【启慧学案】高中数学必修4苏教版分层演练:2.3.2 平面向量的坐标运算


2.3.2

平面向量的坐标运算

情景:我们知道,在直角坐标平面内,每一个点都可用一对有序 实数(即它的坐标)表示,如点 A(x,y)等. 思考: 对于每一个向量如何表示?若知道平面向量的坐标, 应如 何进行运算?

基 础 巩 固 1.若点 P 的坐标为(2014,140),向量→ PQ的坐标为(1,10),则点

Q 的坐标为________

答案:(2 015,150)

2 .已知 → AB = (3,4) , A 点坐标为 ( - 2 ,- 1) ,则 B 点坐标为 ________.

答案:(1,3)

3.已知 A(4,3),B(5,-5),且 a=(x2+4x-4,x-3).若 a =→ AB,则 x 的值等于________.

答案:-5

4 .已知 a = (3 ,- 1) , b = ( - 1,2) ,则- 3a - 2b 的坐标是 ________.

答案:(-7,-1)

→同向的单位向量 5.已知两点 A(4,1)、B(7,-3),则与向量AB 是________.

?3 4? 答案:? ,- ? 5? ?5

→=(3,7),AB →=(-2,3),对角线 AC、BD 交 6.已知?ABCD 中,AD →的坐标为________. 于点 O,则CO

? 1 ? 答案:?- ,-5? ? 2 ?

→ 7. 若 O(0,0), A(1,2), 且OA ′=2→ OA, 则 A′点坐标为________.

(2,4)

? 1 ? 8.已知向量 a=?8, x?,b=(x,1),其中 x>0,若(a-2b)∥(2a 2 ? ?

+b),则 x 的值是________.

答案:4

9.已知两向量 a=(2,sin θ ),b=(1,cos θ ),若 a∥b,则 sin θ +2cos θ =________. 2sin θ -3cos θ

答案:4

能 力 升 级 →=( 10.若向量→ BA=(2,3),→ CA=(4,7),则BC A.(-2,-4) C.(6,10) B.(2,4) D.(-6,-10) )

解析:利用向量加法的坐标运算求解. ∵→ CA=(4,7), ∴→ AC=(-4,-7). →, ∵→ BC=→ BA+AC ∴→ BC=(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4). 答案:A

→ 11. 已知 P1(5, -1), P2(-3,1), 点 P(x,2)分P 1P2所成的比为λ , 则 x 的值为________.

解析:∵y= =

y1+λ y2
1 +λ

,∴2=

-1+λ .解得:λ =-3,则 x= 1 +λ 14 =-7. -2

x1+λ x2 5+?-3?×?-3?
1+λ 1+?-3? 答案:-7



12. 若三点 A(2,2), B(a,0), C(0,4)共线, 则 a 的值等于________.

→=(a-2,-2),AC →=(-2,2),依题意,向量→ 解析:AB AB与→ AC共 线,故有 2(a-2)-4=0,得 a=4. 答案:4

13.已知向量 a=(4,2),向量 b=(x,3),且 a∥b,则 x 等于 ________.

解析:a∥b ? ×3-2x=0,∴x=6. 答案:6

14.已知 A ={a|a=(1,0)+m(0,1) ,m∈R},B={b|b=(1,1) +n(-1,1),n∈R}是两个向量集合,则 A∩B=________.

解析:由 a=b 得:(1,0)+m(0,1)=(1,1)+n(-1,1),即:(1,

m)=(1-n,1+n).

∴m=1,n=0.故 A∩B={(1,1)}. 答案:{(1,1)}

?3 ? ? 1? 15.设 a=? ,sin α ?,b=?cos α , ?,α ∈(0,2π ),若 a 3? ?2 ? ?

∥b,求角α .

1 1 解析:∵a∥b,∴ -sin α cos α =0,即 sin α cos α = . 2 2 又 sin2α +cos2α =1,∴sin α = 2 2 ,cos α = 或 sin α =- 2 2

2 2 π 5π ,cos α =- ,∵α ∈(0,2π ),∴α = 或 . 2 2 4 4

16.等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,DC=2AB,三个顶点的坐标分别 为 A(1,2),B(2,1),C(4,2),求点 D 的坐标.

解析:设点 D 的坐标为(x,y).∵DC=2AB, →. ∴→ DC=2AB →=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y), ∵→ DC=→ OC-OD → →-OA →=(2,1)-(1,2)=(1,-1), AB=OB ∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即: (4-x,2-y)=(2,-2).
? ?4-x=2, ∴? ? ?2-y=-2, ? ?x=2, 解得? ? ?y=4.

故点 D 的坐标为(2,4).

1 1 17.已知 a=(1,2),b=(-2,1),x=a+(t2+1)b,y=- a+

k

t

b,是否存在正实数 k,t,使得 x∥y?若存在,求出取值范围;若不
存在,请说明理由.

解析:依题意,x=a+(t2+1)b =(1,2)+(t2+1)(-2,1)=(-2t2-1,t2+3).

y=- a+ b=- (1,2)+ (-2,1) k t k t
? 1 2 2 1? =?- - ,- + ?. ?

1

1

1

1

k t

k t?

假设存在正实数 k,t,使 x∥y,
? 2 1? ? 1 2? 则(-2t2-1)?- + ?-(t2+3)?- - ?=0, ?

k t?

?

k t?

t2+1 1 化简得 + =0,即 t3+t+k=0. k t
∵k,t 为正实数, 故满足上式的 k,t 不存在,所以不存在这样的正实数 k,t,使

x∥y.

18.p、q、r 是互异实数,三个点 P(p,p3)、Q(q,q3)、R(r,r3), 若 P、Q、R 三点共线,求 p+q+r 的值.

→=(α -β ,α 3-β 3),PR →=(r-β ,r3-β 3). 解析:PQ →与PR →共线, ∵P、Q、R 三点共线,∴PQ

∴存在实数λ 使得→ PQ=λ → PR,
?q-p=λ ?r-p?, ? ? 3 3 3 3 ?q -p =λ ?(r -p ?), ?

① ②

②÷①得 q2+pq+p2=r2+rp+p2, ∴(q-r)(p+q+r)=0, ∵p、q、r 互异,∴q-r≠0, ∴p+q+r=0.

19.设平面向量 a=(m,2),b=(2,n),其中 m,n∈{1,2,3,4}. (1)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果; (2)记“使得 a∥b 成立的(m,n)”为事件 A,求事件 A 发生的概 率. 解析:(1)∵m,n∈{1,2,3,4}, ∴有序数组(m,n)的所有可能结果为:(1,1),(1,2),(1,3), (1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共 16 个. (2)∵a=(m,2),b=(2,n),且 a∥b,∴mn=4,故事件 A 包含 的结果有(1,4),(2,2),(4,1)共 3 个,∴P(A)= 3 . 16


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