江苏省连云港市2013-2014学年度第二学期高二期末考试数学(选修物理)试题(PDF版)


连云港市 2013-2014 学年度第二学期高二期末考试

数学(选修物理)
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) 。本卷满分为 160 分, 考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将答题卡交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试 卷及答题卡的规定地方。 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它 位置作答一律无效。 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等加黑、加粗。 一、填空题:本大题共 14 小题, 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程, 不需写出解答过程,请把答案写在 答题纸的指定位置上. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
?x = 1 + t2 , (t 为参数)与 x 轴交点的直角坐标是 ▲ . 曲线 ? ? y = t ?1

已知向量 a = (?1, x, 3) , b = (2, ? 4, y ) ,且 a ∥ b ,那么 x + y 的值为 ▲ . 复数 z =
a + 3i (i 为虚数单位)是实数,则实数 a= ▲ . 1? i

1 二项式 (2 x + )5 的展开式中 x3 的系数为 ▲ .(用数字作答) x 若离散型随机变量 X~B(6,p),且 E ( X ) = 2 ,则 p= ▲ .

?1 1? 矩阵 ? ? 的特征值为 ▲ . ? 4 1?

M

如图,在某个城市中,M、N 两地之间有南北街道 5 条、东 西街道 4 条,现要求沿图中的街道,以最短的路程从 M 走 到 N,则不同的走法共有 ▲ 种. (第 7 题图) N

8. 9.

设凸 n 边形(n ≥ 4)的对角线条数为 f (n),则 f (n+1)-f (n)= ▲ .

π 在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ρ sin(θ + ) = 2 ,则极点 O 到直线 l 的距离为 8

▲ . 10. 甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军,乙队需要再 赢两局才能获得冠军. 若两队每局获胜的概率相同, 则甲队获得冠军的概率为 ▲ . S 数学试卷 第 1 页 (共 4 页)

11. 将 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这 9 个正整数分别写在三张卡片上,要求每一张卡片 上的三个数字中任意两数之差都不在这张卡片上 . 现在第一张卡片上已经写有 1 和 5, .............. 第二张卡片上写有 2,第三张卡片上写有 3,则第一张卡片上 D1 C1 的另外一个数字是 ▲ . P 12. 如图,已知点 P 是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 A1 D1 上的一 A1 B1 个动点,设异面直线 AB 与 CP 所成的角为 α ,则 cos α 的最 小值是 ▲ . 13. 如果某年年份的各位数字之和为 7 ,我们称该年为“七巧 年” .例如,今年年份 2014 的各位数字之和为 7,所以今年恰 为“七巧年” .那么从 2000 年到 2999 年中“七巧年”共有 ▲ A (第 12 题图) 个. D B C

14. 班级 53 名同学报名参加科技、文化、生活三个学习社团,规定每人必须参加一个社 团,且最多参加两个社团.在所有可能的报名方案中,设参加社团完全相同的人数的 最大值为 n,则 n 的最小值为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题, 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明, 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分 14 分) 已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的非负半轴重合,且 ? x = 3 + t, 长度单位相同.若圆 C 的极坐标方程为 ρ = 2 cos θ ,直线 l 的参数方程为 ? (t ? y = 4 + 2t 为参数),直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点. (1)求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; (2)求弦 AB 的长.

16. (本小题满分 14 分) 如图,单位正方形 OABC 在二阶矩阵 T 的作用下,变成菱形 OA1B1C1. (1) 求矩阵 T; (2) 设双曲线 F:x2-y2=1 在矩阵 T 对应的变换作用下得到曲线 F?,求曲线 F?的方程. y T C O B A x 3 2 1 O y C1 A1 1 2 3 x B1

S 数学试卷 第 2 页 (共 4 页)

(第 16 题图)

17. (本小题满分 14 分) 某同学参加高二学业水平测试的 4 门必修科目考试,已知该同学每门学科考试成绩达 2 到“A”等级的概率均为 ,且每门考试成绩的结果互不影响. 3 (1) 求该同学至少得到两个“A”的概率; (2) 已知在高考成绩计分时,每有一科达到“A” ,则高考成绩加 1 分,如果 4 门学科 均达到“A” ,则高考成绩额外再加 1 分.现用随机变量 Y 表示该同学学业水平测 试的总加分,求 Y 的概率分布列和数学期望.

18. (本小题满分 16 分) 观察下列各不等式: 1 3 1+ 2 < , 2 2
1+ 1+ 1+ 1 1 5 + < , 22 32 3 1 1 1 7 + 2+ 2 < , 2 2 3 4 4 1 1 1 1 9 + 2+ 2+ 2 < , 2 2 3 4 5 5

… (1) 由上述不等式,归纳出一个与正整数 n( n ≥ 2) 有关的一般性结论; (2) 用数学归纳法证明你得到的结论.

S 数学试卷 第 3 页 (共 4 页)

19. (本小题满分 16 分) 如图,已知正四棱锥 S ? ABCD 的底面边长为 2,高为 6 ,P 是棱 SC 的中点. (1)求直线 AP 与平面 SBC 所成角的正弦值; (2)求二面角 B?SC?D 大小的余弦值; (3)在正方形 ABCD 内是否存在一点 Q,使得 PQ ⊥ 平面 SDC?若存在,求 PQ 的长; 若不存在,请说明理由. S P D A (第 19 题图) B C

20. (本小题满分 16 分)
0 1 2 2 r r 在 (1 + x + x 2 ) n = Dn + Dn x + Dn x + ? + Dn x + ? + Dn2 n ?1 x 2 n ?1 + Dn2 n x 2 n 的展开式中,把 0 1 2 2n Dn , Dn , Dn , ?, Dn 叫做三项式系数. 0 1 2 3 (1)当 n=2 时,写出三项式系数 D2 , D2 , D2 , D2 , D24 的值; m ?1 + Cm m ∈ N , n ∈ N ) ,给出一个关于三项 (2)类比二项式系数性质 Cm n +1 = Cn n (1 ≤ m ≤ n , m +1 式系数 Dn +1 (1 ≤ m ≤ 2n ? 1, m ∈ N , n ∈ N ) 的相似性质,并予以证明; 0 1 1 2 2 3 3 2014 2014 (3)求 D2014 C0 2014 ? D2014 C 2014 + D2014 C2014 ? D2014 C 2014 + ? + D2014 C 2014 的值.

S 数学试卷 第 4 页 (共 4 页)

连云港市 2013-2014 学年度第二学期高二期末考试数学(选修物理)

参考答案与评分标准
一.填空题 1.(2,0); 8. n-1; 二.解答题 15. 解:(1)由 ? ? 2 cos ? ,得 ? 2 ? 2 ? cos ? , 所以圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2x,即(x?1)2+y2=1. ………………5 分 ……………………………10 分 直线 l 的普通方程为 2x?y?2=0. (2)因为直线 l 过圆心 C(2,2), 所以 AB=2. ……………………………14 分 ?a b ? 16. 解:(1)设 T= ? ?, ?c d ? ?a ? 2, ? a b ? ?1 ? ? 2 ? 由? = ? ? ,解得 ? ? ? ? ? c d ? ?0 ? ?1 ? ?c ? 1. ? a b ? ?0 ? ?1 ? ?b ? 1, 由? = ? ? ,解得 ? ? ? ? ? c d ? ?1 ? ? 2 ? ?d ? 2. ?2 1? 所以 T= ? ?. ?1 2? ………………………………7 分 ……………………………3 分 2.-4; 9.2; 3.-3; 3 10.4; 4.80; 11.8; 1 5. 3; 3 12. 3 ; 6.3 或-1; 13.21; 7.35; 14.9.

(2)设曲线 F 上任意一点 P(x,y)在矩阵 T 对应的变换作用下变为 P?(x?,y?),则

x? , ? ? 2 1 ? ? x ? ? x? ? ?2x+y=x? ? 3 ? = ,即 ,所以 ? ?1 2 ? ? y ? ? y?? ?x+2y=y? ? y ? 2 y ? ? x? , ? ?? ? ? ? ? ? 3
因为 x -y =1, 所以(2x??y?)2? (2y??x?)2=9,即 x?2?y?2=3, 故曲线 F?的方程为 x2?y2=3.
2 2

?

2 x? ? y ?

…………………9 分

……………………12 分 ……………………14 分

2 17.解:(1)设 4 门考试成绩得到“A”的次数为X,依题意,随机变量X~B(4,3),则

8 ? 2? ?1? 1 ? 2? ?1? P(X?2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1- C0 4? ? ? ? ? C4 ? ? ? ? = , ? 3? ? 3? ? 3? ?3? 9

0

4

1

3

8 故该同学至少得到两个“A”的概率为 . 9 (2)随机变量 Y 的可能值为 0,1,2,3,5,则
? 2? ?1? 1 P(Y=0)= C0 4? ? ? ? = , ? 3 ? ? 3 ? 81 ? 2? ?1? 8 P(Y=2)= C ? ? ? ? =27, ? 3? ? 3?
2 4 2 2 0 4

………………………………6 分 ………………………………7 分
1 3

? 2? ?1? 8 P(Y=1)= C1 4? ? ? ? = , ? 3 ? ? 3 ? 81 ? 2 ? ? 1 ? 32 P(Y=3)= C ? ? ? ? =81, ? 3? ? 3?
3 4 3 1

? 2 ? ? 1 ? 16 P(Y=5)= C4 4? ? ? ? = . ? 3 ? ? 3 ? 81
随机变量 Y 的概率分布如下表所示

4

0

Y P

0 1 81

1 8 81

2 8 27

3 32 81

5 16 81
………………………………12 分

1 8 8 32 16 232 从而E(Y)=0?81+1?81+2?27+3?81+5?81= 81 .

…………………………14 分

18.解:(1)观察上述各不等式,得到与正整数 n 有关的一般不等式为 1? 1 1 1 1 2n ? 1 , n ? N *, 且 n ? 2 . ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 n n 2 3 4
……………………6 分

(2)以下用数学归纳法证明这个不等式. ①当 n=2 时,由题设可知,不等式显然成立. ②假设当 n=k 时,不等式成立,即 1? 1 1 1 1 2k ? 1 , ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? 2 2 3 4 k k
………………………8 分

那么,当 n=k+1 时,有 1 1 1 1 1 2k ? 1 1 1? 2 ? 2 ? 2 ??? 2 ? ? ? 2 2 3 4 k (k ? 1) k (k ? 1) 2

?

2k ? 1 1 ? k k (k ? 1)

………………………12 分

1 1 1 ? (2 ? ) ? ( ? ) k k k ?1 ?2? 1 2(k ? 1) ? 1 ? . k ?1 k ?1

所以当 n=k+1 时,不等式也成立. ……………………………14 分 根据①和②,可知不等式对任何 n ? N * 且 n ? 2 都成立. ……………………16 分 19.解:设正方形 ABCD 的中心为 O,如图建立空间直角坐标系,则

A(1,?1,0),B(1,1,0),C(?1,1,0),D(?1,?1,0),S(0,0, 6), 11 6 因为P是SC的中点,所以P(?2,2, 2 ). …………………2 分 ??? ? ?? ? 3 3 6 (1) AP ? (? , , ) ,设平面 SBC 的法向量 n1 =(x1,y1,z1),则 2 2 2 ?? ? ??? ? ?? ? ?n1 ? BC ? 0, ? ? ?2 x1 ? 0, ? ,即 ? ,可取 n1 =(0, 6,1), ? ??? ? ?? A ? ? ? x 1 ? y1 ? 6 z1 ? 0, ?n1 ? SB ? 0
??? ? ?? ? 所以 cos< AP, n1 >=
2 6 6? 7

z S P C B y

D x

=

2 7 , 7

…………………4 分

故直线 AP 与平面 SBC 所成角的正弦值为
?? ? (2) 设平面 SDC 的法向量 n2 =(x2,y2,z2),则

2 7 . 7

……………………6 分

?? ? ???? ?? ? ? ? ?n2 ? DC ? 0, ? 2 y2 ? 0, ,即 ? ,可取 n2 =(? 6,0,1), ? ??? ? ? ?? ? ? ?? x 2 ? y2 ? 6 z2 ? 0, ?n2 ? SC ? 0
?? ? ?? ? 所以 cos< n1 , n2 >=

1 7? 7

=

1 , 7

………………………9 分

又二面角 B?SC?D 为钝角二面角,故二面角 B?SC?D 大小的余弦值为?
??? ? 1 1 6 (3)设 Q(x,y,0),则 PQ ? ( x ? , y ? , ? ), 2 2 2 ??? ? ?? ? 若 PQ ? 平面 SDC,则 PQ // n2 ,所以

1 . …………11 分 7

…………………………12 分

1 ? 1 ? y ? ? 0, y? , ? ? 2 ? ? 2 , ,解得 ? ? 5 ?x ? 1 ? 6 ? 6 ?x ? ? ? 2 ? 2 2 ?

……………………………15 分

5 但2>1,点Q不在正方形ABCD内,故不存在满足条件的点Q. 20.解:(1)因为 ( x 2 ? x ? 1)2 ? x ? 2 x ? 3 x ? 2 x ? 1 ,
4 3 2

…………………16 分

所以 D2 ? 1, D2 ? 2, D2 ? 3, D2 ? 2, D2 ? 1 .
0 1 2 3 4

………………………4 分

m ?1 (2)类比二项式系数性质 C m ? Cm m ? N,n ? N ) , 三项式系数有如下性质: n ?1 ? C n n (1 ? m ? n ,

m ?1 m ?1 m m ?1 Dn ? Dn ? Dn ,(1 ? m ? 2n ? 1). ?1 ? Dn

…………………………6 分

因为 (1 ? x ? x 2 ) n ?1 ? (1 ? x ? x 2 ) ? (1 ? x ? x 2 )n ,
0 1 2 2 r r 2 n ?1 2 n ?1 2 n 2n 所以 (1 ? x ? x 2 )n ?1 ? (1 ? x ? x 2 ) ? ( Dn ? Dn x ? Dn x ? ? ? Dn x ? ? ? Dn x ? Dn x ).

m ?1 上式左边 x m ?1 的系数为 Dn ?1 ,

m ?1 m m ?1 而上式右边 x m ?1 的系数为 Dn ? Dn ? Dn ,

由 (1 ? x ? x 2 ) n ?1 ? (1 ? x ? x 2 ) ? (1 ? x ? x 2 )n 为恒等式,得
m ?1 m ?1 m m ?1 Dn ? Dn ? Dn ,(1 ? m ? 2n ? 1). ?1 ? Dn

……………………………10 分

(3) (1 ? x ? x 2 ) 2014 ? ( x ? 1)2014
0 1 2 r 4027 4027 4028 4028 ? ( D2014 ? D2014 x ? D2014 x 2 ? ? ? D2014 x r ? ? ? D2014 x ? D2014 x )?
r 2014 2013 2012 2011 2014 (C0 ? C1 ? C2 ? C3 ? ? ? (?1) r C2014 x 2014 ? r ? ? ? C2013 2014 x 2014 x 2014 x 2014 x 2014 x ? C2014 ),

…………………………………12 分
0 1 1 2 2 3 3 2014 2014 其中 x2014 系数为 D2014 C0 2014 ? D2014 C 2014 ? D2014 C 2014 ? D2014 C 2014 ? ? ? D2014 C 2014 ,

又 (1 ? x ? x 2 )2014 ? ( x ? 1)2014 ? ( x3 ? 1) 2014 ,
r 而二项式 ( x3 ? 1) 2014 的通项 Tr ?1 ? C2014 ( x3 ) 2014 ? r ,

………………………………14 分

因为 2014 不是 3 的倍数,所以 ( x3 ? 1)2014 的展开式中没有 x2014 项, 由代数式恒成立,得
0 1 1 2 2 3 3 2014 2014 D2014 C0 2014 ? D2014 C 2014 ? D2014 C 2014 ? D2014 C 2014 ? ? ? D2014 C 2014 =0.

…………16 分


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