第六单元 数列测试题


第六单元 数列测试题

一、填空题 1. 在数列 {an } 中,若 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? 答案:2n-1 试题解析:由 an?1 ? an ? 2(n ? 1) 可得数列 {an } 为公差为 2 的等差数列,又 a1 ? 1 ,所 以 an ? 2n-1. 2 . 若 数 列 ?a n ? 满 足 : a1 ? 1, an?1 ? 2an , n ? 1 , 2 , 3 … . 则 .

a1 ? a2 ?
答案:2n-1

? an ?

.

试题解析:数列 ?a n ? 满足: a1 ? 1, an?1 ? 2an , n ? 1 ,2,3…,该数列为公比为 2 的 等比数列,∴ a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

2n ? 1 ? 2n ? 1 . 2 ?1

3.按规律填数:3,9, ( ) ,81,243. 答案:27 试题解析:此题较为简单,基本等比数列:后一项与前一项的比为固定的值叫做 等比数列,括号内应填 27. 4. 按规律填数:-2,1,7,16, ( 答案:28 试题解析:这是一个二级等差数列:后一项减前一项所得的新的数列是一个等差 数列. 5. 在小于 100 的正整数中,被 3 除余 2 的数的和是 答案:1650 试题解析:满足条件的数分别是 2,5,8,11,14,…,95,98 构成了等差数列, 所以此题其实是等差数列求和问题,代入公式得
Sn ? n(a1 ? a n ) 33? ?2 ? 98? ? ? 1650 2 2

) ,43.

.

6. 一个等差数列共有 10 项,其中奇数项的和为 数列的第 6 项是 答案:3 试题解析: .

25 ,偶数项的和为 15,则这个 2

根 据 已 知 , 可 得 等 差 数 列 的 公 差 d=0.5 , 故 可 得

S10 ? 5(a5 ? a6 ) ? 5? (a6 ? 0.5) ? a6

? ? 27.5 可解得 a6 ? 3 .

27 8 7.在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积 2 3
为 .

答案:216 试题解析:本题考查等比数列的性质及计算,由插入三个数后成等比数列,因而

27 8 8 27 ? 中间数必与 , 同号,由等比中项的中间数为 =6,? 插入的三个数 3 2 2 3
之积为 ×
8 3
27 ×6=216. 2

8. 设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S4 =14,S10- S7 =30,则 S9= 答案:54 试题解析: 设等差数列 ?an ? 的首项为 a1,公差为 d,由题意得 4a1 ?
[10 a1 ?

.

4(4 ? 1) d ? 14, 2

10(10 ? 1) 7(7 ? 1) d ] ? [7a1 ? d ] ? 30 , 联 立 解 得 a1=2,d=1 , 所 以 S9 = 2 2 9(9 ? 1) 9? 2 ? ? 1 ? 54 . 2

9.等差数列 {an }中已知a1 ? 6, d ? 3, 则a7 ? 答案: 19

.

试题解析: 由等差数列通项公式,可得 a7 ? a1 ? (7 ? 1)d ? 1 ? (7 ? 1) ? 3 ? 19 . 10.等差数列 ?an ? 中,若 Sn ? 3n2 ? 2n ,则公差 d ? 答案:6 试题解析:由于
S n ? na1 ? n(n ? 1) d 2

.

可知, Sn 的表达式中 n 的系数是 11.已知等比数列 4,-12,36,…则 a6 = 答案:-972

2

d d ,故有 =3,所以 d=6. 2 2

.

试题解析:由等比数列通项公式, an ? a1 ? q n?1 ,由已知 a1 ? 4, q ? ?3, n ? 6 ,

a6 ? 4 ? ?? 3?

6?1

? 4 ? ?? 3? ? 4 ? ?? 243? ? ?972.
5

12.已知等比数列中 a1 ? 1, q ? 3, 则 s5 ? 答案: 121

.

试 题 解 析 : 由 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式 Sn ?
1 ? 1 ? 35 ? 242 ? ? 121. 1? 3 ?2

a1 (1 ? q n ) (q ? 1) , 1? q

S5 ?

?

?

二、选择题 1.{an}是首项 a1=1,公差为 d=3 的等差数列,如果 an=2005,则序号 n 等于 ( ). A、667 答案:C 试题解析:由题设,代入通项公式 an=a1+(n-1)d,即 2 005=1+3(n-1),∴ B、668 C、669 D、670

n=669.
2.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1 =3,前三项和为 21,则 a3 + a4 +

a5 =(
A、33 答案:C

).

B、72

C、84

D、189

试题解析:本题考查等比数列的相关概念,及其有关计算能力.

设等比数列{an}的公比为 q(q>0),由题意得 a1 + a2 + a3 =21, 即 a1 (1+q+q2)=21,又 a1 =3,∴1+q+q2=7. 解得 q=2 或 q=-3(不合题意,舍去), ∴ a3 + a4 + a5 = a1 q2(1+q+q2)=3×22×7=84. 3.等比数列{an}中, a2 =9, a5 =243,则{ an }的前 4 项和为( A、81 答案:B
a5 243 = q3 = =27, 9 a2

). D、192

B、120

C、168

试题解析:∵ a2 =9, a5 =243,

∴q=3, a1 q=9, a1 =3, ∴S4=
3-3 5 240 = =120. 1-3 2

4. 已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1 , a3 , a4 成等比数列, 则 a2 =(

).

A、-4 答案:B

B、-6

C、-8

D、-10

试题解析:∵{an}是等差数列,∴ a3 = a1 +4, a4 = a1 +6,

又由 a1 , a3 , a4 成等比数列, ∴( a1 +4)2= a1 ( a1 +6),解得 a1 =-8, ∴ a2 =-8+2=-6. 5.数列
1 1 1 1 ,﹣ , ,- ,…的一个通项公式是( 2 4 8 16 1 1 n A、 an =(-1) · B、. an =(-1)n· n 2n 2

).

C、

an =(-1)

n+1 1

2n

D、

a n ? ?? 1?

n ?1

1 2n

答案:D
1 1 试题解析:这是一个等比数列,首项是 ,等比- ,代人等比数列通项公式, 2 2 n ?1 1 n ?1 1 a ? ?? 1? a n ? ?? 1? 得 n 2 n ,而 D 选项 2 n 是它的变形,每一项的得数一样.

6. 等比数列 1, 2 ,2,…中第( A、9 答案:A B、10 C、11

)项是 16. D、12

试题解析:用等比数列通项公式 an ? a1 ? q n?1 ,其中 a1 ? 1, q ? 2, an ? 16, , 求得 n=9. 7.计算:1+3+5+…+99=( A、2500 答案:A. 试题解析:代入到等差数列求和公式中,得 S n ?
50(1 ? 99) ? 2500 . 2

). C、2525 D、5050

B、2550

8. 下列四个数中,哪一个是数列{ n(n ? 1) }中的一项( A、380 答案:A B、39 C、35

). D、23

试题解析:只有 A 中的 380,可以化成两个连续的整数 19,20 的乘积,故选 A。 9. 3+ 5 和 3- 5 的等比中项为( A、1 答案:C 试题解析:由等比中项公式, G ? ? a ? b ? ? 3 ? 5 ? 3 ? 5 ? ?2 ,故选 C. 10. 已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公 差为( A、5 ). B、4 C、 3 D、2 B、 2 ). C、 ? 2 D、 -2

?

??

?

答案:C

?5a ? 20d ? 15 试题解析: ? 1 ? d ? 3 ,故选 C. ?5a1 ? 25d ? 30
11. 2 5是数列 2,5, …的第 2 2,11 , A、7 答案:A 试题解析:因为 2 5 ? 20 ,则数列中根号内的数字分别是 2,5,8,11…,构成 了等差数列, 设 20 是第 n 项,由等差数列的通项公式可得 20=2+3(n-1),解得 n=7. 12.等差数列 1,4,7,10,13,…,则 301 是第 A.99 B.100 C.101 D.102 项. B、8 C、9 项. D、10

答案:C 试题解析:这个等差数列的首相是 1,公差是 3,an=301,代入等差数列的通项公 式 an=a1+(n-1)d,即 301=1+3(n-1),解得 n=101. 三、解答题 1.一个等比数列的第 3 项是-45,第 4 项是 135,求它的首项. 解:∵ a3 =-45
a4 =135

∴q=-3
∵ a3 = a1 q 3?1 ,

∴ a1 =-5.
试题解析:本题是让学生练习等比数列通项公式的应用. 2. 设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , S4 ? 1, S8 ? 17, 求通项公式an ? ? 解:设 {an } 的公比为 q,由 S4 ? 1, S8 ? 17知q ? 1 ,所以得
a1 (q8 ? 1) ? 17 ……② q ?1 a1 (q 4 ? 1) ? 1 …① q ?1

由①、②式得整理得 所以 q=2 或 q=-2

q8 ? 1 ? 17 解得 q 4 ? 16 q4 ? 1

将 q=2 代入①式得 a1 ?

1 ,所以 2 n ?1 15 an ? ;

15

将 q=-2 代入①式得 a1 ? ? ,所以 an ?

1 5

( ?1) n ? 2n ?1 . 5

试题解析:本题考察了等比数列求和公式和通向公式的综合应用. 3.已知等比数列前 5 项和是 122,公比是-3,求它的首项. 解:

S 5 ? 122, q ? ?3, n ? 5 a1 (1 ? q 5 ) a1 (1 ? (?3) 5 ) ? ? 122 1? q 1 ? (?3) ? a1 ? 2 ? S5 ?
试题解析:本题考察等比数列求和公式的应用.

4. 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 解::由等差数列的求和公式
S n ? na1 ?

S3 1 S6 = ,则 = ? S6 3 S12

n(n ? 1) d 2

可得

S3 3a1 ? 3d 1 ? ? , 可得a1 ? 2d 且 d ? 0 S6 6a1 ? 15d 3 S6 6a ? 15d 27d 3 ? 1 ? ? S12 12a1 ? 66d 90d 10 .

所以

试题解析:本题考察等差数列求和公式的应用. 5. 已知 ?an ? 为等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ?
20 ,求 ?an ? 的通项公式. 3

解: 设等比数列{an}的公比为 q, 则 q≠0, a2 =

2 a3 = , a4 = a3 q=2q q q

所以

2 20 1 + 2q= , 解得 q1= , q2= 3, q 3 3

1 1 18 当 q1= , a1 =18.所以 an =18×( )n-1= n-1 = 2× 33? n . 3 3 3 2 2 , 所以 an= ×3n-1=2× 3 n ? 3 . 9 9

当 q=3 时, a1=

试题解析:本题主要考查等比数列通项公式的应用.

6 . 设 ?an ? 是 公 差 为 正 数 的 等 差 数 列 , 若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2a3 ? 80 , 则

a1 1 ? a 1 2? a 1 3??
解: ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2a3 ? 80 ,则 a2 ? 5 ,

a1a3 ? (5 ? d )(5 ? d ) ? 16 ,∴ d=3, a12 ? a2 ? 10d ? 35, a11 ? a12 ? a13 ? 105 .
试题解析:本小题主要考察等差数列的基础知识,以及推理能力与运算能力.


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