)求证:CM∥平面 PAB; (Ⅱ)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积.

证明: (I)取 PA 的中点 N,连接 BN、NM, 在△PAD 中,MN∥AD,且 MN= AD; 又 BC∥AD,且 BC= AD=1, 所以 MN∥BC,MN=BC 即四边形 BCMN 为平行四边形, CM∥BN. 又 CM?平面 PAB,BN? 平面 PAB, 故 CM∥平面

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PAB. 3.【2012-2013 学年江西省南昌市调研考试】 (本小题满分 12 分) 如图 1 所示,在边长为 12 的正方形 AA' A1' A1 中,点 B,C 在线段 AA 上,且 AB=3,BC=4,作
'

BB1 //AA1 ,分别交 A1 A1' , A1 A1' 于点 BB1、P ,作 CC1 //AA1 ,分别 A1 A1' , A1 A1' 交于点 C1、Q ,
将 该 正 方 形 沿 BB1、CC1 折 叠 , 使 得 A' A1' 与 A1 A1' 重 合 , 构 成 如 图 2 所 示 的 三 棱 柱

ABC ? A1 B1C1
(1)在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,求证:AB 垂直平面 BCC1 B1 (2)求平面 APQ 将三棱柱 ABC ? A1 B1C1 分成上、下两部分几何体的体积之比。

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4. 【 潮 州 市 2012-2013 学 年 度 第 一 学 期 期 末 质 量 检 测 已 知 梯 形 ABCD 中 AD // BC ,

?ABC ? ?BAD ?

?
2



AB ? BC ? 2 AD ? 4 , E 、 F 分别是 AB 、 CD 上的点, EF // BC , AE ? x .
沿 EF 将梯形 ABCD 翻折,使平面 AEFD ⊥平面 EBCF (如图). G 是 BC 的中点. (1)当 x ? 2 时,求证: BD ⊥ EG ; (2)当 x 变化时,求三棱锥 D ? BCF 的体积 f ( x) 的函数式.

(1)证明:作 DH ? EF ,垂足 H ,连结 BH , GH ,

…… 2分

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∵平面 AEFD ? 平面 EBCF ,交线 EF , DH ? 平面 EBCF , ∴ DH ? 平面 EBCF ,又 EG ? 平面 EBCF ,故 EG ? DH . …… 4分 ∵ EH ? AD ?

1 BC ? BG , EF // BC , ?ABC ? 90? . 2
………… 6分

∴四边形 BGHE 为正方形,故 EG ? BH .

又 BH 、 DH ? 平面 DBH ,且 BH ? DH ? H ,故 EG ? 平面 DBH . 又 BD ? 平面 DBH ,故 EG ? BD . ………… 8分

(2)解:∵ AE ? EF ,平面 AEFD ? 平面 EBCF ,交线 EF , AE ? 平面 AEFD . ∴ AE ? 面 EBCF .又由(1) DH ? 平面 EBCF ,故 AE // GH ,……10分 ∴四边形 AEHD 是矩形, DH ? AE ,故以 F 、 B 、 C 、 D 为顶点的三 棱锥 D ? BCF 的高 DH ? AE ? x . …………11分

1 1 ………… 12分 BC ? BE ? ? 4 ? ( 4 ? x ) ? 8 ? 2 x . 2 2 ∴三棱锥 D ? BCF 的体积 1 1 1 2 8 f ( x) ? S ?BFC ? DH ? S ?BFC ? AE ? (8 ? 2 x ) x ? ? x 2 ? x 3 3 3 3 3
又 S ?BCF ? ………… 14分 5.【广东省肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第一学期统一检测题】 (本题满分 13 分) 如 图 4 , 已 知 三 棱 锥 P ? ABC 的 则 面 PAB 是 等 边 三 角 形 , D 是 AB 的 中 点 , (2)求点 C 到平面 PAB 的距 PC ? BC ? AC ? 2, PB ? 2 2 .(1)证明: AB ? 平面 PCD ; 离.

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(2) ∵ BC ? AC ? 2, AB ? PB ? 2 2 , ∴ AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ,故 ?ACB 是直角三角形, ?ACB ? 900 (8 分)

1 1 AC ? BC ? ? 2 ? 2 ? 2 2 2 由(1)可知, PC 是三棱锥 P ? ABC 的高 1 1 4 ∴ V p ? ABC ? S ?ABC ? PC ? ? 2 ? 2 ? 3 3 3
∴ S ?ABC ? 又∵ ?PAB 是边长为 2 2 等边三角形,

(9 分)

(10 分)

6. 【安徽省黄山市 2013 届高中毕业班第一次质量检测】 (本小题满分 13 分) 如图,四边形 ABCD 为矩形, AD ? 平面 ABE,AE ? EB ? BC ? 2 , F 为 CE 上的点, 且 BF ? 平面 ACE . (1)求证: AE ? BE ; (2)求三棱锥 D ? AEC 的体积;

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E A M F B

(3)设 M 在线段 AB 上, 且满足 AM ? 2 MB , 试在线段 CE 上确定一点 N , 使得 MN / / 平 D C 面 DAE . 证明: (1)∵ AD ? 平面 ABE ,且 AD / / BC ∴ BC ? 平面 ABE ,则

BC ? AE .………………………………………2 分
又∵ BF ? 平面 ACE ,则 BF ? AE ,且 BF 与 BC 交于 B 点, ∴ AE ? 平面 BCE ,又 BE ? 平面 BCE ∴ AE ? BE .………………4 分 (2)由第(1)问得 ?AEB 为等腰直角三角形,易求得 AB 边上的
D C A E M F G B

N

高为 2 , ∴ VD ? AEC ? VE ? ADC ?

1 4 ? 2 2 ? 2 ? .…………………………………………………7 分 3 3

7. 【广州市 2013 届高三年级 1 月调研测试】(本小题满分 14 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的正视图是一个底边长为 4 、 腰长为 3 的等腰三角形, 4、 5 分 图 图 别是四棱锥 P ? ABCD 的侧视图和俯视图. (1)求证: AD ? PC ; (2)求四棱锥 P ? ABCD 的侧面 PAB 的面积.
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侧视

D

C

2

2

2

2

图4

图5

(本小题主要考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识,考查数形结合、化 归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明:依题意,可知点 P 在平面 ABCD 上的正射影是线段 CD 的中点 E ,连接 PE , 则 PE ? 平面 ABCD . …………… 2 分 ∵ AD ? 平面 ABCD , ∴ AD ? PE . …………… 3 分 ∵ AD ? CD , CD ? PE ? E ,CD ? 平面 PCD , PE ? 平面 PCD , ∴ AD ? 平面 PCD . ∵ PC ? 平面 PCD , ∴ AD ? PC . …………… 5 分 …………… 6 分

(2)解:依题意,在等腰三角形 PCD 中, PC ? PD ? 3 , DE ? EC ? 2 , 在 Rt△ PED 中, PE ?

PD 2 ? DE 2 ?

5 ,…………… 7 分

过 E 作 EF ? AB ,垂足为 F ,连接 PF , ∵ PE ? 平面 ABCD , AB ? 平面 ABCD , ∴ AB ? PE . …………… 8 分 ∵ EF ? 平面 PEF , PE ? 平面 PEF , EF ? PE ? E , ∴ AB ? 平面 PEF . ∵ PF ? 平面 PEF , ∴ AB ? PF . 依题意得 EF ? AD ? 2 . 在 Rt△ PEF 中, PF ? ∴△ PAB 的面积为 S ?
2

P

…………… 9 分

D
…………… 10 分 …………… 11 分

E F B

C

A

PE ? EF

2

? 3,

…………… 12 分

1 ?AB?PF ? 6 . 2
…………… 14 分

∴四棱锥 P ? ABCD 的侧面 PAB 的面积为 6 .

8. (东莞市 2013 届高三上学期期末) 在等腰梯形 PDCB(见图 a) DC//PB, 中, PB=3DC=3,PD= 2 ,
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. DA ? PB ,垂足为 A,将 ?PAD 沿 AD 折起,使得 PA ? AB ,得到四棱锥 P-ABCD(见图 b) 在图 b 中完成下面问题: (I)证明:平面 PAD ? 平面 PCD; (2)点 M 在棱 PB 上,平面 AMC 把四棱锥 P-ABCD 分成两个几何体(如图 b) ,当这两个几 何体的体积之比 VPM ? ACDVM ? ABC ? 5 : 4 时,求 (3)在(2)的条件下,证明:PD‖平面 AMC.

PM 的值; MB

证明:(1)因为在图 a 的等腰梯形 PDCB 中, DA ? PB , 所以在四棱锥 P ? ABCD 中, DA ? AB , DA ? PA . 又 PA ? AB ,且 DC // AB ,所以 DC ? PA , DC ? DA , 而 DA ? 平面 PAD , PA ? 平面 PAD , PA ? DA ? A , 所以 DC ? 平面 PAD . 因为 DC ? 平面 PCD , 所以平面 PAD ? 平面 PCD . …………4 分 …………3 分 …………1 分 …………2 分

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设 MN ? h ,则

1 1 1 1 1 1 VM ? ABC ? S ?ABC ? h ? ? ? AB ? DA ? h ? ? ? 2 ?1? h ? h . …………7 分 3 3 2 3 2 3 1 1 ( DC ? AB) ? AD 1 1? 2 1 VP ? ABCD ? S梯形ABCD ? PA ? ? ? PA ? ? ? 1? 1 ? . 3 3 2 3 2 2 1 1 …………8 分 VPM ? ACD ? VP ? ABCD ? VM ? ABC ? ? h . 2 3 1 1 1 2 因为 VPM ? ACD : VM ? ABC ? 5 : 4 ,所以 ( ? h) : h ? 5 : 4 ,解得 h ? .………9 分 3 2 3 3 BM MN 2 2 1 在 ?PAB 中, ? ? , 所以 BM ? BP , MP ? BP . BP PA 3 3 3
所以 PM : MB ? 1 : 2 . (3)在梯形 ABCD 中,连结 AC 、 BD 交于点 O ,连结 OM . …………10 分

DO DC 1 ? ? . OB AB 2 PM 1 DO PM 又 , ? , 所以 ? OB MB MB 2
易知 ?AOB ∽ ?DOC ,所以 所以在平面 PBD 中,有 PD // MO . 又因为 PD ? 平面 AMC , MO ? 平面 AMC , 所以 PD // 平面 AMC .

…………11 分 …………12 分 …………13 分

…………14 分

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法 2:∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB , ∵在 Rt?ABC 中, AB ? 4 , ∴由 3AD ? DB , 3AC ? BC 得, DB ? 3 , AB ? 4 , BC ? 2 3 ,



BD BC 3 ,则 ?BDC ∽ ?BCA , ? ? BC AB 2

∴ ?BCA ? ?BDC ,即 CD ? AO .-----------------3 分 ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴ PD ? CD ,-----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB .-----------------6 分 法 3:∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB , 在 Rt?ABC 中由 3AC ? BC 得, ?ABC ? 30? , ∵ AB ? 4 ,由 3AD ? DB 得, DB ? 3 , BC ? 2 3 , 由余弦定理得, CD 2 ? DB 2 ? BC 2 ? 2 DB ? BC cos 30? ? 3 , ∴ CD 2 ? DB 2 ? BC 2 ,即 CD ? AO .-----------------3 分
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∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴ PD ? CD ,-----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB .-----------------6 分 (Ⅱ)法 1:由(Ⅰ)可知 CD ?

3 , PD ? DB ? 3 ,--------7 分

(注:在第(Ⅰ)问中使用方法 1 时,此处需要求出线段的长度,酌情给分. ) ∴ VP ? BDC ? 又 PB ?

1 1 1 1 1 3 3 .--------10 分 S ?BDC ? PD ? ? DB ? DC ? PD ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 3 2 3 2 2

PD 2 ? DB 2 ? 3 2 , PC ? PD 2 ? DC 2 ? 2 3 , BC ? DB 2 ? DC 2 ? 2 3 ,

∴ ?PBC 为等腰三角形,则 S ?PBC ? 设点 D 到平面 PBC 的距离为 d , 由 VP ? BDC ? VD ? PBC 得, S ?PBC ? d ?

1 9 3 15 ? 3 2 ? 12 ? ? .--------12 分 2 2 2

1 3

3 3 3 5 ,解得 d ? .--------14 分 2 5

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10、 (广州市 2013 届高三上学期期末)已知四棱锥 P ? ABCD 的正视图是一个底边长为 4 、 腰长为 3 的等腰三角形,图 4、图 5 分别是四棱锥 P ? ABCD 的侧视图和俯视图. (1)求证: AD ? PC ; (2)求四棱锥 P ? ABCD 的侧面 PAB 的面积.
P
2 2

2

侧视

D A
正视

C B

2

图4

图5

(1)证明:依题意,可知点 P 在平面 ABCD 上的正射影是线段 CD 的中点 E ,连接 PE , 则 PE ? 平面 ABCD . …………… 2 分 ∵ AD ? 平面 ABCD , ∴ AD ? PE . …………… 3 分 ∵ AD ? CD , CD ? PE ? E ,CD ? 平面 PCD , PE ? 平面 PCD , ∴ AD ? 平面 PCD . ∵ PC ? 平面 PCD , ∴ AD ? PC . …………… 5 分 …………… 6 分

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11、 (惠州市 2013 届高三上学期期末)如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的中点.
(1)求证: EF //平面 ABC1 D1 ; (2)求证: CF ? B1 E ; (3)求三棱锥 VC ? B1FE 的体积.

(3)由(2)可知? CF ? 平面BDD1 B1

? CF ? 平面EFB1 即 CF 为高 , CF ? BF ? 2 …………10 分
? EF ? 1 BD1 ? 3 , B1 F ? BF 2 ? BB12 ? ( 2) 2 ? 22 ? 6 2

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B1 E ? B1 D12 ? D1 E 2 ? 12 ? (2 2) 2 ? 3
∴ EF 2 ? B1 F 2 ? B1 E 2 ∴ S ?B EF ? 即 ?EFB1 ? 90?

1 3 2 …………12 分 EF ? B1 F ? 2 2

1 3 2 1 ? 2 ? 1 …………14 分 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S ?B1EF ? CF = ? 3 2 3
12、 (江门市 2013 届高三上学期期末)如图 6,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长是 1 的正方 形,侧棱 PD ⊥平面 ABCD , M 、 N 分别是 AB 、 PC 的中点. ⑴求证: MN // 平面 PAD ; ⑵记 MN ? x , V (x) 表示四棱锥 P ? ABCD 的体积, 求 V (x) 的表达式(不必讨论 x 的取值范围) .

P

N

D
证明与求解: ⑴取 CD 的中点 E , 连接 ME 、NE , ME // AD , 则

C

NE // PD ……2 分, A 因为 ME ? NE ? E , 所以平面 MNE // 平面 PAD ……4 分,

M
图6

B

MN ? 平面 MNE ,所以 MN // 平面 PAD ……6 分.

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解:(1)∵平面 ACE ? 平面 ABCD,且平面 ACE

? 平面 ABCD=AC
………2 分 …………3 分

? BC ? AC AE ? 平面 AEC
又 AC ?

BC ? 平面 BCEF ? BC ? AE ,

? BC ? 平面 AEC

2 , AE ? EC ? 1

? AC 2 ? AE 2 ? CE 2

? AE ? EC

…4 分 ……6 分

且 BC ? EC ? C ,? AE ? 平面 ECBF.

13.(肇庆市 2013 届高三上学期期末)如图 4,已知三棱锥 P ? ABC 的则面 PAB 是等边三角 形, D 是 AB 的中点, PC ? BC ? AC ? 2, PB ? 2 2 .(1)证明: AB ? 平面 PCD ; (2)求 点 C 到平面 PAB 的距离.

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证明:(1)∵ PC ? BC ? AC ? 2, PB ? 2 2 , PAB 是等边三角形 ∴ PC 2 ? BC 2 ? PB 2 ,故 ?PCB 是直角三角形, ?PCB ? 900 ∴ PC ? BC 同理可证 PC ? AC ∵ BC , AC ? 平面 ABC ,∴ PC ? 平面 ABC 又∵ AB ? 平面 ABC ,∴ AB ? PC 又∵ D 是 AB 的中点,∴ AB ? CD ∵ PC ? CD ? C , ∴ AB ? 平面 PCD (2 分) (3 分) (4 分) (5 分) (6 分) (7 分)

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1 4、 (中山市 2013 届高三上学期期末)如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , D 、 E 分别为 A1 B1 、 AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 AF ? (Ⅰ)求证: EF // 平面 BDC1 ; (Ⅱ)在棱 AC 上是否存在一个点 G ,使得平面 EFG 将 三棱柱分割成的两部分体积之比为 115,若存在,指出 点 G 的位置;若不存在,说明理由.
E C A1 D B1

1 AB . 4
C1

A

F

B

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15、 (珠海市 2013 届高三上学期期末) 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角 形,俯视图为直角梯形, (1)求证: BC // 平面C1 B1 N ; (2)求证: BN ? 平面C1 B1 N ; (3)求此几何体的体积. 4 8 主视图 8 4 4 俯视图 8 解: (1)证明:? 该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,

侧视图

? BA, BC , BB1 两两互相垂直。
∵ BC // B1C1 , B1C1 ? 平面C1 B1 N , BC ? 平面C1 B1 N ,

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∴ BC // 平面C1 B1 N …… 4 分

(3)连接 CN,

1 1 1 32 … 11 分 VC ? BCN ? ? BC ? S ?ABN ? ? 4 ? ? 4 ? 4 ? 3 3 2 3
∴ 平面B1C1CB ? ANB1 B ? BB1 , NM ? BB1 , NM ? 平面B1C1CB , ∴ NM ? 平面B1C1CB ,

V N ? B1C1CB ?


1 1 128 … 13 分 ? NM ? S 矩形B1C1CB ? ? 4 ? 4 ? 8 ? 3 3 3
几 何 体 的 体 积

V ? VC ? BCN ? VN ? B1C1CB ?

32 64 32 128 160 …14 分 ? ? 32 V ? VC ? BCN ? V N ? B1C1CB ? ? ? 3 3 3 3 3

16.【2013 年河南省开封市高考数学一模试卷(文科) 】如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平 面 ABCD, 四边形 ABCD 为正方形, PA=AB=4, 为 PD 的中点, 点在 AB 上, G E 平面 PEC⊥平面 PDC. (I)求证:AG∥平面 PEC; (Ⅱ)求三棱锥 G﹣PEC 的体积.

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【解析】 (I)过点 E 作 EH⊥PC 于 H, ∵平面 PEC⊥平面 PDC,平面 PEC∩平面 PDC=PC. ∴EH⊥平面 PDC ∵PA⊥平面 ABCD,CD? 平面 ABCD, ∴CD⊥PA ∵正方形 ABCD 中 CD⊥AD,PA∩AD=A

17. 【广东省华附、 省实、 广雅、 深中 2013 届高三上学期期末四校联考】 (本题满分 14 分) 如 图 , 在 三 棱 锥 V ? ABC 中 , VC ⊥ 底 面 ABC , AC ⊥ BC , D 是 AB 的 中 点 , 且

AC ? BC ? a , ?VDC ? 45 0 。
(I)求证:平面 VAB ⊥ 平面 VCD ;
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(II)求异面直线 VD 和 BC 所成角的余弦. 【解析】 (Ⅰ)∵ AC ? BC ? a ,∴△ ACB 是等腰三角形,又 D 是 AB 的中点, ∴ CD ? AB ,又 VC ? 底面 ABC .∴VC ? AB .因 VC , CD ? 平面 VCD ,∴ AB ? 平 面 VCD .又 AB ? 平面 VAB ,∴平面 VAB ? 平面 VCD .

18.【河北省唐山市 2012—201 3 学年度高三年级期末考试】 (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 AA1B1B 为正方形,侧面 BB1C1C 为菱形,∠CBB1=60°,AB ⊥B1C。 (I)求证:平面 AA1B1B⊥平面 BB1C1C; (II)若 AB=2,求三棱柱 ABC—A1B1C1 体积。 (19)解: (Ⅰ)由侧面 AA1B1B 为正方形,知 AB⊥BB1. 又 AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1,所以 AB⊥平面 BB1C1C, 又 AB?平面 AA1B1B,所以平面 AA1B1B⊥BB1C1C. …4 分
C C1

B

O A

B1 A1

(Ⅱ)由题意,CB=CB1,设 O 是 BB1 的中点,连结 CO,则 CO⊥BB1. 3 3 由(Ⅰ)知,CO⊥平面 AB1B1A,且 CO= BC= AB= 3. 2 2 连结 AB1,则 VC-ABB1= 1 1 2 3 S△ABB1·CO= AB2·CO= . 3 6 3 …8 分

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因 VB1-ABC=VC-ABB1=

1 2 3 V = , 3 ABC-A1B1C1 3

故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 VABC-A1B1C1=2 3. …12 分

19.【湖北武汉武昌 2013 届高三期末调研考试】 (本小题满分 13 分) 如图, 已知四棱锥 S-A BCD 是由直角梯形沿着 CD 折叠而成,其中 SD=DA=AB=BC=l, AS∥BC, o AB⊥AD,且二面角 S-CD-A 的大小为 120 . (Ⅰ)求证:平面 ASD⊥平面 ABCD; (Ⅱ)设侧棱 SC 和底面 ABCD 所成角为 ? ,求 ? 的正弦值.

(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 SD ? DA ? AB ? BC ? 1 , AS // BC , AB ? AD , 所以 CD ? SD, CD ? AD . 所以,二面角 S ? CD ? A 的平面角为 ?ADS ,所以 ?ADS ? 120 ? . 又 AD ? SD ? D , ∴ CD ? 平面 ADS . 又? CD ? 平面 ABCD , ∴平面 ASD ? 平面 ABCD . ………………………………………………(6 分) (Ⅱ)过点 S 作 SH ? AD ,交 AD 的延长线于 H 点. ∵平面 ASD ? 平面 ABCD ,平面 ASD ? 平面 ABCD ? AD , ∴ SH ? 平面 ABC . ∴ CH 为侧棱 SC 在底面 ABCD 内的射影. 所以, ?SCH 为侧棱 SC 和底面 ABC 所成的角 ? .………………………(10 分)

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在 Rt?SHD 中, ?SDH ? 180 ? ? ?ADS ? 180 ? ? 120 ? ? 60 ? , S

SD ? 1 , SH ? SD sin 60 ? ?

3 . 2
H C D A B

在 Rt?SDC 中, ?SDC ? 90 ? ,

SD ? AB ? DC ? 1 ,∴ SC ? 2 .
在 Rt?SHC 中, sin ? ?

SH 3 6 . ? ? SC 2 2 4

即 ? 的正弦值为

6 .……………………………………………………(13 分) 4

20.【浙江省丽水市 2012 年高考第一次模拟测试】 (本题满分 14 分) 已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , 底面 ?ABC 是等腰三角形,?BAC ? 120°,

AB ?

1 A AA1 ? 4 , CN ? 3 AN , 点 M ,P,Q 分别是 AA1,1 B1, 2

BC 的中点.

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所以 EF // PQ ,又 EF ? 平面 BMN , PQ ? 平面 BMN 所以 PQ // 平面 BMN ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6 分

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