高三数学总复习:专题一第1讲集合与常用逻辑用语(1)


2014-2015 学年度第二学期教学案例
年 级:ZX-12 编写时间:2015-03-01 主 备 人: 学 科:SX 编 号:NO:001 复备人:
复备栏 教学内容:集合与常用逻辑用语(1) 教学目标: 1. 理解集合间的关系,掌握集合的运算; 2. 掌握充分条件与必要条件。 教学重点: 1.集合间的关系及运算; 2.充分条件与必要条。 教学难点: 充分条件与必要条. 教学过程: 一、知识点复习: 1.必记的概念与定理 (1)四种命题中原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,遇到复 杂问题正面解决困难的,采用转化为反面情况处理. (2)充分条件与必要条件 若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p?q,则 p,q 互为充要 条件. 2.记住几个常用的公式与结论 (1)(A∩B)?(A∪B); (2)A?B?A∩B=A;A?B?A∪B=B; (3)集合与集合之间的关系:A?B,B?C?A?C,空集是任何集合的子集,含有 n 个元素的集合的子集数为 2n,真子集数为 2n-1,非空真子集数为 2n-2. (4)集合的运算: ?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB),?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),?U(?UA)=A. 3.需要关注的易错易混点 (1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性,求解含参数的集合问题时要 根据互异性进行检验. (2)有些全称命题并不含有全称量词, 这时我们要根据命题涉及的意义去判断. 对 命题的否定,首先弄清楚是全称命题还是存在性命题,再针对不同形式加以否定. (3)“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是 q”两者的不同,前 者是“p?q”但 q p 而后者是“q?p,p q”. 二、基础训练: 1 . (2014· 南京模拟 ) 已知集合 A = {1,2,3,4} ,B = {x|x = n2 , n ∈ A} ,则 A∩B= ________. 解析:∵x=n2,n∈A,∴x=1,4,9,16. ∴B={1,4,9,16}.∴A∩B={1,4}. 答案:{1,4} 2.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是____________.
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答案:任意一个无理数,它的平方不是有理数 3.已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2≥3”的否命题是 ________________. 解析: 命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题,所以应填 “若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3”. 答案:若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 4.(2014· 无锡模拟)下列命题中真命题的序号是________. 1 ①?x∈R,x+ =2;②?x∈R,sin x=-1; x ③?x∈R,x2>0;④?x∈R,2x>0 3π 解析:对于①x=1 成立,对于②x= 成立,对于③x=0 时显然不成立,对于④, 2 根据指数函数性质显然成立. 答案:①②④ 三、例题教学: 例 1 (1)(2014· 高考江苏卷)已知集合 A={-2, -1,3,4},B={-1,2,3},则 A∩B =________. (2)(2014· 泰州模拟)已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A}, 则 B 中所含元素的个数为________. (1)A∩B={-2,-1,3,4}∩{-1,2,3}={-1,3}. (2)∵B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},A={1,2,3,4,5}, ∴x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,4. ∴B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}, ∴B 中所含元素的个数为 10. (1){-1,3} (2)10 (1)对于集合问题,抓住元素的特征是求解的关键,要注意集合中元素的三个 特征的应用,要注意检验结果. (2)对于给出已知集合,进行交集、并集与补集运算时,可以直接根据它们的定 义求解,也可以借助数轴、韦恩(Venn)图等图形工具,运用分类讨论、数形结合等思 想方法,直观求解. 变式训练: 1.(1)(2014· 高考北京卷改编)已知集合 A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则 A∩B =________. (2)已知集合 A={0,1,2}, 则集合 B={x-y|x∈A, y∈A}中元素的个数是________. (3)若集合 M={0,1,2},N={(x,y)|x-2y+1≥0 且 x-2y-1≤0,x,y ∈M},则 N 中元素的个数为________. 解析:(1)∵A={0,2}, ∴A∩B={0,2}∩{0,1,2}={0,2}. (2) x-y∈{-2,-1,0,1,2},即 B 中元素有 5 个. (3)集合 N 是一个点集,横纵坐标都从集合 M 中选取,涉及的点个数有限,所以 可以逐个代入验证.x,y∈M 时,所有点中,只有(0,0)、(1,0)、(1,1)、(2,1)四个点能 同时适合集合 N 中的不等式,所以 N 中只有 4 个元素. 答案:(1){0,2} (2)5 例 2 写出原命题的否定和否命题 (1)若一个三角形为锐角三角形,则它的三个内角都为锐角; (2)菱形的对角线互相垂直. (1) 原命题的否定:若一个三角形为锐角三角形,则它的三个内角不都为锐
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角. 原命题的否命题为: 若一个三角形不为锐角三角形, 则它的三个内角不都为锐角. (2)原命题的否定:菱形的对角线不互相垂直.原命题的否命题:非菱形的四边 形的对角线不互相垂直. 一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后 得到的形式上的命题,解这类试题时要注意对于一些关键词的否定,等于的否定是不 等于,而不是单纯的大于、也不是单纯的小于.“都是”的否定是“不都是”,“不 都是”包含“都不是”, “至少有一个”的否定是“一个都没有”,“所有的”的否 定是“某些”, “任意的”的否定是“某个”,“至多有一个”的否定是“至少有两 个”,“至多有 n 个”的否定是“至少有 n+1 个”,“任意两个”的否定是“某两 个”.像这类否定同学们不妨探究一下. 变式训练: 2.(1)若命题改为“存在一个能被 2 整除的整数是奇数”,其否定为________. (2) 命题“面积相等的三角形是全等三角形”的否定为 ________ ,否命题为 ________. 答案:(1)所有能被 2 整除的整数都不是奇数 (2)面积相等的三角形不是全等三角形 面积不相等的三角形不是全等三角形 考点三 充分条件与必要条件 巩固练习: 1 . (2014· 连云港调研 ) 若“x2>1” 是 “x<a”的必要不充分条件,则 a 的最大值为 ________. 解析: 由 x2>1,得 x<-1 或 x>1,又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,知由“x<a” 可以推出“x2>1”,反之不成立,所以 a≤-1,即 a 的最大值为-1. 答案:-1 ? 1x ? 2 2.已知全集为 R,集合 A=?x|?2? ≤1?,B={x|x -6x+8≤0},则 A∩(?RB)= ? ? ________. 解析:A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},∴A∩(?RB)={x|x≥0}∩{x|x>4 或 x<2}= {x|0≤x<2 或 x>4}. 答案:{x|0≤x<2 或 x>4} π θ- ?的值为________. 3.若?θ∈R,使 sin θ≥1 成立,则 cos? ? 6? 解析:由题意得 sin θ-1≥0.又-1≤sin θ≤1,∴sin θ=1. π? 1 π ∴θ=2kπ+ (k∈Z).故 cos? ?θ-6?=2. 2 1 答案: 2 4.(2014· 宿迁调研)设 a,b 为向量,则“|a· b|=|a||b|”是“a∥b”的________条 件. 解析:由|a||b||cos〈a,b〉|=|a||b|,则有 cos〈a,b〉=± 1.即〈a,b〉=0 或 π, 所以 a∥b.由 a∥b, 得向量 a 与 b 同向或反向, 所以 〈 a, b〉 =0 或 π, 所以|a· b|=|a||b|. 答案:充要

课后反思:

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