广东省普宁市第一中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题 文


普宁第一中学 2015-2016 学年度第二学期高一期中考试卷 数
第一部分

学(文科)
选择题(共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求). 1.有 20 位同学,编号从 1 至 20,现从中抽取 4 人作问卷调查,用系统抽样方法确定的编号 有可能是 A.

5,10,15, 20

B. 2,6,10,14

C. 2, 4,6,8

D. 5,8,11,14

2.圆 x2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 16 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 64 的位置关系是 A. 相交 B. 内切 C. 相离 D.外切

3.样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1, 2,3 ,若该样本的平均值为 1,则样本的标准差 为 A.

6 5

B.

6 5

C. 2

D. 2

4.某校 1000 名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布 直方图如图所示,规定不低于 90 分为优秀等级,则该校学生 优秀等级的人数是 A. 300 B. 30 C. 150 D. 15 5.若一口袋中装有 4 个白球和 3 个红球, 现从中任取两球, 则 取出的两球中至少有一个白球的概率为 A.

1 3

B.

1 6

C.

1 7

D.

2 21

6. 过点 P ? 4, 2? 作圆 x2 ? y 2 ? 4 的两条切线,切点分别为

A, B , O 为原点,则 ? ABO 的外接圆方程是
A. C.

? x ? 2?

2

? ? y ? 1? ? 5
2 2

B. D.

? x ? 2? ? x ? 2?
2

2

? ? y ? 1? ? 20
2 2

? x ? 2?

? ? y ? 1? ? 5
2

? ? y ? 1? ? 20

7.分别写上数字 1,2,3,…,9 的 9 张卡片中,任取 2 张,观察上面的数字,则两数之积为 完全平方数的概率是 A.

1 9

B.

2 9

C.

1 3

D.

5 9

1

8.阅读下边的程序框图,若输出 S 的值为-7,则判断框内可填写 A. i ? 3? B. i ? 4? C. i ? 5? D. i ? 6? 9.已知蚂蚁在三边长分别为 3,4,5 的三角形内爬行, 某时刻此蚂蚁 距离三角形三个顶点距离均超过 1 的概率为 A. 1 ?

? 6

B.

1?

?
12

C.

? 6

D.

? 12

10. 已 知 直 线 l 过 点 ? 0,? 4? , P 是 上 的 一 动 点 , PA, PB 是 圆

C : x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的两条切线,A,B 为切点,若四边形 PACB 的
最小面积为 2,则直线的斜率为 A. ? 2 B.

?

21 2

C. ?2 2

D. ?2
2 2

11.一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3) +(y﹣2) =1 相切,则反 射光线所在直线的斜率为( A.﹣ 或﹣ ) C.﹣ 或﹣ D.﹣ 或﹣

B.﹣ 或﹣

12.设函数 f′(x)是奇函数 f(x) (x∈R)的导函数,f(﹣1)=0,当 x>0 时,xf′(x) ﹣f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) C.(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,0) )

B.(﹣1,0)∪(1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)

第二部分

非选择题(共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 2 2 3 2 3 4 4 b 2 b 2 2 13.已知 2+ =2 × ,3+ =3 × ,4+ =4 × ,…,若 9+ =9 × (a,b 为正整数), 3 3 8 8 15 15 a a 则 a+b=________. 1 2 14.已知函数 f(x)=ax +bln x 在 x=1 处有极值 .则 a ? b ? . 2 15.已知函数 f(x)=2ln x-x f ?(1) ,则曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程是 .

16.若 f ( x) ? ?

? f ( x ? 4), x ? 0 ? ?

2 x ? ? 6 cos 3xdx, x ? 0 ? 0 ?

,则 f(2 014)=________.

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) 17.在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 =( ). ,﹣ ), =(sinx,cosx),x∈(0,

2

(1)若 ⊥ ,求 tanx 的值; (2)若 与 的夹角为 ,求 x 的值.

18.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N 分别为 PB、AB、BC、PD、PC 的中点. (Ⅰ)求证:CE∥平面 PAD (Ⅱ)求证:平面 EFG⊥平面 EMN.

19.已知函数 f(x)=ax +bx ﹣3x 在 x=±1 处取得极值. (Ⅰ)讨论 f(1)和 f(﹣1)是函数 f(x)的极大值还是极小值; (Ⅱ)过点 A(0,16)作曲线 y=f(x)的切线,求此切线方程. 20.已知椭圆的焦点在 x 轴上,短轴长为 4,离心率为 (1)求椭圆的标准方程; (2)若直线 l 过该椭圆的左焦点,交椭圆于 M、N 两点,且 ,求直线 l 的方程. .

3

2

21. 用总长 14.8m 的钢条制成一个长方体容器的框架, 如果所制做容器的底面的一边比另一 边长 0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.

22.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 2Sn=3n+3. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn},满足 anbn=log3an,求{bn}的前 n 项和 Tn.

3

普宁第一中学高一期中考数学试卷(文科)参考答案 一.选择题: ABDCC AADBD BC 二.填空题: 13. 89 三、解答题 17. 解 (1)由 acos B+ 3bsin A=c,得 sin Acos B+ 3sin Bsin A=sin (A+B), 即 3sin BsinA=cos Asin B, 3 π 所以 tan A= ,故 A= . (5 分) 3 6 14.

a?b ? ?

1 2

15. x-y-2=0

16.

7 12

4

→ → π (2)由AB·AC=3,得 bccos =3,即 bc=2 3,① 6 又 a=1, π 2 2 ∴1=b +c -2bccos ,② 6 由①②可得(b+c) =7+4 3,所以 b+c=2+ 3.
* 2

(10 分)

18. 解 (1)由题设可得,对任意 n∈N ,f′(x)=an-an+1+an+2-an+1sin x-an+2cos x. ?π ? f′? ?=an-an+1+an+2-an+1=0, ?2? 即 an+1-an=an+2-an+1,故{an}为等差数列. 由 a1=2,a2+a4=8,解得数列{an}的公差 d=1, 所以 an=2+1·(n-1)=n+1. (6 分) 1 ? 1 ? =2?n+1+ n+1?=2n+ n+2, 2 ? 2 ? 1? ?1?n? ?1-? ? ? n?n+1? 2? ?2? ? 2 1 知 Sn=b1+b2+…+bn=2n+2· + =n +3n+1- n. 2 1 2 1- 2 (2)由 bn= 19. 解 (1)当 k=1 时,f(x)=(x-1)e -x , x x x ∴f′(x)=e +(x-1)e -2x=x(e -2). x 令 f′(x)>0,即 x(e -2)>0, ∴x>ln 2 或 x<0. x 令 f′(x)<0,即 x(e -2)<0,∴0<x<ln 2. 因此函数 f(x)的递减区间是(0,ln 2); 递增区间是(-∞,0)和(ln 2,+∞). ( 6 分) x x x (2)易知 f′(x)=e +(x-1)e -2kx=x(e -2k). ∵f(x)在 x∈[0,+∞)上是增函数, x ∴当 x≥0 时,f′(x)=x(e -2k)≥0 恒成立. x x ∴e -2k≥0,即 2k≤e 恒成立. 1 x 由于 e ≥1,∴2k≤1,则 k≤ . 2 1 x 又当 k= 时,f′(x)=x(e -1)≥0 当且仅当 x=0 时取等号. 2 1? ? 因此,实数 k 的取值范围是?-∞, ?. (12) 2? ? 20.(1)证明 ∵PA⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD, ∴PA⊥BD. 同理由 PC⊥平面 BDE,可证得 PC⊥BD. 又 PA∩PC=P,∴BD⊥平面 PAC. (4 分) (2)解 如图,分别以射线 AB,AD,AP 为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系. 由(1)知 BD⊥平面 PAC,
x
2

(12 分)

5

又 AC? 平面 PAC,∴BD⊥AC. 故矩形 ABCD 为正方形, ∴AB=BC=CD=AD=2. ∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1). → → → ∴PB=(2,0,-1),BC=(0,2,0),BD=(-2,2,0). 设平面 PBC 的一个法向量为 n=(x,y,z),则

?n·→ PB=0, ? → ?n·BC=0,
∴?
? ?z=2x, ? ?y=0,

?2·x+0·y-z=0, ? 即? ?0·x+2·y+0·z=0, ?

取 x=1 得 n=(1,0,2).

∵BD⊥平面 PAC, → ∴BD=(-2,2,0)为平面 PAC 的一个法向量. → → n·BD 10 cos<n,BD>= =- . → 10 |n|·|BD| π 设二面角 B-PC-A 的平面角为α ,由图知 0<α < , 2 10 3 10 2 ,sin α = 1-cos α = . 10 10 sin α ∴tan α = =3,即二面角 B-PC-A 的正切值为 3. cos α ∴cos α =

21.解 由 f(x)=x +xsin x+cos x,得 f′(x)=2x+sin x+x(sin x)′-sin x=x(2+ cos x). (1)因为曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,所以 f′(a)=a(2+cos a)=0,b =f(a). 解得 a=0,b=f(0)=1. (5 分) 2 (2)设 g(x)=f(x)-b=x +xsin x+cos x-b. 令 g′(x)=f′(x)-0=x(2+cos x)=0,得 x=0. 当 x 变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表: x (-∞,0) 0 (0,+∞) g′(x) - 0 + g(x) ? 1-b ? 所以函数 g(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,且 g(x)的最小 值为 g(0)=1-b. ①当 1-b≥0 时,即 b≤1 时,g(x)=0 至多有一个实根,曲线 y=f(x)与 y=b 最多有一个 交点,不合题意. ②当 1-b<0 时,即 b>1 时,有 g(0)=1-b<0, g(2b)=4b2+2bsin 2b+cos 2b-b>4b-2b-1-b>0.
6

2

∴y=g(x)在(0,2b)内存在零点, 又 y=g(x)在 R 上是偶函数,且 g(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴y=g(x)在(0,+∞)上有唯一零点,在(-∞,0)也有唯一零点. 故当 b>1 时,y=g(x)在 R 上有两个零点, 则曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点. 综上可知,如果曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,那么 b 的取值范围是(1,+ ∞). (12 分) 22. 解: (1)由点 P 到 F1 (0,? 3) 、 F2 (0, 3 ) 两点的距离之和等于 4 结合椭园定义知: 点 P 的轨迹为 C 是以 F2 (0, 3 ) 、 F2 (0, 3 ) 为焦点的椭圆,设椭圆 C 的标准方程为:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

?2 a ? 4 ?a ? 2 ? ? y2 x2 ? ?1 C ? 3 得 b ? 1 轨迹 的方程为 C ? ? 4 1 由? 2 ? 2 2 ?C ? a ? b ?c ? 3

(4 分)

(2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 由?

? y ? kx ? 1 ?4 x ? y ? 4
2 2

得 (k ? 4) x ? 2kx ? 3 ? 0 ,
2 2

? ? (2k )2 ? 4(k 2 ? 4) ? (?3) ? 16(k 2 ? 3) ? 0
x1 ? x2 ? ? 2k 3 , x1 x2 ? ? 2 k ?4 k ?4
2

(6 分)

y1 y2 ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? k 2 x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1
由 OA? OB ? AB 得 OA ? OB 所以
? ?

?

?

?

?

?

OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 即

(8 分) (9 分)

x1 x2 ? y1 y2 ? ?
解得 k ? ?
?

3 3k 2 2k 2 ? 4k 2 ? 1 ? ? ? ?0 k 2 ? 4 k 2 ? 4 k 2 ? 4 ?1 k2 ? 4
x1 ? x2 ? ? 4 12 , x1 x2 ? ? 17 17

1 2

(10)

AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

4 65 17

(12 分)

7


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