求数列通项公式的类型和方法


求数列通项公式的类型和方法
研究数列的通项公式是数列的基本问题之一,下面就如 何求数列的通项公式,总结如下: 给出数列的前几项,求数列的一个通项公式——观察法。 分别写出下面数列{ 分别是下列各数。 (1)1,3,5,7,…, }的一个通项公式,使它的前4项

,…

(2)1,2,1,2,…,

,…

(3)2,22,222,2222,…,

,…

解析:从各项共性的组合特征入手,通过观察、归纳、 猜想总结出数列的通项公式,即为观察法。

二、涉及前n项和

求通项公式,利用

的基

本关系式来求。即

,

(n=1)

, (n 例2、在数列{an}中,Sn 表示其前n项和,且 Sn=n2, 求通项 an. 解:当n=1时,a1=S1=1. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n -(n-1) =2n -1 又a1=1=2×1-1,故an=2n-1(n≥1). 例3、在数列{an}中,Sn表示其前n项和,且Sn= 2-3an,求通项an. 解:由Sn=2-3an, 得 Sn-1=2-3an-1 得 Sn-Sn-1=an=-3(an-an-1)
2 2

两式相减 (n≥2),

整理,得4an=3an-1, 即

(n≥2).

所以数列{an}是以a1= 为首项,以 为公比的等比 数列,

故得

.

三、已知递推公式(初始条件与递推关系) ,求通项公式。 1、待定系数法。 若题目特征符合递推关系式a1=A,an+1=Ban+C (A,B,C均为常数, B≠1,C≠0)时, 可用待定系数法构造 等比数列求其通项公式。 例4、已知数列{an}满足a1=4,an=3an-1-2,求 通项an. 解:由 即 可设 2t=-2得t=-1



,可知数列{an-1}是以a1-1=3

为首项,以3为公比的等比数列,由等比数列的通项公式, 得 ,所以数列{a n}的通项公

式为

+1.

2、逐差相加法。 若题目特征符合递推关系式a1=A(A为常数), an+1=an+f(n)时,可用逐差相加法求数列的通项公式。 例5、在数列{an}中,a1=3,an+1=an+2n,求通项 an. 解:由 an+1=an+2n, 则有 得 an+1-an=2n,

将这 n-1 个等式相加, ………

得:



故所求数列的通项公式为 3、逐比连乘法。

.

若 题 目 特 征 符 合 递 推 关 系 式 a1=A ( A 为 常 数),an+1=f(n)an 时,可用逐比连乘法求数列的通项公式。 例 6、在数列{an}中,a1=3,an+1=an2 ,求通项 an. 解:由 an+1=an2 则有
n n



将这 n-1 个等式相乘, ……

得: 而 a1=3,故所求数列的通项公式为

4、倒数法。 若题目特征符合递推关系式 a1=A,Ban+Can+1+Danan+1=0 (A,B,C,D 均为常数)时,可用倒数法求数列的通项公式。 例 7、在数列{an}中,已知 a1=1,an+1= ,求数列的通项 an.

解:由

,



,

各项同除以 anan+1,可得:

,



,

所以数列{ }是以 =1 为首项,以 为公差的等差数列,

故有

,



,

所求数列的通项公式为

.
,

例 8、在数列{an}中,已知 a1=1, 求数列的通项 an.

解:由

,各项同除以 anan+1,

可得



构造新数列{bn},使得 bn= ,则

,

利用待定系数法可得 再构造新数列{cn},使得 cn=bn-3,则 cn+1=2cn,

,

即{cn}是以 c1=b1-3= -3=-2 为首项,公比 q=2 的等比数列,

所以

,

,

所求数列的通项公式

.

5、归纳法。 这是一种通过计算、观察、归纳规律,进而猜想、验证 (证明)的思维方法,是一种普遍适用的方法。在前面所有 的问题中,只要转化为递推公式,就可以由初始条件逐次代 入递推关系,观察计算结果,直到看出规律为止。 例 9、在数列{an}中,a1=3,an+1=an ,求数列的通项公式 an. 解法一: (对数法) 由题意可知, 数列{an}中的各项均为正数, 即 an>0.对等式 ,两边取以 3 为底的对数,
2



,则有

进而可知数列{ 比数列,且

}是以

为首项,以 2 为公比的等 ,

故所求数列的通项公式为 解法二: (归纳法)由 a1=3, 可得 a2=3
2

. an+1=an ,
2

……

故得

.

例 10、在数列{an}中,已知 a1=1, 列的通项 an.

,求数

解法一: (待定系数法)设



,

,

所以,

即 令 解得: A=-4

B=6

这时,

,



,

由于{bn}是以 3 为首项,以 为公比的等比数列,所以有

,

由此得:

.

解法二: (归纳法)由 a1=1,

,

可得

a2=

……

故得

.


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