四川省成都市石室中学高中数学 2.3 等差数列的前n项和(第一课时)教案 新人教A版必修5


2.3 等差数列的前 n 项和(第一课时)
(适合高二年级文科数学) 教学内容分析 本节课教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书——数学(必修五)》(人教 A 版) 第二章第三节“等差数列的前 n 项和”(第一课时)。本节课是在学习了等差数列的定义、通 项公式及相关性质的基础上来学习的,主要研究如何应用“倒序相加法”求等差数列的前 n 项和,并能利用该公式解决简单的数列求和问题。等差数列在现实生活中比较常见,因此, 等差数列的求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题,同时,求数列前 n 项和 也 是数列研究的基本问题。另外,通过对等差数列前 n 项和公式的推导过程的探究与思考,可 以培养学生认识事物规律时从特殊到一般, 又从一般到特殊的研究方法, 有利于学生在认知 世界过程中形成科学的认识观和方法论。 学生学习情况分析 本节课授课班级是我校高二年级的文科平行班, 学生学习基础一般, 数学成绩中等偏多, 对授课教师的课堂设计和有效的教学引导提出一定的要求。 学生在本节课之前, 已经学习了 等差数列的定义、通项公式和相关性质,并对高斯算法有所了解,这些都为课堂上介绍“倒 序相加法” ,来研究等差数列的前 n 项和公式奠定了基础,降低了难度。但是,在由高斯算 法引入,到转而采用“倒序相加法” ,利用等差数列的性质首位配对,对等差数列前 n 和进 行探究, 这一研究思路的获得, 可能会成为学生学习上的一大障碍, 也是本节课的难点所在。 设计思想 人本主义学习理论以“人”为中心,把认知和情感合二为一,以便培养出完整的人,强 调学生学习内部动机的重要性。在其基础上建立起来的教学观认为教学的目标在于促进学 习,教学活动的重心是学生,倡导学生在好奇心的驱使下,进行以经验为中心的“有意义的 自由学习” , 而不是教师强迫下学生无助地、 顺从地学习, 教师应成为学生 “学习的促进者” 。 因此,本节课的教学设计围绕学生展开,在具体问题情境中发现问题,让学生带着思考,经 历三个由易到难, 由特殊到一般的问题探究, 层层铺垫展开学习。 教师组织学生在自主探究、 独立思考及合作交流中,完成对等差数列前 n 项和公式的研究性学习,获得思想、情感、体 验和行为上的收获。 教学目标 1. 知识与技能 理解等差数列前 n 项和的意义,会选择不同的等差数列前 n 项和的求和公式解决简单 的不同类型的等差数列的求和问题。

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2. 过程与方法 经历特殊等差数列的求和探究过程,以及等差数列前 n 项和公式的推导过程,体会等 差数列前 n 项和倒序求和以及配对的思想方法。

3. 情感、态度和价值观 在问题的探究过程中体验从特殊到一般,又从一般到特殊的认识事物的规律,感悟类 比、转化等数学思想,获得合作探究解决问题,积极主动学习的乐趣。 教学重点与难点 教学重点: 探索并掌握等差数列的前 n 项和公式, 并会应用该公式解决一些简单的等差 数列的求和问题。 教学难点:等差数列前 n 项和公式推导思路的获得。 教学过程 (一) 复习回顾,承上启下 1. 等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等 于同一个常数,那么 这个数列就叫做等差数列。 数学表达式:an-an-1=d (n≥2)

2. 等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d (n∈N ) 拓展公式: an=am+(n-1)d (m 、n 均∈N ,且 n>m≥1)




3. 等差数列的有关性质 ? (1)若 a、A、b 组成等差数列,则 2A=a+b ,A 叫 a 与 b 的等差中项。 (2)若 m、n、p、q∈N ,且 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq 特别地,若 m、n、p∈N ,且 m+n=2p,则 am+an=2ap (3)a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?=ak-1+ak+1=? (n、k∈N ) 【设计意图】复习回顾课前有关准备知识,为课堂上有效教学奠定基础,扫除障碍。
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(二) 创设情境,呈现问题
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泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建, 她宏伟壮观,纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界七大奇迹之一。陵寝 以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石 镶饰而成,共有 100 层(见下图) ,奢靡之程度,可见一斑。你们知道这个图案一共花了多 少宝石吗?

【设计意图】情境学习理论认为数学学习离不开具体的背景情境,良好的问题情境可以 更加激发学生的学习兴趣,激发探究的欲望。 【知识链接】著名的德国数学家高斯的一个小故事 在高斯 10 岁的时候, 他的老师出了一道数学题: 1+2+3+4+?+100=?在别的同学都在忙 着计算的时候,高斯很快得出了正确答案,你知道高斯是怎么算出来的吗? (1+100)+(2+99)+(3+98)+?+(50+51) = 50×101 = 5050 【学情预设】学生们对于高斯算法并不陌生,因此,很容易得出这个问题的计算结果, 但是恕不知高斯算法里其实蕴含着等差数列求和的一般规律。 学生对这种算法大部分是停留 在表面的模仿和机械记忆阶段,缺乏对“首位配对法”深层次的思考。那么教师在课堂上应 给予学生充分的时间观察、思考,建议采用小组合作学习的方式,生生互动,达到对问题的 进一步认识。此时,为了使学生更好地认识和理解高斯算法,教师在学生算出结果后,可以 不时机地提出课前精心预设好的三个问题, 由浅入深, 由易到难, 逐层深入地探索与发现 “首 位配对法”可能存在的局限,寻找等差数列求和一般规律和解决方法。

问题 1:图案中,第 1 层到第 21 层一共有多少颗宝石? 教师组织学生采用小组合作学习的方式, 积极讨论, 并以小组汇报的形式展示问题的解 决方法。 【学情预设】学生可能有以下方法:

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生 1:(1+21)+(2+20)+(3+19)+ ? +(10+12)+11=231 生 2:(1+20)+(2+19)+(3+18)+ ? +(10+11)+21=231 生 3:0+1+2+3+ ? +21=(0+21)+(1+20)+(2+19)+(3+18) + ? +(10+11)=231 ?? 【设计意图】这是等差数列奇数项的求和问题,由于奇数无法完成全部两两配对,因此 需要学生积极拓展思维,培养学生转化与回归的思想。

问题 2:图案中,第 1 层到第 n 层(n∈N )一共有多少颗宝石? 教师再次组织学生采用小组合作学习的方式, 积极讨论, 并以小组汇报的形式展示问题 的解决方法。 【学情预设】学生通过生生之间交流、讨论后, 发现要想采用高斯“首尾配对” 的算法, 必须对项数 n 是奇数还是偶数展开分类讨论, 这样就使得问题的解决显得更加麻烦了。 教师 应发挥积极有效的引导作用,提出“有没有更加简便的方法呢?” ,避免学生在此环节做过 多讨论,浪费课堂时间。同时,有效把握好课堂预设与生成的关系。 【设计意图】遵守从特殊到一般,由简单到复杂的科学研究方法,教师一方面放手让学 生去积极思考,不断前进,在探索过程中获得深刻的认知体验和积极的自我心理暗示: “首 位配对法”不是万能的,也不一定是最简便的,更重要的是使学生自然地受到问题的驱动, 积极探究。另一方面,把求确定的若干个正整数之和的问题,扩展到求不确定的 n 个正整数 之和,都是对学生思维提出的挑战。



【课件展示】 1 n n-1 n-2

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1 n n 【设计意图】将全等三角形倒置,借助几何图形,把抽象问题简单化、直观化,既符合
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学生的认识规律,又渗透了数形结合的数学思想。

(三)探究发现,类比猜想,总结公式 问题 3:对于一般的等差数列 探究) 1.数列前 n 项和 SN 的定义: 一般地,我们称

?an ?,我们该如何求其前 n 项和呢?(用字母代替数来

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ?a a n ? 的 前 n 项 和 , 用 Sn 表 示 , 即 n 为数列 ?

Sn ? a1 ? a 2 ? a 3? ??? ? an 。
2.用倒序相加法求等差数列的前 n 项和 SN 【学情预设】学生受第 2 个问题的启发,在教师引导下,有组织地进行自主探究与合作 学习,寻找问题的解决办法。问题 1、2 与问题 3 联系密切,过渡自然,且为问题 3 的求解 做铺垫,学生更有信心探究问题的答案。教师可组织课堂讨论,采用提问等方式听取学生的 解决思路。 生:

Q Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an

Sn ? an ? an?1 ? an?2 ???? ? a1
两式相加: 2Sn=(a1+an)+(a2+an+1)+(a3+an-2 )+?+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1) 利用等差数列的性质: 若 m、n、p、q∈N ,且满足 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq 得到


Sn ?

n(a1 ? an ) 2

————公式一

(由于学生已学过等差数列的通项公式,教师可再次组织学生讨论,形成公式二) 又由于

an ? a1 ? (n ?1)d
Sn ? na1 ? n ? n ? 1? d 2

代入到公式一中,整理,得到 —————公式二

师生共同探究出等差数列的求和公式后, 教师可带领学生对两个公式稍加分析比较, 寻 找相同点和不同点,每个公式涉及的四个变量做到“知三求一” ,可以建立方程求解,向学 生渗透方程的思想。 【知识链接】为了帮助学生理解和记忆公式,教学时可以用学生熟知的梯形面积公式,
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借助于图形来展示。如下图所示: (1) S n ?

n(a1 ? an ) 2



(2) S n ? na1 ?

n ? n ? 1? d 2

(四)公式应用,解决问题 1.建立模型,应用公式 例题 1. 2000 年 11 月 14 日教育部下发了 《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》 。 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标: 从 2001 年起用 10 年的时间, 在全市中小学 建成不同标准的校园网。据计算,2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元。为 了保证工程的顺利实施, 计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元, 那么从 2001 年起的 未来 10 年内,该市在“校校通”工程中总投入是多少? 【巩固练习】

巍巍宝塔十三层, 底层装铃三十整, 每上一层少两个, 问塔共有几多铃? 【设计意图】 例题 1 和练习都是一个与实际有关的求和应用问题, 首先需要学生从实际 情境中,发现并构建一个等差数列的模型,锻炼学生数学表达和理解能力,又加强了数学与 生活的联系,发展学生的数学应用意识;其次,需要学生根据题目含义,提取出有用的数据
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信息,转化为题目的已知条件,通过前面对公式的观察类比,概况总结,选择恰当的公式来 应用求解。

2.选用公式,知三求一/二 例题 2 根据下列条件,求出等差数列

?an ? 的前 n 项和 Sn。

(1)a1 ? 5, an ? 95, n ? 10; (2)a1 ? 100, d ? ?2, n ? 50
10(5 ? 95) ? 500; 2 解: 50(50 ? 1) (2) S n ? 50 ?100 ? ? ( ?2) ? 2550 2 (1) S n ?
【知识链接】如果已知首项、末项和项数,即 a1 , an , n ,选择使用公式一,如果已知 首项、公差和项数,即 a1 , d , n ,选择使用公式二。 【设计意图】熟悉公式,掌握特点

【巩固练习】在下表的等差数列 题号 (1) (2) (3) (4) 解: 题号 (1) (2) (3) (4) -1

?an ? 中,根据已知的三个数,求未知的两个数。
d

a1
1 -20

n an
4 1 5 10

Sn

-2 3 2

0 35

a1 d
1 -20 -4 -1 -2 3 2 1

n
4 8 5 10

an
-5 1 4 8

Sn
-8 -76 0 35

【设计意图】建立等差数列前 n 项和与解方程之间的联系。已知几个量,通过解方程,
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得出其余的几个量。 在教学中要让学生体会方程的思想, 引导学生认识到等差数列前 n 项和 公式,实质上就是一个关于 a1 , an , n 或者 a1 , d , n 的方程,使学生能把方程思想和前 n 项 和公式相结合,解决等差数列的前 n 项和问题,培养学生的综合解决问题的能力。

(五)小结回顾,深化理解 活动形式:提问—小结 通过本节课的学习,你有什么收获? 【设计意图】教师采用提问—小结的活动形式,让学生自我反思、概况总结出本节课的 收获与体会。涉及内容可以是本节课的思想、方法,也可以是学习内容。让学生在反思与小 结中,对等差数列的求和公式做进一步的深化理解。

(六)作业布置 A 必做题: 课本 46 页,习题 2.3 A 组,练习第 2 题 B 选做题:在等差数列

?an ? 中,

课本 46 页,习题 2.3 B 组,练习第 1、2 题 【设计意图】设置必做题是让学生巩固所学的知识,熟练公式的应用,设置选做题时为 了体现差异,促进部分前进生的发展,达到分层教学的目的。

教学反思 本节课是关于等差数列求和的一节新授课,为了使学生更好地理解等差数列的求和公 式,设计了三个由易及难、逐层递进的问题。通过对问题的解决,层层铺开,由高斯算法过 渡到倒序相加法,把解决一些特殊等差数列的求和问题深化到解决一般等差数列的求和问 题。从课堂效果反映来看,这样的设计有水到渠成之效。当然,一节课的效果如何,不只是 在于教师的提前预设,更在于课堂上的有效的师生互动、交流。学生才是课堂真正的主人, 教师只是“学生学习的引导者、组织者、合作者” 。所以在本节课的授课中,多次进行了合 作、交流、讨论等环节,帮助同学们在相互学习中发现、提出问题,进而分析、解决问题, 从而实现在研究中拓展思维、发展能力,丰富情感、思想的体验,获得数学学习的乐趣。

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