江苏省南京市玄武区2014-2015学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江苏省南京市玄武区高二(上)期中数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共计 42 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1.直线
2

的倾斜角是 . .



2.抛物线 x =y 的焦点坐标为 3.圆 x +y ﹣2x+2y=0 的周长是
2 2

4.已知点(2,﹣1)在直线 l 上的射影为(1,1) ,则直线 l 的方程为 5.若“1≤x≤2”是“0≤x≤m”的充分不必要条件,则实数 m 的取值范围是

. .

6.若椭圆

+

=1 上一点到左准线的距离为 5,则该点到右焦点的距离为



7.已知实数 x,y 满足不等式组

,则 的最小值是



8.若双曲线 x ﹣ 为
2 2

2

=1(a>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于

,则 a 的值


2 2

9.圆 x +y =m 与圆 x +y ﹣6x+8y﹣24=0 若相交,则实数 m 的取值范围为



10.若双曲线 为 .

=1 上一点 P 到其左焦点的距离为 5,则点 P 到右焦点的距离

11.一个抛物线型拱桥,当水面离拱顶 2m 时,水面宽 4m.若水面下降 2m,则水面宽度为 m. 12.若关于 x 的方程 x+b= 恰有一个解,则实数 b 的取值范围为 .

13.已知 A、B、C 三点在曲线 面积最大时,m 等于

上,其横坐标依次为 1,m,4(1<m<4) ,当△ABC 的 .

14.已知椭圆

=1(a>b>0)的焦距是 2c,若以 a,2b,c 为三边长必能构成三角形, .

则该椭圆离心率的取值范围是

二、解答题:本大题共 5 小题,15-16 每小题 10 分,17 题 12 分,18 题 14 分,19 题 12 分, 共 58 分.请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.设命题 p:? x∈[﹣1,1],x+m>0 命题 q:方程 (1)写出命题 p 的否定; (2)若“p 或 q”为真, “p 且 q”为假,求实数 m 的取值范围. 16.在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 A(2,0) ,点 B(0,2) ,点 C(﹣ ,﹣1) . (1)求经过 A,B,C 三点的圆 P 的方程; (2)若直线 l 经过点(1,1)且被圆 P 截得的弦长为 2 ,求直线 l 的方程. 17.在平面直角坐标系 xoy 中,设抛物线 C:y =4x (1)求抛物线 C 上到焦点距离等于 5 的点的横坐标; (2)设命题 p:过抛物线 C 上一点 M(1,2)作两条不同的直线,分别交抛物线 C 于点 A, B,设直线 MA,MB,AB 的斜率均存在且分别记为 kMA,kMB,kAB 若 定值.判断命题 p 的真假,并证明; (3)写出(2)中命题 p 的逆命题,并判断真假(不要求证明) . + 为定值,则 kAB 为
2

=1 表示双曲线.

18.在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆的焦点为(﹣ (1)求椭圆的方程;

,0) (

,0) ,离心率为



(2)若圆 M:x +(y﹣m) =1 上的点到椭圆上的点的最远距离为 +1,求 m 的值; (3)过坐标原点作斜率为 k 的直线 l 交椭圆于 P、Q 两点,点 N 为椭圆上任意一点(异于点 P,Q) ,设直线 NP,NQ 的斜率均存在且分别记为 kNp,kNQ.证明:对任意 k,恒有 kNPkNQ=﹣ .

2

2

19.已知⊙O:x +y =1,点 S(2,m) (m≠0)是直线 l:x=2 上一动点,⊙O 与 x 轴的交点 分别为 A、B.连接 SA 交⊙O 于点 M,连接 SB 并延长交⊙O 于点 N,连接 MB 并延长交直线 l 于点 T. (1)证明:A,N,T 三点共线; (2)证明:直线 MN 必过一定点(其坐标与 m 无关) .

2

2

2014-2015 学年江苏省南京市玄武区高二 (上) 期中数学 试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共计 42 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. 1.直线 的倾斜角是 .

考点: 直线的一般式方程;直线的倾斜角. 专题: 计算题. 分析: 利用直线方程求出斜率,然后求出直线的倾斜角. 解答: 解:因为直线 所以 tanα=﹣ , . 的斜率为:﹣ ,

所以直线的倾斜角为: 故答案为: .

点评: 本题考查直线的一般式方程与直线的倾斜角的求法,考查计算能力.
2

2.抛物线 x =y 的焦点坐标为 (0

) .

考点: 抛物线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据方程得出焦点在 y 正半轴上,p= 即可求出焦点坐标. 解答: 解:∵抛物线 x =y, ∴焦点在 y 正半轴上,p= ∴焦点坐标为(0, ) , 故答案为; (0, ) , 点评: 本题考查了抛物线的方程与几何性质,求解焦点坐标,属于容易题. 3.圆 x +y ﹣2x+2y=0 的周长是 2 考点: 圆的一般方程.
2 2 2

π



专题: 计算题;直线与圆. 分析: 由配方法化为标准式,求出圆的半径,再求周长即可. 解答: 解:x +y ﹣2x+2y=0,即(x﹣1) +(y+1) =2 所以圆的半径为 ,故周长为 2 π. 故答案为:2 π. 点评: 本题考查圆的一般方程和标准方程,属基础知识的考查. 4.已知点(2,﹣1)在直线 l 上的射影为(1,1) ,则直线 l 的方程为 x﹣2y+1=0 . 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由已知得直线 l 的斜率 kl= ,且过(1,1) ,由此能求出直线 l 的方程. 解答: 解:∵点(2,﹣1)在直线 l 上的射影为(1,1) , k= =﹣2,
2 2 2 2

∴直线 l 的斜率 kl= , ∴直线 l 的方程 y﹣1= (x﹣1) , 整理,得 x﹣2y+1=0. 故答案为:x﹣2y+1=0. 点评: 本题考查直线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意两直线位置关系的 合理运用. 5.若“1≤x≤2”是“0≤x≤m”的充分不必要条件,则实数 m 的取值范围是 m≥2 . 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分必要条件的定义,结合数轴判断 解答: 解:∵“1≤x≤2”是“0≤x≤m”的充分不必要条件, 结合数轴判断 ∴根据充分必要条件的定义可得出:m≥2, 故答案为:m≥2 点评: 本题考查了数轴,充分必要条件的定义,属于容易题.

6.若椭圆

+

=1 上一点到左准线的距离为 5,则该点到右焦点的距离为 6 .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 现根据椭圆的方程求出离心率,进一步根据椭圆的第一和第二定义求出结果.

解答: 解:已知椭圆 则:解得:e=

+

=1

已知椭圆上一点到左准线的距离为 5, 则:设点到左焦点的距离为 d,点到右焦点的距离为 k, 利用椭圆的第二定义: 解得:d=4 进一步利用椭圆的第一定义:d+k=10 解得:k=6 故答案为:6 点评: 本题考查的知识要点:椭圆的离心率的应用,椭圆的第一第二定义的应用.属于基 础题型.

7.已知实数 x,y 满足不等式组

,则 的最小值是



考点: 简单线性规划的应用. 专题: 综合题.

分析: 先画出满足条件

的可行域,再根据 表示可行域内任一点与原点连

线的斜率,借助图形分析出满足条件的可行域内点的坐标,代入 即可得到答案.

解答: 解:满足不等式组

可行域如下图所示:

∵ 表示可行域内任一点与原点连线的斜率, 由图可知当 x= 故答案为: ,y= 时, 有最小值

点评: 本题考查的知识点是简单线性规划的应用,其中根据已知中的约束条件画出满足条 件的可行域,进而利用数形结合分析满足条件的点的坐标,是解答本题的关键.

8.若双曲线 x ﹣

2

=1(a>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于

,则 a 的值为 3 .

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的一个焦点,求得双曲线的渐近线方程,再由点到直线的距离公式,得 到 a 的方程,计算即可得到 a. 解答: 解:双曲线 x ﹣ 一条渐近线方程为 y=
2

=1 的一个焦点为( x, = ,

,0) ,

则焦点到渐近线的距离为

解得,a=3. 故答案为:3. 点评: 本题主要考查双曲线的性质:渐近线,考查点到直线的距离的公式的运用,考查运 算能力,属于基础题. 9.圆 x +y =m 与圆 x +y ﹣6x+8y﹣24=0 若相交,则实数 m 的取值范围为 (4,144) . 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: 利用圆心距与半径和与差的关系,求出 m 的范围即可. 解答: 解:圆 x +y =m 的圆心(0,0) ,半径为: , 2 2 圆 x +y ﹣6x+8y﹣24=0 的圆心(3,﹣4) ,半径为 7, 两个圆相交,则: 可得 , 解得 m∈(4,144) . < <7+ ,
2 2 2 2 2 2

故答案为: (4,144) . 点评: 本题考查两个圆的位置关系的应用,求出圆的圆心与半径,圆心距是解题的关键, 注意半径差的表示.

10.若双曲线

=1 上一点 P 到其左焦点的距离为 5,则点 P 到右焦点的距离为 9 .

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的 a,b,c,运用双曲线的定义,求得|PF2|=1 或 9,讨论 P 在左支和右 支上,求出最小值,即可判断 P 的位置,进而得到所求距离. 解答: 解:双曲线 =1 的 a=2,b=2 ,c= =4,

设左右焦点为 F1,F2. 则有双曲线的定义,得||PF1|﹣|PF2||=2a=4, 由于|PF1|=5,则有|PF2|=1 或 9, 若 P 在右支上,则有|PF2|≥c﹣a=2, 若 P 在左支上,则|PF2|≥c+a=6, 故|PF2|=1 舍去; 由于|PF1|=5<c+a=6, 则有 P 在左支上,则|PF2|=9. 故答案为:9 点评: 本题考查双曲线的方程和定义,考查分类讨论的思想方法,考查运算能力,属于基 础题和易错题. 11.一个抛物线型拱桥,当水面离拱顶 2m 时,水面宽 4m.若水面下降 2m,则水面宽度为 m. 考点: 抛物线的应用. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 如图所示,建立直角坐标系.设抛物线的方程为 x =﹣2py(p>0) .利用当水面离拱 2 顶 2m 时,水面宽 4m.可得 B(2,﹣2) .代入抛物线方程可得 2 =﹣2p×(﹣2) , 解得 p.设 D(x,﹣4) ,代入抛物线方程即可得出. 解答: 解:如图所示,建立直角坐标系. 设抛物线的方程为 x =﹣2py(p>0) . ∵当水面离拱顶 2m 时,水面宽 4m. ∴B(2,﹣2) . 代入抛物线方程可得 2 =﹣2p×(﹣2) , 解得 p=1. ∴抛物线的标准方程为:x =﹣2y. 2 设 D(x,﹣4) ,代入抛物线方程可得 x =﹣2×(﹣4) , 解得 x= .
2 2 2 2

∴|CD|=4 . 故答案为:4 .

点评: 本题考查了抛物线的标准方程及其应用,考查了数形结合的思想方法,考查了计算 能力,属于基础题. 12.若关于 x 的方程 x+b= ﹣1} . 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析:方程 x+b= 解答: 解:方程 x+b= 作函数 y=x+b 与 y= 解的个数即函数 y=x+b 与 y= 解的个数即函数 y=x+b 与 y= 的图象如下, 的交点的个数, 作图求解. 的交点的个数, 恰有一个解,则实数 b 的取值范围为 [﹣2,0)∪{

由图可知,直线在 y=x 的右侧或直线与半圆相切, 故实数 b 的取值范围为[﹣2,0)∪{ ﹣1}. 故答案为:[﹣2,0)∪{ ﹣1}. 点评: 本题考查了方程的根与函数的图象的关系,属于基础题. 13.已知 A、B、C 三点在曲线 面积最大时,m 等于 . 上,其横坐标依次为 1,m,4(1<m<4) ,当△ABC 的

考点: 点到直线的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 求出 A、B、C 三点的坐标,求出 AC 的方程,利用点到直线的距离公式求出三角形的 高,推出面积的表达式,然后求解面积的最大值时的 m 值.
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解答: 解:由题意知 直线 AC 所在方程为 x﹣3y+2=0, 点 B 到该直线的距离为 ,



. ∵m∈(1,4) , ∴当 时,S△ABC 有最大值,此时 .

故答案为: . 点评: 本题考查点到直线的距离公式的应用,三角形的面积的最值的求法,考查计算能力.

14.已知椭圆

=1(a>b>0)的焦距是 2c,若以 a,2b,c 为三边长必能构成三角形,

则该椭圆离心率的取值范围是



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 首先利用已知条件建立关系式,通过变换再利用椭圆离心率求出结果. 解答: 解:已知椭圆
2 2 2

=1(a>b>0)的焦距是 2c,

则:b =a ﹣c 若以 a,2b,c 为三边长必能构成三角形, 则:a﹣c<2b<a+c 整理得: 则:

即:

解得:①式恒成立

②式解得: 由于椭圆离心率:0<e<1 所以: 故答案为: 点评: 本题考查的知识要点:椭圆的离心率的应用,三角形的三边关系的应用.属于基础 题型. 二、解答题:本大题共 5 小题,15-16 每小题 10 分,17 题 12 分,18 题 14 分,19 题 12 分, 共 58 分.请在答题卡指定的区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.设命题 p:? x∈[﹣1,1],x+m>0 命题 q:方程 (1)写出命题 p 的否定; (2)若“p 或 q”为真, “p 且 q”为假,求实数 m 的取值范围. 考点: 复合命题的真假;命题的否定. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;简易逻辑. 分析: (1)特称命题的否定是特称改全称,否定结论; (2)先解 p,q 为真时 m 的取值, 然后由“p 或 q”为真, “p 且 q”为假,所以 p,q 一真一假,分类讨论求 m 的范围. 解答: 解: (1)命题 p 的否定:? x∈[﹣1,1],x+m≤0; (2)由题意可知,p 为真时,m>﹣x≥﹣1,得 m>﹣1, q 为真时, (m﹣4) (m+2)>0,解得 m>﹣4 或 m<﹣2, 因为“p 或 q”为真, “p 且 q”为假,所以 p,q 一真一假, 当 p 为真且 q 为假时, ,解得﹣1<m≤4; =1 表示双曲线.

当 p 为假且 q 为真时,

解得 m<﹣2;

综上,实数 m 的取值范围是 m<﹣2 或﹣1<m≤4. 点评: 本题考查命题的真假判断,注意对联接词的逻辑关系的判断. 16.在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 A(2,0) ,点 B(0,2) ,点 C(﹣ ,﹣1) . (1)求经过 A,B,C 三点的圆 P 的方程; (2)若直线 l 经过点(1,1)且被圆 P 截得的弦长为 2 ,求直线 l 的方程. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 直线与圆. 分析: (1)设圆的一般方程,利用待定系数法即可求圆 C 的方程; (2)根据直线和圆相交的弦长公式,以及结合点到直线的距离公式即可得到结论. 解答: 解: (1)设圆的一般方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,
2 2

∵圆经过三个点 A(2,0) ,点 B(0,2) ,点 C(﹣

,﹣1) .



,解得 D=0,E=0,F=﹣4,

即圆 P 的方程为 x +y =4. 2 2 (2)当直线斜率 k 不存在时,直线方程为 x=1,代入 x +y =4. 得 y1= 或 y2=﹣ , 故弦长|y1﹣y2|=2 , 设点 C 到直线 M 得 y= ,满足条件. 当直线斜率 k 存在时, 设所求的方程为 y﹣1=k(x﹣1) ,即 kx﹣y﹣k+1=0, 由已知弦心距 d= =1,

2

2



,解得 k=0,

即直线方程为 y=1, 综上所求的直线方程为 x=1 或 y=1. 点评: 本题主要考查直线和圆的方程的应用,利用待定系数法结合点到直线的距离是解决 本题的关键. 17.在平面直角坐标系 xoy 中,设抛物线 C:y =4x (1)求抛物线 C 上到焦点距离等于 5 的点的横坐标; (2)设命题 p:过抛物线 C 上一点 M(1,2)作两条不同的直线,分别交抛物线 C 于点 A, B,设直线 MA,MB,AB 的斜率均存在且分别记为 kMA,kMB,kAB 若 定值.判断命题 p 的真假,并证明; (3)写出(2)中命题 p 的逆命题,并判断真假(不要求证明) . 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)设抛物线 C 上一点的横坐标为 x,由题意,根据抛物线定义,得 x+1=5,由此 能求出抛物线 C 上到焦点距离等于 5 的点的横坐标. (2) 设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 且 x1≠x2, y1≠y2, 则 由此能证明当 + 为定值时,kAB 为定值. , , + 为定值,则 kAB 为
2

(3)把命题 p 的题设和结论互换,能求出逆命题,命题 p 的逆命题是真命题. 解答: 解: (1)设抛物线 C 上一点的横坐标为 x, 由题意,根据抛物线定义,得 x+1=5,解得 x=4, ∴抛物线 C 上到焦点距离等于 5 的点的横坐标为 4. (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,且 x1≠x2,y1≠y2,

则 ∵点 A,B 在抛物线 C 上,







,即



代入上式,化简得: = = = ,

kAB=

=





+

为定值时,y1+y2 为定值,∴kAB 为定值.

(3)命题 p 的逆命题: 过抛物线 C 上一点 M(1,2)作两条不同的直线,分别交抛物线 C 于 A,B,设直线 MA,MB, AB 的斜率均存在且分别记为 kMA,kMB,kAB,若 kAB 为定值,则 + 为定值.

命题 p 的逆命题是真命题. 点评: 本题考查抛物线上点的横坐标的求法,考查直线的斜率为定值的证明,考查命题的 逆命题的求法,解题时要注意函数与方程思想的合理运用.

18.在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆的焦点为(﹣ (1)求椭圆的方程;

,0) (

,0) ,离心率为



(2)若圆 M:x +(y﹣m) =1 上的点到椭圆上的点的最远距离为 +1,求 m 的值; (3)过坐标原点作斜率为 k 的直线 l 交椭圆于 P、Q 两点,点 N 为椭圆上任意一点(异于点 P,Q) ,设直线 NP,NQ 的斜率均存在且分别记为 kNp,kNQ.证明:对任意 k,恒有 kNPkNQ=﹣ .

2

2

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (1)由题意得

,由此能求出椭圆方程.

(2)原题转化为求 MT 取最大值实数 m 的求解,设 T(x,y) ,则 MT =x +(y﹣m) =﹣3y ﹣ 2 2my+m +4(﹣1≤y≤1) ,由此利用分类讨论思想能求出 m 的值.

2

2

2

2

(3)由已知得 kNP? kNQ=

=

,由此能证明对任意 k,恒有 kNPkNQ=

﹣ .

解答: (1)解:由题意得



解得 a=2,b=1, ∴椭圆方程为 =1.

(2)解:设圆 M 上任取一点 S,椭圆上任取一点 T,则 ST≤MT+MS=MT+1, 故转化为求圆心 M 到椭圆上点 T 的距离的最大值,即 MT 的最大值, 设 T(x,y) ,则 MT =x +(y﹣m) , 又∵点 T 在椭圆上,∴
2 2 2 2 2 2 2


2

∴MT =x +(y﹣m) =﹣3y ﹣2my+m +4(﹣1≤y≤1) , 当﹣
2

,即 m≥3,此时 y=﹣1,
2

MT 取到最大值为 m +2m+1, 2 ∴(m+1) =5,解得 m=﹣1 当﹣

? [3,+∞) ,舍去,
2 2

,即 m≤﹣3 时,此时 y=1,MT 取到最大值为 m ﹣2m+1,
2

∴(m﹣1) =5,解得 m=1 当﹣1 MT 取到最大值为 ∴ ,解得 .
2

? (﹣∞,﹣3],舍去,

,即﹣3<m<3 时,y=﹣ , , ,符合题意,

∴m 的值为±

(3)证明:根据题意知 P,Q 关于原点对称, ∴ , ,

∴kNP? kNQ= 又点 P,N 在椭圆上,

=







两式相减,得



∴对任意 k,恒有 kNPkNQ=﹣ . 点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的实数值的求法,考查直线的斜率之积为 定值的证明,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用. 19.已知⊙O:x +y =1,点 S(2,m) (m≠0)是直线 l:x=2 上一动点,⊙O 与 x 轴的交点 分别为 A、B.连接 SA 交⊙O 于点 M,连接 SB 并延长交⊙O 于点 N,连接 MB 并延长交直线 l 于点 T. (1)证明:A,N,T 三点共线; (2)证明:直线 MN 必过一定点(其坐标与 m 无关) . 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 计算题;作图题;证明题;直线与圆. 分析: (1)如图,S(2,m) ,A(﹣1,0) ,B(1,0) ;从而表示出直线 SA,直线 SB 的方 程,与圆的方程联立求 M,N 的坐标,再写出直线 MB 的方程,从而求得点 T 的坐标,再求 AN,AT 的斜率,判断斜率相等即可;
2 2

(2)由题意写出直线 MN 的方程 y+

=

(x﹣1+

) ;化简

y+

=

(x﹣1+

) ; 再化简 y=

(x+

) ﹣

=

(x+



?

)=

(x﹣ ) ;从而得证.

解答: 证明: (1)如图,S(2,m) ,A(﹣1,0) ,B(1,0) ; 则直线 SA:y= (x+1) ,与圆的方程 x +y =1 联立消元可得, (9+m )x +2m x+m ﹣9=0, 解得, x=﹣1 或 x=﹣1+ 故 y= (﹣1+ +1)= ; ;
2 2 2 2 2 2

即 M(﹣1+



) ;
2 2

直线 SB:y=m(x﹣1) ,与圆的方程 x +y =1 联立消元可得, 2 2 2 2 (1+m )x ﹣2m x+m ﹣1=0, 解得,x=1 或 x=1﹣ 故 y=m(1﹣ 即 N(1﹣ ; ;

﹣1)=﹣ ,﹣ ) ;

直线 MB:y=

(x﹣1) ,

代入 x=2 得,

y=

=﹣ ,

即 T(2,﹣ ) ;

故 kAN=

=﹣ ;

kAT=

=﹣ ;

故 A,N,T 三点共线; (2)直线 MN 的方程为:

y+

=

(x﹣1+

) ;

即 y+

=

(x﹣1+

) ;

y=

(x+

)﹣

=

(x+



?



=

(x﹣ ) ;

故直线 MN 必过定点( ,0) .

点评: 本题考查了直线与圆的位置关系的应用,化简很困难,属于难题.


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