河北省正定中学2015-2016学年高二数学上学期第四次月考试题


高二年级第四次月考数学试题
试卷Ⅰ(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.
2 1. 设集合 M ? x x ? 3x ? 2 ? 0 , 集合 N ? ? x ( ) x ? 4? , 则 M ? N =(

?

?

? ?

1 2

? ?



A. x x ? ? 2

?

?

B. x x ? ?1

?

?

C. x x ? ? 1 )

?

?

D. x x ? ? 2

?

?

2 2. 已知命题 p : ?x ? R , 2 x ? 1 ? 0 ,则 ? p 是(

2x ? 1 ? 0 A. ?x ? R,
2

2x ? 1 ? 0 B. ?x ? R,
2

2x ? 1 ? 0 C. ?x ? R,
2

2x ? 1 ? 0 D. ?x ? R,
2

3. 从三元、光明、蒙牛三种品牌的牛奶包装袋中抽取一个样本进行质量检测,采取分层抽样的 方法进行抽取,已知三元、光明、蒙牛三种品牌牛奶的总体数(袋数)是 1000,2000,3000,若 抽取的样本中,光明品牌的样本数是 10,则样本中三元品牌和蒙牛品牌的样本之和是( ) A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 4. 已知向量 a ? ?1, 2?, b ? ?x, ? 4?, 若 a // b ,则 x 的值为 A. 8 B. ? 8 C. 2 D. ? 2 )
? ? ? ?

5. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,则“ a ? b ”是“ cos 2 A ? cos 2 B ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 6. 一简单组合体的三视图如图所示, 则该组合体的体积为( ) A. 12 ? ? C. 38 ? 2? B. 38 ? 2? D. 12 ? ?
图(1)

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件
1

1

2 正视图

1

0.5

2 侧视图

0.5

俯视图

7. 等比数列 {an } 中, a4 ? 2, a5 ? 5 ,则数列 {lg an } 的前 8 项和等于 ( A.6 B.5 C.3 D. 4



8. 若执行右边的程序框图,输出 S 的值为 4,则判断框中应填入的条件是(



1

A. k ? 14 ?

B. k ? 15 ?

C. k ? 16 ?

D. k ? 17 ?

?y ? 1 ? 9. 动点 P ( x, y ) 满 足 ? x ? 2 y ? 5 ,点 Q 为 (1,?1) , O 为 坐 标原 点, ?x ? y ? 3 ?

? | OQ |? OP ? OQ ,则 ? 的最大值是(
A. ?1 B. 1 C. 2

) D. 2

10. 设 m, n ? R ,若直线 mx ? ny ? 1 ? 0 与 x 轴相交于点 A ,与 y 轴相交于点 B ,且 l 与圆

x2 ? y2 ? 4 相交所得弦的长为 2 , O 为坐标原点,则 ?ABO 面积的最小值为(
A. 3 11. 已知 F1 , F2 是双曲线 B. 4 C. 2 D. 2



x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左右两个焦点,过点 F2 与双曲线的一条 a 2 b2

渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M ,若点 M 在以线段 F1 F2 为直径的圆外,则该 双曲线离心率的取值范围是( A. 1, 2 )

?

?

B.

?
2 5

2,3

?

C.

?

3, 2

?

D.

? ?? ? 2,
4 成 5

2 2 2 12.已知函数 f ( x) ? ( x ? a) ? (ln x ? 2a) ,其中 x ? 0, a ? R ,存在 x0 ,使得 f ( x0 ) ?

立,则实数 a 的值为( A.

) B. C.

1 5

1 2

D.1

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
2 2 2 13. 若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线 x ? y ? 1的一个焦点,则 p ?



14.由直线 x ? y ? 2 ? 0 ,曲线 y ? x 以及 x 轴围成的图形的面积为
3



AC AE ? .把这个 BC BE 结论类比到空间:在三棱锥 A ? BCD 中,面 DEC 平分二面角 A ? CD ? B ,且与 AB 相
15.在平面几何中: ?ABC 的 ?C 内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为
2

交于 E ,则得到类比的结论是

.

16.以下命题正确的是: ①把函数 y ? 3sin(2 x ?

.

?
3

) 的图象向右平移

? 个单位,可得到 y ? 3sin 2 x 的图象; 6

②四边形 ABCD 为长方形,AB ? 2, BC ? 1, O 为 AB 中点, 在长方形 ABCD 内随机取一点 P , 取得的 P 点到 O 的距离大于 1 的概率为 1 ?

? ; 2
S10 S S ) , (100, 100 ) , (110, 110 ) 共线; 10 100 110

③等差数列 {an } 前 n 项和为 Sn ,则三点 (10,

④ 已 知 f ?( x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 的 导 函 数 , 且 满 足 f ?( x) ? 1 , 则 不 等 式

1 f ( x) ? 2 x ? 1 ? f (3x ? 1) 的解集为 {x | x ? ? } . 2
三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.) 17. (本题满分 10 分)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a3 ? 5, S15 ? 225 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 bn ? 2
an

? 2n , {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .
2b ? c cos C . ? a cos A

18. (本题满分 12 分)在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 (1)求角 A 的大小; (2)求函数 y ?

3 sin B ? sin(C ?

?
6

) 的值域.

19. (本小题满分 12 分)某校高二某班的一次数学测试成绩(满分为 100 分)的茎叶图和频率分布 直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:

3

(1)求分数在 [50, 60) 的频率及全班人数; (2)求分数在 [80,90) 之间的频数,并计算频率分布直方图中 [80,90) 间的矩形的高; (3)若要从分数在 [80,100] 之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中,求至 少有一份分数在 [90,100] 之间的概率.

20.(本题满分 12 分)在等腰梯形 ABCD 中, AD / / BC ,

AD ?

1 BC , ?ABC ? 60? , N 是 BC 的中点,将 2
B

A

梯形 ABCD 绕 AB 旋转 90°,得到梯形 ABC1D1 (如图). (1)求证: AC ? 平面ABC1 ; (2)求二面角 A ? C1 N ? C 的余弦值.
N

21. (本小题满分 12 分) 已知圆 E : ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 ,点 F ( 3,0) , P 是圆 E 上任意一点.线段 PF 的垂直平分线 和半径 PE 相交于 Q . (1)求动点 Q 的轨迹 ? 的方程; ( 2 ) 设 直 线 l 与 (Ⅰ) 中 轨 迹 ? 相 交 于 A, B 两 点 , 直 线 OA, l , OB 的 斜 率 分 别 为

k k11,,k k,,k k22,,( (其中 其中 k k? ?0 0) ) .△ OAB 的面积为 S ,以 OA, OB 为直径的圆的面积分别为 S1 , S 2 .若 k1 , k , k 2 恰好构成等比数列,求
S1 ? S 2 的取值范围. S

4

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1)求函数 f ( x) 的极大值;

x ?1 ex .

(2)设定义在 [0,1] 上的函数 g ( x) ? xf ( x) ? tf ?( x) ? e (t ? R) 的最大值为 M ,最小值为 N ,
?x

且 M ? 2 N ,求实数 t 的取值范围. 高二年级数学试卷 (理科)答案 一、选择题 ADBDC DDCDA DA 二、填空题 13. 2 2 14.

3 S AE 15. ?ACD ? 16.①③④ 4 S?BCD BE

三、17. 解析:错误!未找到引用源。 根据已知条件,先设 ?an ? 的首项为 a1 错误!未找到引 用源。,公差为 d , 则 a2 ? a1 ? 2d ? 5, S15 ? 15a1 ? 15 ? 7d ? 225 ,错误!未找到引用源。得

a1 ? 1, d ? 2, ? an ? 2n ? 1 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。???5 分
错误!未找到引用源。 由错误!未找到引用源。知, bn ? 2 到引用源。 ,
2 n ?1

? 2n ?

1 n ? 4 ? 2n 错误!未找 2

?Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ?

1 1 2 (4 ? 4 ? ??? ? 4n ) ? 2(1 ? 2 ? ??? ? n) 2

?

4n ?1 ? 4 2 2 ? n 2 ? n ? ? 4n ? n 2 ? n ? ????????10 分错误!未找到引用源。 6 3 3

2b ? c cos C 2sin B ? sin C cos C ? ? ,由正弦定理得: , a cos A sin A cos A 整理得: 2sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C 即: 2sin B cos A ? sin( A ? C ) ? sin B
18. 解: (1)∵ ∵ B 是锐角三角形的内角,∴ sin B ? 0 ∴ cos A ? (2) ∵ A ?

? 1 , A ? ???6 分 3 2

?
3

∴B?C ?

2? 2? ?B ,C ? 3 3

5

? ? 0? B? ? ? 2 ∵? ? ?0 ? C ? ? ? 2



?
6

?B?

?
2

???8 分

由 y ? 3 sin B ? sin(C ?

?
6

) 即C ?

2? ? ? B 得: y ? 3 sin B ? cos B ? 2sin( B ? ) ,?10 分 3 6



?
6

?B?

?
2

, ∴ y?

?

3, 2? ? ?????12 分
(2 分)

19.解(1)分数在 [50, 60) 的频率为 0.008×10=0.08,

2 由茎叶图知:分数在 [50, 60) 之间的频数为 2,所以全班人数为 =25, (4 分) 0.08 (2)分数在 [80,90) 之间的频数为 25-2-7-10-2=4; (6 分) 4 频率分布直方图中 [80,90) 间的矩形的高为 ÷10=0.016. (8 分) 25 (3)将 [80,90) 之间的 4 个分数编号为 1,2,3,4, [90,100] 之间的 2 个分数编号为 5,6, 在 [80,100] 之间的试卷中任取两份的基本事件为: (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6), (4,5), (4,6), (5,6)共 15 个, (10 分) 其中,至少有一份在 [90,100] 之间的基本事件有 9 个, 9 故至少有一份分数在 [90,100] 之间的概率是 =0.6. 15 20、解析: (1)证明: AD ? (12 分)

1 BC , N 是 BC 的中点,∴ AD ? NC ,又 AD ? BC ,∴四 2

? 边形 ANCD 是平行四边形,? AN ? DC ,又 ?ABC ? 60 ,? AB ? BN ? AD ,∴四边形

ANCD 是 菱 形 , ?ACB ?

1 ?DCB ? 30? , , 2

??BAC ? 90? , 即 AC ? AB, 又 平 面 C1 BA? ABC,

C1BA ? ABC ? AB ,∴ AC ? ABC1 . (6 分)
(2)解:∵ AC ? ABC1 , AC1 ? ABC . 如图建立空间直角坐标系,设
6

1 3 AB ? 1, 则( B 1,0,0),C(0, 3,0),C1 (0, 0, 3), N ( , , 0) , 2 2 ??? ? ???? ? ? BC ? (?1,0, 3), CC1 ? (0, ? 3, 3) ,
? ???? ? ? ? ?n ? BC1 ? 0 设平面 C1 NC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ? ? ???? ,取 z ? 1 , ? ? ?n ? CC1 ? 0
则 x ? 3, y ? 1, n ? ( 3,1,1) .

?

A B C ∵ AC1 ? ABC , ∴ CA 1 N ?

D ?A N , 又B

D ? CA N ,C1 AN ? ABC ? AN , ∴B 1



BD 与 AN 交于点 O , O 则为 AN 的中点, O( ,

1 3 , 0) ,∴ C1 AN 的法向量 4 4

? ??? ? ? ??? ? ??? ? 3 n ? OB 5 3 OB ? ( , ? ,0) . cos n , OB ? ??? ? ? ? , 5 4 4 OB n
由图形可知二面角 A ? C1 N ? C 为钝角, 所以二面角 A ? C1 N ? C 的余弦值为 ?

5 . (12 分) 5

21. 解析: (Ⅰ) 连结 QF , 根据题意,QP ? QF |, 则Q E ? Q F ? Q E 故动点 Q 的轨迹 ? 是以 E , F 为焦点,长轴长为 4 的椭圆. 设其方程为

Q ? P

23 , ? 4 ?| EF| ?
2分

x2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,可知 a ? 2 , c ? a 2 ? b2 ? 3 ,则 b ? 1 , 3 分 a 2 b2 x2 所以点 Q 的轨迹 ? 的方程为为 ? y 2 ? 1 . 4分 4
(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 可得 (1 ? 4k ) x ? 8kmx? 4(m ? 1) ? 0 , 2 ? y ? 1 ? ?4
由韦达定理有:

7

8km ? x1 ? x 2 ? ? ? ? 1 ? 4k 2 且 ? ? 16(1 ? 4k 2 ? m 2 ) ? 0 ? 2 ? x1 x 2 ? 4(m ? 1) ? 1 ? 4k 2 ?
∵ k1 , k , k 2 构成等比数列,? k ? k1k2 =
2
2 由韦达定理代入化简得: k ?

6分

(kx1 ? m)(kx2 ? m) ,即: km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 0 x1 x2
8分

1 1 .∵ k ? 0 ,? k ? 4 2

此时 ? ? 16(2 ? m 2 ) ? 0 ,即 m ? (? 2, 2 ) .又由 A、O、B 三点不共线得 m ? 0 从而 m ? (? 2,0) ? (0, 2) . 故S ?

1 |m| 1 | AB | ?d ? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 2 2 1? k 2
10 分

?

1 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? | m | ? 2 ? m 2 ? | m | 2

2 x12 x2 2 2 ? y ? ? y2 ?1 又 1 4 4

则 S1 ? S 2 ?

?
4

2 2 ? ( x12 ? y12 ? x 2 ? y2 )?

?

?

3? ? 5? ? [( x1 ? x 2 ) 2 ? 2 x1 x 2 ] ? ? 为定值. 16 2 4

3 3 2 ? ( x12 ? x 2 ? 2) 4 4 4

?

S1 ? S 2 5? ? ? 4 S

1 2 ? m2 ? | m |



5π 4

当且仅当 m ? ?1 时等号成立.综上: 22.解: (Ⅰ) f ?( x) ?

S1 ? S 2 5? ? [ ,?? ) ? 4 S

12 分

?x ex 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在区间 [0, ??) 上为减函数, 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在区间 ( ??, 0] 上为增函数, 所以 f ( x)极大值 ? f (0) ? 1 ????4 分 ?( x ? t )( x ? 1) x 2 ? (1 ? t ) x ? 1 (Ⅱ)因为 g ( x) ? 所以 g ?( x) ? x ex e
???6 分
8

① 当 t ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 [0,1] 上单调递减,

e 3?t ? 1 ,得 t ? 3 ? ???8 分 2 e ② 当 t ? 0 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 [0,1] 上单调递增, 3?t 所以 2 g (0) ? g (1) 即 2 ? ,得 t ? 3 ? 2e ??10 分 e ③ 当 0 ? t ? 1 时, 在 x ? [0, t ) ,g ?( x) ? 0 ,g ( x) 在 [0, t ] 上单调递减, 在 x ? (t ,1] ,g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 [t ,1] 上单调递增 t ?1 3?t } (? ) 所以 2 g (t ) ? max{g (0),g(1)} 即 2 ? t ? max{1, e e t ?1 t ?1 4 3?t 3 4 ? ? 由(Ⅰ)知 f (t ) ? t 在 t ? (0,1) 上单调递减故 2 ? t ? ? 1 ,而 e e e e e e 所以不等式( ? )无解 e 综上所述, t ? ( ??,3 ? 2e) ? (3 ? , ??) . ????????????12 分 2
由 2 N ? M , 所以 2 g (1) ? g (0) ,即 2 ?

9


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