必修4 2.3.4 平面向量共线的坐标表示


2.3.4 平面向量共线的坐标表示

思考 如何用坐标表示两个共线向量? ? ? ? ? 设a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ), 其中b ? 0. ? ? ? ? a、b 共线 ,当且仅当存在实数? , 使 a=?b

用坐标表示 ,可写为 ( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 ) ì ? x1 = l x2 即í , 消去l :x1 y2 - x2 y1 = 0. ? ? y1 = l y2 ? ? ? ? 当且仅当 x1 y2 - x2 y1 = 0时, a与b 共线 (b ? 0) . x1 y2 - x2 y1 = 0 ? x1 y2 x2 y1
依据向量的坐标判断向量是否共线

如何用解析几何的观点得出上述结论? ? ? ? ? a与b 共线 (b 观 0) x1 y2 - x2 y1.
y ? b
D

C

? a
B

A

kAB = kCD
x

O

几点补充
1. 消去l 时能不能两式相除 ?
y1 y2 2.能不能写成 = ? x1 x2
不能两式相除,? y1 , y2有可能为0, ? ? 又b 筡 0, x2 , y2中至少有一个不为0 .

不能,? x1 , x2有可能为 0 .

3. 向量共线有哪两种形式 ? ?

? ? ? ? ? ? a =l b a / /b (b ? 0) x1 y2 - x2 y1 = 0 .

? ? ? ? 例6 已知a = (4, 2), b = (6, y), 且a / / b,求y.

? ? 解: ? a / /b ? 4y-2 ? 6=0

? y=3

例7.已知A(?1, ? 1), B(1, 3), C (2, 5), 试判断 A, B, C三点之间的位置关系.
y
● ●B
C

A ●

0

x

? ? 若向量a ? (?1, x)与b ? (? x, 2) 共线且方向相同, 求x.

例8.设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是 (x1,y1),(x2,y2). (1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;
?? ? 1 ???? ???? ? x ? x y ? y ? 1 2 1 2 op ? OP ? OP ? , 1 2 ? ? 2 2 2 ? ?

y
P P1 P2

?

?

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? ?点p的坐标为 ? , ? 2 2 ? ?

o

x

例8.设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是 (x1,y1),(x2,y2). (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.

y
P

P2 P1

y
P

P2

P1

o

x

o

x

当点P是线段P1P2的一个三等分点时, ??? 1 ???? ??? ???? 有两种情况,即P1P= PP2或P1P=2 PP2 2

例8.设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是 (x1,y1),(x2,y2). (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.
??? 1 ???? 如果P1P= PP2,那么 2 ??? ? ??? ? ??? ? OP ? OP 1 ? PP 1
???? 1 ???? ? ? OP P 1? 1P 2 3

y
P

P2

P1

???? 1 ???? ???? ? OP OP2 ? OP 1? 1 3 2 ???? 1 ???? ? OP OP2 1? 3 3 2 1 ? ? x1 , y1 ? ? ? x2 , y2 ? 3 3 ? 2 x1 ? x2 2 y1 ? y2 ? ?? , ? 3 ? 3 ?

?

?

o

x

例8.设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是 (x1,y1),(x2,y2). (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.
??? ???? 如果P1P=2PP 2,那么 ??? ? ??? ? ??? ? OP ? OP 1 ? PP 1
???? 2 ???? ? ? OP P 1? 1P 2 3

y
P
P1

P2

???? 2 ???? ???? ? OP OP2 ? OP 1? 1 3 1 ???? 2 ???? ? OP OP2 1? 3 3 1 2 ? ? x1 , y1 ? ? ? x2 , y2 ? 3 3 ? x1 ? 2 x2 y1 ? 2 y2 ? ?? , ? 3 ? 3 ?

?

?

o

x

例8.设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是 (x1,y1),(x2,y2). y ??? ? ??? ? P2 (3)若PP ? ? PP , 求点 P 的坐标 1 2 P ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP OP ? OP 1 ? ? PP 2 1 ? PP 1 ???? P1 ???? ??? ?
? OP 1 ? ? OP 2 ? OP ??? ? ???? ??? ? ? OP 1 ? ?OP 2 ? ?OP ??? ? ??? ? ???? (1? ?)OP ? OP 1 ? ?OP 2 (1 ? ?) ? x, y ? ? ? x1, y1 ? ? ? ? x2 , y2 ?

?

?

o

x

?(1? ?) x,(1? ?) y ? ? ? x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 ? x1 ? ? x2 ? (1 ? ? ) x ? x1 ? ? x2 x? ? (1 ? ? ) (1 ? ? ) y ? y ? ? y ? 1 2

y1 ? ? y2 y? (1 ? ? )

线段的定比分点坐标公式


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