数学精华课件:抛物线的简单几何性质(2)


抛物线的简单几何性质(2)

2013年7月14日星期日

方程
图 形 范围
对称性

y2 = 2px

y2 = -2px (p>0) y

x2 = 2py (p>0)

x2 = -2py (p>0) y

(p>0)
y

l O F x

l

y

F x

l x l

F

O

O

O

F

x

x≥0

y∈R x≤0 y∈R
关于x轴对称

x∈R y≥0
关于y轴对称

x∈R y≤0
关于y轴对称

关于x轴对称

顶点
焦半径

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? y0 2

(0,0)
p ? y0 2
p ? ( y1 ? y2 )

焦点弦 的长度

p ? x1 ? x2

p ? ( x1 ? x2 )

p ? y1 ? y2

复习回顾:

直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法:
1、根据几何图形判断的直接判断



2、直线与圆 锥曲线的公 共点的个数

Ax+By+c=0

解的个数 f(x,y)=0(二次方程)



判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程

得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

二、讲授新课:
问题:你能说出直线与抛物线位置关系吗?

y

x F

问题:已知直线 l:y=kx+1 和抛物 2 线 C:y =4x,试判断当 k 为何值时, l 与 C 有: ① 一个公共点;②两个不同公共点; ③没有公共点.

总结:
判断直线与抛物线位置关系的操作程序: 把直线方程代入抛物线方程

得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 相切 <0 相离

相交(一个交点)

相交

三、例题选讲:
例1、已知直线l:y=-x+1和抛物线 C:y2=4x,设直线与抛物线的交点为 A、B,求AB的长.
A

B

说明:直线被曲线截得的弦︱AB︱= 1+k2 ︱x1-x2︱

例2、已知抛物线C:y2=4x,设直线与抛物线 两交点为A、B,且线段AB中点为M(2,1), 求直线l的方程.
说明:中点弦问题的解决方法:
①联立直线方程与曲线方程求解 ②点差法

练习:
1、求过定点(0,2),且与抛物线y2=4x相 切的直线方程.
说明:(1)联立方程组,结合判别式求解

(2)注意斜率不存在的情形

2、顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线,截直线 2x-y-4=0 所得弦长为 3 5 ,求抛物线方程.
说明: (1)联立方程组,结合韦达定理求解 (2)直线被曲线截得的弦︱AB︱= 1+k2 ︱x1-x2︱

1、在抛物线y2=64x上求一点,使它到直线L: 4x+3y+46=0的距离最短,并求此距离.
解:直线与抛物线无交点设抛物线上一点P( x0 . y0 ),
则y0 2 ? 64x0
y0 2 将x0 ? 代入得: 64 2 y0 ? 3 y0 ? 46 2 y0 ? 48y0 ? 16? 46 d ? 16 ? , ( y0 ? R ) 5 80

4 x0 ? 3 y0 ? 46 4 x0 ? 3 y0 ? 46 d ?| |? 5 16 ? 9

y

O

.

F

x

?当y0 ? ?24时, d min ? 2 此时P(9,?24)
另解: 设直线4 x ? 3 y ? m ? 0与抛物线相切

? y 2 ? 64x y2 ? ? 3y ? m ? 0 ? ?4 x ? 3 y ? m ? 0 16

由? ? 0得 : m ? 36

2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中点纵坐标的 最小值. 解:设A( x1, y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )
设l AB : y ? kx ? b
y
M A F

B

? y ? kx ? b ? x 2 ? kx ? b ? 0 ? y ? x2 ?

o

x

1 k2 由弦长 | AB |? 1 ? k 2 k 2 ? 4b ? 2 ? b ? ? 2 1? k 4 y1 ? y2 x1 ? x2 k2 ? y0 ? ? k( )?b? ?b 2 2 2 k2 1 1? k 2 1 1 ? y0 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 3 (当k ? ?1时,取等号 ) 2 2 4 1? k 4 1? k 4 4 4
? y0 min ? 3 4

1 此时 l AB : y ? ? x ? 4

2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中点纵坐标的 最小值. 解法二: A( x1, y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 ) 设
2 MN ? AD ? BC , MN ?
1 AD ? BC ? 2( ? y0 ) 4
p 1 ? y0 ? ? y0 , 2 4
A D

y
M F

B

o
N C

x

AD ? AF , BC ? BF
1 AF ? BF ? 2( ? y0 ) 4

?ABF中, AF ? BF ? AB ? 2

?(| AF | ? | BF |) min ? 2

即y0 min

3 ? 4

3、已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线与抛物线交 于A、B,求AB中点的轨迹方程.
y

解: 设A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x, y)
? y12 ? 2 x1 ? y1 ? y2 2 由? 2 相减得: ? ( x1 ? x2 ) ? y2 ? 2 x2 x1 ? x2 y1 ? y2 ?
?

?

A

O

.

M? Q

F
?

x
B

? k AB
又k AB

1 ? y

y ?1 ? x?2

1 y ?1 ? ? 即y 2 ? y ? x ? 2 ? 0 y x?2

当x1 ? x2 =2时, , y)为(2,0)满足y2 ? y ? x ? 2 ? 0 (x

?中点M轨迹方程为: y 2 ? y ? x ? 2 ? 0

1、求焦点为F (?2,3),准线方程为y ? 5的抛物线方程.
y

解:设P( x, y)是抛物线上任意一点
则由抛物线的定义知:
?

.
P

F

O

x

P到F的距离等于到直线 ? 5的距离 y
即 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ?| y ? 5 |

化简得: ? 2)2 ? ?4( y ? 4) (x

2、设P是曲线y 2 ? 4( x ? 1)上一动点,则点P到 点(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值是?
解:曲线y 2 ? 4( x ? 1)表示顶点在(1,0) 焦点到准线的距离为 的抛物线 2
所以抛物线的准线:x ? 0, 焦点:F (2,0)
? d ?| PF |
y

d

P?

A?
O

?

.

F

x

又 | PA | ? | PF |?| AF |

?当A, P, F共线时,PA | ? | PF |) min ?| AF | (|

?(| PA | ?d )min ?| AF |? 5

3、过抛物线y ? ax 2 (a ? 0)的焦点F作一直线交抛物线 1 1 于P、Q两点,若线段PF , QF的长度分别是p, q,则 ? ? ? p q y 1 2 抛物线:x ? y a ?
1 焦点:F (0, ) 4a 1 准线:y ? ? 4a

?x1 , y1 ? Q . F
?

P?x 2 , y2 ?

O

x

焦点F(0,1/4a),准线y=-1/4a,设P(x1,y1),Q(x2,y2), 直线PQ:x=ky+k/4a 由抛物线第二定义, p=PF=y1+1/4a, q=PF2=y2+1/4a 联立y=ax^2,x=ky+k/4a, 得16a^2k^2y^2+(8ak^216a)y+k^2=0 ∴y1+y2=(16a-8ak^2)/16a^2k^2=(2-k^2)/2ak^2, y1y2=k^2/16a^2k^2=1/16a^2 1/p+1/q=1/(y1+1/4a)+1/(y2+1/4a)=[(y1+y2)+1/2a]/[y1 y2+(y1+y2)/4a+1/16a^2] =[(2-k^2)/2ak^2+1/2a]/[1/16a^2+(2k^2)/2ak^2/4a+1/16a^2](同乘8a^2k^2) =[4a(2-k^2)+4ak^2]/[k^2+2-k^2]=8a/2=4a

4、抛物线y 2 ? x和圆( x ? 3)2 ? y2 ? 1上最近两点间的距离为?
y

分析:如图, 抛物线上任意一点 P与圆上任意一点 Q

P
O F

Q
?

| PQ |?| PA |
? PQ | 最小值时,连线必经过 | 圆心

.

A

C

x

设P( x, y), C (3,0)
?| PC |? ( x ? 3) ? y ?
2 2

x ? 5 x ? 9 ( x ? 0)
2

5 11 ?当x ? 时,PC |min ? | 2 2 11 ?| PQ |min ? ?1 2

5、过抛物线y 2 ? 2 x的顶点作互相垂直的二弦OA, OB, (1)求AB中点的轨迹方程; (2)证明AB与x轴的交点为定值.
y

解:(1)设lOA : y ? kx, 则lOB

1 :y?? x k

A

x O F ? M ? y ? kx ? y ? 2 , x ? 2 联立? 2 A A k k2 B ? y ? 2x 1 ? ?y ? ? x 联立? k ? yB ? ?2k , xB ? 2k 2 ? y 2 ? 2x ? 1 x A ? xB 1 ? 2 ? 2 ? k ? ( ? k )2 ? 2 x? ? ? k k 2 ?? ?轨迹方程: 2 ? x ? 2 y 1 y A ? yB ?y ? ? ?k ? k ? 2

.

5、过抛物线y 2 ? 2 x的顶点作互相垂直的二弦OA, OB, (1)求AB中点的轨迹方程; (2)证明AB与x轴的交点为定值.
y

A

(2)设A( x1. y1 ), B( x2 , y2 ).l AB : y ? kx ? b
? y ? kx ? b 联立? 2 ? k 2 x 2 ? (2kb ? 2) x ? b2 ? 0 ? y ? 2x

O F ? M

.

x

B

b2 2b ? x1 x2 ? 2 同理 y1 y 2 ? k k

b 2 2b ? 0 ? b ? ?2k 由OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 即 2 ? k k
?l AB : y ? kx ? 2k 与x轴交点(2,0)

6、已知直线l:x=2p与抛物线 y 2 =2px(p>0)交于A、B两点, 求证:OA⊥OB. 证明:由题意得,A(2p,2p),B(2p,-2p) 所以 KOA =1,KOB =-1 因此OA⊥OB
y

A

O
B

C(2p,0)
y2=2px

x

L:x=2 p

变式1: 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线 y =2px(p>0)交于A、B 两点,求证:OA⊥OB.
y

2

A

设A? x1, y1 ?、B ? x2 , y2 ?

O
B

P(2p,0)
y2=2px

x

设l : x ? my ? 2 p代如y 2 ? 2 px得

l

y ? 2 pmy ? 4 p ? 0
2 2

....................

y 2 =2px(p>0)交于A、B两点, 变式2: 若直线l与抛物线

直线 且OA⊥OB ,则_____ l过定点(2p,0) _____.
y

A

设A? x1, y1 ?、B ? x2 , y2 ?

设l : x ? my ? a代如y ? 2 px得
2

O
B

P
y2=2px

x

y ? 2 pmy ? 2 pa ? 0
2

l

y12 y2 2 ? y1 y2 ? ?2 pa又x1 ? 、x2 ? 2p 2p

? x1 x2 ? a 2

....................

高考链接:过定点Q(2p,0)的直线与
y2 = 2px(p>0)交于相异两点A、B,

以线段AB为直径作圆C(C为圆心),
试证明抛物线顶点在圆C上。
y

A

O
B

Q(2p,0)
y2=2px

x

l


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