辽宁省大连理工大学附属高中数学:新人教B版必修二 2.1平面直角坐标系中的基本公式 学案


大连理工大学附属高中数学学案

2.1 平面直角坐标系中的基本公式
一.学习要点:平面直角坐标系中的几个基本公式及其简单应用 二.学习过程: 一.数轴上的基本公式 (一)基本概念: 1、直线坐标系 :一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴,或者说在这条直 .. 线上建立了直线坐标系。 ..... (1)实数集和数轴上的点集建立了一一对应关系; (2) 如果点 P 与实数 x 对应, 则称点 P 的坐标为 x , 记作 P ? x ? 。 例如: 数轴 x 上的点 M 的坐标为 3 ,记作 M ? 3? ,点 N 的坐标为 ?2 ,记作 N ? ?2 ? 。 2、向量(位移向量) :位移是一个既有大小又有方向的量,通常叫做位移向量,简称向量。 .. 从点 A 到点 B 的向量, 记作 AB , B 叫做向量 AB 的终点, 点 线段 AB 的长叫做向量 AB 的长度,记作 AB 。 3、数轴上的向量 AB 的坐标(数量) :向量 AB 的长度及表示方向的符号。即 AB 的坐标是 一个实数,实数的绝对值是为线段 AB 的长度, 若起点指向终点的方向与轴同向,则这个实数取正数,反之取负数。 用 AB 表示 AB 的坐标。例如: AB ? 3 , BA ? ?3 。 4、相等的向量:数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量。相等的向量的坐标相等,反之 亦然。 5、相反向量:等长且反向的向量。 AB ? ? BA ,其坐标互为相反数。 6、零向量:起点和终点重合的向量,它没有确定的方向,它的坐标为 0 。 7、数轴上任意三点 A , B , C 都具有关系:
1

??? ?

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(1) AC ? AB ? BC ; (2) AB ? ? BA 或 AB ? BA ? 0 。 例如: AB ? 4 , BC ? ?5 ,

AC ? AB ? BC ? 4 ? ? ?5? ? ?1 ; AB ? AC ? CB ? ?1 ? 5 ? 4 ; BC ? BA ? AC ? ?4 ? ? ?1? ? ?5 。
8、数轴上向量的坐标公式:设点 A 的坐标为 x1 ,点 B 的坐标为 x2 则: AB ? x2 ? x1 。 9 、 用 d ( A, B)表 示 A , B 两 点 的 距 离 , 则 数 轴 上 A , B 两 点 间 的 距 离 公 式 :

d ? A , B? ? x2 ? x1 。
10、数轴上两点 A ? x1 ? 、 B ? x2 ? ,线段 AB 中点 M 的坐标为 x0 证明:设 M ? x0 ? ,则 AM ? x0 ? x1 , MB ? x2 ? x0 , ∵ AM ? MB ,∴ x0 ? x1 ? x2 ? x0 ,即 x0

?

x1 ? x2 。 2

?

x1 ? x2 。 2

二.平面内任意两点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 间的距离公式: (1) 当 AB 不平行于坐标轴,也不在坐标轴上时 从点 A , B 分别作 x 轴、 y 轴的垂线 AA1 , AA2 , BB1 , BB2 。 垂足分别为 A1 ? x1 , 0 ? , A2 0, y 1 , B1 ? x2 , 0 ? , B2 ? 0, y2 ? 其中直线 BB1 , AA2 相交于点 C : 由勾股定理:得 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点间的距离公式: y B2 B

?

?

A

A2

C

A1

O

B1

x

d ? A, B ? ? AB ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2



(2) 当 AB 平行于坐标轴,或在坐标轴上时,公式仍然成立。
2

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(3)若 B 为原点,则 AB ? OA ?

x12 ? x2 2 ;

(4)若 A , B 两点在 x 轴上或在与 x 轴平行的直线上,则 y1 ? y2 ,则 AB ? x2 ? x1 ; (5)若若 A , B 两点在 y 轴上或在与 y 轴平行的直线上,则 x1 ? x2 ,则 AB ? y2 ? y1 ; 三.中点公式: 已知 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , M ?x , 设 y

? 是线段 AB 的中点,从点 A 、B 、M 分别作 x 轴、

y 轴的垂线 AA1 , AA2 , BB1 , BB2 , MM 1, MM 2 ,垂足分别为 A ? x1 , 0? , A2 ? 0 , y1 ? , 1

B1 ? x2 , 0? , B2 ? 0 , y2 ? , M1 ? x, 0? , M 2 ? 0 , y ? 。
∵ M 是线段 AB 的中点,即 A M1 ? M1B1 , A2 M 2 ? M 2 B2 , 1 ∴ x ? x1 ? x2 ? x , y ? y1 ? y2 ? y , 即x?

x1 ? x2 y ? y2 ,y? 1 。 2 2
) B.数轴上等长的向量叫做相等向量 D. AB ? BA

例 1:下列说法正确的是( A.零向量是没有方向的

C.向量 AB 的坐标 AB ? ? BA

??? ?

??? ?

例 2:数轴上 A , B 两点的坐标为 x1 ? a ? b , x2 ? a ? b ,分别求 AB 、 BA 、 d ? A, B ? 、

d ? B, A? 。
例 3:已知 1 在数轴上对应的点 A,在数轴上把 A 向左平移 5 个单位长度得点 B,再向右平 移 4 个单位得点 C,则点 C 对应的数是__ ___,向量 AB 的坐标_____,向量 BC 的坐标 _______。 例 4:已知 A ? 2 , ? 4? , B ? ?2 , 3? ,求 d ? A , B ? 。
3

??? ?

????

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例 5:已知 A?1, 2? , B ? 3 , 4? , C ?5, 0? ,求证: △ ABC 是等腰三角形。

2 2 2 2 例 6:已知 ? ABCD ,求证: AC ? BD ? 2 AB ? AD 。

?

?

例 7:已知 ? ABCD 的三个顶点 A? ?3 , 0? , B ? 2 , ? 2? , C ? 5 , 2? ,求顶点 D 的坐标。

拓展:已知 ? ABCD 的三个顶点 ? ?3 , 0? , ? 2 , ? 2? , ? 5 , 2? ,求顶点第四个顶点的坐标。

课堂练习:教材习题 2-1 课后作业:见作业(50) 补充练习: 1. △ ABC 中, AO 是 BC 边上的中线, 求证: AB ? AC ? 2 AO ? OC
2 2 2

?

2

?。
2 2 2
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2.已知正三角形的边长为 a ,在平面上求一点 P ,使 PA ? PB ? PC 最小,并求出 此最小值。 3.函数 f ( x) ?

x2 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 4 x ? 8 的最小值是

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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