江苏省宿迁市2013届高三一模统测数学试题


江苏省宿迁市 2013 届高三一模统测


数学Ⅰ 注意事项:
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求



必做题部分

1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) .本卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的 相应位置. 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答,在其它位置作答一律无 效. 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.

参考公式:
样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的方差 s 2 ?
1 n 1 n ? ( xi ? x)2 ,其中 x ? n ? xi . n i ?1 i ?1

一、填空题:本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡上. .... 1.若集合 A ? ??1, 0 , 1? , B ? x x ? m2 ? 1, m ?R ,则 A ? B = 2.若复数 z 满足 i z ? ?1 ? 3 i ,其中 i 是虚数单位,则 z = ▲

?

?

▲ . .

3.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有 40 种、10 种、30 种、20 种, 现采用分层抽样的方法, 从中随机抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测, 则抽取的动物类 食品种数是 ▲ . I←1 S←1 While S ≤ 24 . I←I+1 S←S×I End While Print I 第 5 题图

4.已知某同学五次数学成绩分别是:121,127,123, a ,125,若 其平均成绩是 124,则这组数据的方差是 ▲ . 5.如图,是一个算法的伪代码,则输出的结果是 ▲

6.已知点 P 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上运动,则 P 到直线 3x ? 4 y ? 15 ? 0 的距离的最小值为 ▲ . ▲ .

7. 过点 ?? 1,0? 与函数 f ? x ? ? e x ( e 是自然对数的底数)图象相切的直线方程是

8.连续抛掷一个骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)两次,则 出现向上的点数和大于 9 的概率是 ▲ . C C1

9.如图,一个封闭的三棱柱容器中盛有水,且侧棱长 AA ? 8 . 1 B 若 侧 面 AA B1 B 水 平 放 置 时 , 液 面 恰 好 过 A 1 A1 第 9 题图 ▲ . B1

AC, BC, A1C1 , B1C1
的中点.当底面 ABC 水平放置时,液面高度为 10 . 已 知 ? , ? ? ( ▲ .
n

π 5π π 4 5π 5 , ) , 若 sin(? ? ) ? , cos( ? ? ) ? , 则 sin(? ? ? ) 的 值 为 3 6 6 5 6 13

11.若数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,则当 bn ?

a1 ? a2 ??? an 时,数列 ?bn ? 也是等比数列;

类比上述性质,若数列 ?cn ? 是等差数列,则当 dn ? ___ ▲__时,数列 ?dn ? 也是等差数列. 12.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0 , b ? 0? , A, C 分别是双曲线虚轴的上、下端点, B, F 分 a 2 b2

别是双曲线的左顶点和左焦点.若双曲线的离心率为 2,则 BA 与 CF 夹角的余弦值 为 ▲ .

13.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 1≤ a4 ≤ 4 , 2 ≤ a5 ≤ 3 ,则 S 6 的取值范围 是 ▲ . 14.已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ? 1 ,若关于 x 的方程 f ? x ? ? m ? m ?R ? 恰有四个互不相等的实数根

x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 x2 x3 x4 的取值范围是 ▲ .
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

?? 已知 a , b , c 分别是 ?ABC 的三个内角 A , B , C 的对边,若向量 m ? (2b ? c , cos C ) , ? n ? (a , cos A) ,且 m ∥ n .

(1)求角 A 的大小;

π (2)求函数 y ? 3sin B ? sin(C ? ) 的值域. 6 16.(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC? A1 B1C1 中, AC ? BC , BC ? BB1 , D 为 AB 的中点.
(1) 求证: BC1 ? 平面 AB1C ; (2) 求证: BC1 ∥平面 A1CD . A D B C

A1 B1

C1

第 16 题图 17.(本小题满分 14 分) 小张于年初支出 50 万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出 6 万元,从第二年 起, 每年都比上一年增加支出 2 万元, 假定该车每年的运输收入均为 25 万元.小张在该车运输累 计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第 x 年年底出售,其销售收入为 25 ? x 万元(国家规定大货车的报废年限为 10 年) . (1)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出? (2)在第几年年底将大货车出售,能使小张获得的年平均利润最大? ... (利润=累计收入+销售收入-总支出)

18.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 C :

6 3 6 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,一条准线方程为 x ? . 2 3 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 G, H 为椭圆上的两个动点, O 为坐标原点,且 OG ? OH . ①当直线 OG 的倾斜角为 60 ? 时,求 ?GOH 的面积; ②是否存在以原点 O 为圆心的定圆,使得该定圆始终与直线 GH 相切?若存在,请求出该定 圆方程;若不存在,请说明理由.

19.(本小题满分 16 分)

已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 数 列 {an 2 } 的 前 n 项 和 为 Tn , 且

(Sn ? 2)2 ? 3Tn ? 4 , n ? N* .
(1) 证明数列 {an } 是等比数列,并写出通项公式; (2) 若 S n ? ?Tn ? 0 对 n ? N* 恒成立,求 ? 的最小值;
2

(3)若 an , 2x an?1 , 2 y an?2 成等差数列,求正整数 x, y 的值.

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x , h ? x ? ? (1)求 h ? x ? 的最大值; (2)若关于 x 的不等式 x f ( x) ≥ ?2 x2 ? ax ? 12 对一切 x ? (0 , ? ?) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若关于 x 的方程 f ( x) ? x3 ? 2e x2 ? bx ? 0 恰有一解,其中 e 是自然对数的底数,求实数 b 的值.

ln x . x

数学Ⅱ 注意事项:

附加题部分

本试卷共 2 页,均为非选择题(第 21 题~第 23 题) .本卷满分为 40 分,考试时间为 30 分钟, 考试结束后,请将答题卡交回.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作 答,在其它位置作答一律无效. 21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若多 ....... ............ 做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. C A.选修 4-1:几何证明选讲(本小题满分 10 分) B 如图,已知 AB , CD 是圆 O 的两条弦,且 AB 是线段 CD 的 垂直平分线,若 AB ? 6 , CD ? 2 5 ,求线段 AC 的长度. A (第 21—A 题图) D

B.选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知矩阵 M= ?

?2 1 ? ? 的一个特征值是 3,求直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 在 M 作用下的新直线方程. ?1 a ?

C.选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? cos? ( ? 是参数) 若以 O 为极点, , ? y ? sin ? ? 1

x 轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系中相同的单位长度,建立极坐标系,求曲线 C 的极坐标方
程.

D.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 已知关于 x 的不等式 ax ? 1 ? ax ? a ≥ 1 的解集为 R ,求正实数 a 的取值范围.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 ....... 文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在正四棱锥 P ? ABCD 中,已知 PA ? AB ?

2 ,点 M 为 PA 中点,求直线 BM 与平面
P

PAD 所成角的正弦值.

M D O A 第 22 题图 B C

23. (本小题满分 10 分) 某商场在节日期间搞有奖促销活动,凡购买一定数额的商品,就可以摇奖一次.摇奖办法是 在摇奖机中装有大小、质地完全一样且分别标有数字 1~9 的九个小球,一次摇奖将摇出三个小

球,规定:摇出三个小球号码是“三连号” (如 1、2、3)的获一等奖,奖 1000 元购物券;若三 个小球号码“均是奇数或均是偶数”的获二等奖,奖 500 元购物券;若三个小球号码中有一个是 “8”的获三等奖,奖 200 元购物券;其他情形则获参与奖,奖 50 元购物券.所有获奖等第均以 ........ 最高奖项兑现,且不重复兑奖.记 X 表示一次摇奖获得的购物券金额. ...... ...... (1)求摇奖一次获得一等奖的概率; (2)求 X 的概率分布列和数学期望.

(2) 因 为

y ? 3 sin B ? sin(

2? ? ? ? B ? ) ? 3 sin B ? cos B ? 2 sin( B ? ) ?12 分 3 6 6



?
6

? B?

?
6

?

5? ? ,所以函数 y ? 2 sin( B ? ) 的值域为 ?1,2? ????????14 分 A 6 6 C
D B G A1 B1 C1

16. (1)因为在直三棱柱 ABC? A1 B1C1 中,所以 CC1 ? 平面 ABC , 因为 AC ? 平面 ABC ,所以 CC1 ? AC , 又 AC ? BC , CC1 ? BC ? C ,所以 AC ? 平面 B1C1CB , 因为 BC1 ? 平面B1C1CB ,所以 BC1 ? AC ?????4 分

又因为 BC ? BB1 ,所以 BB1C1C 是正方形,所以 BC1 ? B1C , 又 B1C ? AC ? C ,所以 BC1 ? 平面 AB C , 1 ??????????????8 分

(2)在正方形 A1C1CA 中,设 AC1 ? A1C ? G ,则 G 为 AC1 中点, D 为 AB 的中点,结 DG ,在

?ABC1 中, BC1 ∥ DG ,

??????????????????12 分

因为 DG ? 平面 A1CD , BC1 ? 平面 A1CD ,所以 BC1 ∥平面 A1CD , ???14 分 17. (1)设大货车到第 x 年年底的运输累计收入与总支出的差为 y 万元, y ? 25x ? [6 x ? x( x ? 1)] ? 50, (0<x ≤10,x ? N) , 则

18. (1) 因

c 6 a2 3 6 2 2 2 ? 为 ? , , a ? b ? c ,???????????2 分 a 3 c 2
解得 a ? 3, b ? 3 , 所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 . ?????????????????????4 分 9 3

? 2 9 ? y ? 3x ? x ? 10 ? 2 ? (2)①由 ? x ,解得 ? ,????????????????6 分 y2 27 2 ? ?1 ? ?y ? 3 ?9 ? 10 ?

? 3 ? 2 9 x ?y ? ? ?x ? 2 ? ? 3 由? 得? , ????????????????????8 分 2 2 ?y2 ? 3 ?x ? y ?1 ? ?9 2 ? 3 ?
所以 OG ?

3 10 3 15 , OH ? 6 ,所以 S ?GOH ? .???????????10 分 5 5

②假设存在满足条件的定圆,设圆的半径为 R ,则 OG ? OH ? R ? GH 因为 OG ? OH ? GH ,故
2 2 2

1 1 1 ? ? 2, 2 2 OG OH R

当 OG 与 OH 的斜率均存在时,不妨设直线 OG 方程为: y ? kx ,

19. (1)因为 (Sn ? 2)2 ? 3Tn ? 4 ,其中 S n 是数列 {an } 的前 n 项和, Tn 是数列 {an } 的前 n 项和,且
2

an ? 0 ,
当 n ? 1 时,由 (a1 ? 2)2 ? 3a12 ? 4 ,解得 a1 ? 1 ,?????????????????2 分

当 n ? 2 时,由 (1 ? a2 ? 2)2 ? 3(1 ? a22 ) ? 4 ,解得 a2 ?
2 2

1 ; ????????????4 分 2

[来

由 (S n ? 2) ? 3Tn ? 4 ,知 (S n?1 ? 2) ? 3Tn?1 ? 4 ,两式相减得
2 (S n?1 ? S n )(S n?1 ? S n ? 4) ? 3an?1 ? 0 ,即 (S n?1 ? S n ? 4) ? 3an?1 ? 0 ,??????5 分

亦即 2S n?1 ? S n ? 2 ,从而 2Sn ? Sn?1 ? 2,(n ≥ 2) ,再次相减得

1 a 1 1 an?1 ? an ,(n ≥ 2) ,又 a 2 ? a1 ,所以 n ?1 ? , (n ≥ 1) an 2 2 2
所以数列 {an } 是首项为 1,公比为 其通项公式为 a n ?

1 的等比数列, ???????????????7 分 2

1 2 n ?1

n ? N* .???????????????????????8 分

n ?1? ?1? 1? ? ? 1? ? ? n n ? 2 ? ? 2?1 ? ? 1 ? ? , T ? ? 4 ? ? 4 ?1 ? ? 1 ? ? ,??10 分 (2)由(1)可得 S n ? ? ? ? ? ? ? ? ? n 1 1 3? ?4? ? ? ?2? ? ? ? ? ? 1? 1? 4 2

n

20. (1) 因为 h ? x ? ?

ln x 1 ? ln x ,?????????????2 分 , ? x ? 0? ,所以 h? ? x ? ? x x2

由 h?( x) ? 0 ,且 x ? 0 ,得 0 ? x ? e ,由 h?( x) ? 0 ,且 x ? 0 , x ? e ,???????4 分

所以函数 h ? x ? 的单调增区间是 (0, e] ,单调减区间是 [e, ??) , 所以当 x ? e 时, h ? x ? 取得最大值 ;?????????????????????6 分 (2)因为 xf ( x) ≥ ?2 x2 ? ax ? 12 对一切 x ? (0,??) 恒成立, 即 x ln x ? x 2 ≥ ?2 x 2 ? ax ? 12 对一切 x ? (0,??) 恒成立, 亦即 a ≤ ln x ? x ?

1 e

12 对一切 x ? (0,??) 恒成立,????????????????8 分 x

设 ? ( x) ? ln x ? x ?

12 x 2 ? x ? 12 ( x ? 3)(x ? 4) ? ,因为 ? ?( x) ? , x x2 x2

故 ? (x) 在 (0,3] 上递减,在 [3,??) 上递增, ? ( x) min ? ? (3) ? 7 ? ln 3 , 所以 a ≤ 7 ? ln 3 . ????????????????????????????10 分
3 2

3 2 (3)因为方程 f ( x) ? x ? 2ex ? bx ? 0 恰有一解,即 ln x ? x ? x ? 2ex ? bx ? 0 恰有一解,即

ln x ? x 2 ? 2ex ? b ? 1 恰有一解, x
由(1)知, h(x) 在 x ? e 时, h( x) max ?

1 ,????????????????12 分 e

B. (选修 4—2:矩阵与变换) 因为矩阵 M= ?

?2 1 ? 的一个特征值是 3, 1 a? ? ?

设 f (? ) ?

? ? 2 ?1 ? (? ? 2)(? ? a) ? 1 ? 0 , ?1 ? ? a
?2 1 ? ? ,??????????5 分 ?1 2 ?

则 (3 ? 2)(3 ? a) ? 1 ? 0 ,解得 a ? 2 ,所以 M ? ?

设直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 上任一点 ? x, y ? 在 M 作用下对应点为 ?x?, y ?? ,

则有 ?

?2 1 ? ? x ? ? x ? ? ?2 x ? y ? x ? ? ? y ? ? ? y ?? ,整理得 ? x ? 2 y ? y ? , ? ?1 2? ? ? ? ?

2 1 ? ? x ? 3 x? ? 3 y ? ? 即? ,代人 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,整理得 4 x? ? 5 y ? ? 9 ? 0 , ? y ? 2 y ? ? 1 x? ? 3 3 ?

故所求直线方程为: 4 x ? 5 y ? 9 ? 0 .??????????????????10 分 C. (选修 4-4:坐标系与参数方程)

? y ? sin ? ? 1 由? 消去 ? ,得 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 , ? x ? cos ?
曲线 C 是以 (0,1) 为圆心,半径等于 1 的圆. ???????????????5 分

π 所以在极坐标系下,曲线 C 是以 (1, ) 为圆心,半径等于 1 的圆. 2
所以曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? . D. (选修 4-5:不等式选讲) 因为 ax ? 1 ? ax ? a ≥ a ? 1 , ????????????????????????5 分 故原不等式解集为 R 等价于 a ? 1 ≥ 1. 所以 a ≥ 2, 或a ≤ 0. 又因为 a ? 0 ,所以 a ≥ 2 , 所以正实数 a 的取值范围为 [2,??) . ???????????????????10 分 ???????????????10 分

23. (1)

记“摇奖一次获得一等奖”为事件 A, 连号的可能情况有:123,234,345,456,567,678,789 共 7 种情况.


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