数学文卷·2014届江西省临川一中等九所重点中学高三联合考试(2014.03)word版


江西省九所重点中学 2014 届高三下学期 3 月联合考试 数学(文)试题
注意事项: 1、本试卷分第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间为 120 分钟. 2、本试卷分试题卷和答题卷,第 1 卷(选择题)的答案应填在答题卷卷首相应的空格内, 做在第 1 卷的无效.

第 I 卷(选择题

共 5 0 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数 z=÷等(f 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2 2.设 a,b∈R,则“a>b”是“(a 一 b)b >0”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.月底,某商场想通过抽取发票的 10%来估计该月的销售总额。先将该月的全部销售发票 存根进行了编号:1,2,3,?,然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本.若从编号 为 1,2,?,10 的前 10 张发票存根中随机抽取一张,然后再按系统抽样的方法依编号 顺序逐次产生第二张、 第三张、 第四张、 ?, 则抽样中产生的第二张已编号的发票存根, 其编号不可能是 A.19 B.17 C.23 O.13

4.如图给出的计算 是

的值的一个程序框图, 则判断框内应填入的条件

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6.已知数列 {an }, 若点{n,a n }(n ? N*)在直线y-2=k(x-5)上,则数列{a n }的前 9 项和 S9 等于 A.16 B.18 C.20 D.22 7.某几何体的三视图如图所示,当 xy 最大时, 该几何体的体积为 A.2 7 C.8 7 B.4 7 D.16 7

9.如图,抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,斜率 k=l 的直线 l 过焦点 F,与抛物线交于 A、 B 两点,若抛物线的准线与 x 轴交点为 N,则 tan∠ANF=

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第 II 卷(非选择题,共 1 00 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 已知集合 , 则实数 a 的取值范围是 . 12.已知角缈的终边经过点 P(3,-4) ,函数 f(x)=sin( ? x+ ? ) ( ? >0)的图像的相邻 两条对称轴之间的距离等于

? ? ,则 f ( ) 的值为 12 3

.

13.已知圆 O:x2+y2=l,由直线 l:x+y+k=0 上一点 P 作圆 0 的两条切线,切点为 A,B, 若在直线,上至少存在一点 P,使∠APB=60°,则 k 的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,满足 于 x 的不等式 x2cosC+4xsinC+6≥0 对任意的 x∈R 恒成立. (1)求角 A 的值; (2)求 f(C)=2sinC·cosB 的值域.

b ? a sin B ? sin C ,关 ? c sin B ? sin A

17. (本小题满分 12 分) 生活富裕了,农民也健身啦,一天,一农民夫妇带着小孩共 3 人在新农村健身房玩传球 游戏,持球者将球等可能的传给其他 2 人,若球首先从父亲传出,经过 4 次传球. (1)求球恰好回到父亲手中的概率; (2)求小孩获球(获得他人传来的球)的次数为 2 次的概率.

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18. (本小题满分 12 分) 如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,∠A=30。 ,斜边 AC 上的中线 BD=2,现沿 BD 将 △BCD 折起成三棱锥 C-ABD,已知 G 是线段 BD 的中点,E,F 分别是 CG,AG 的中点. (1)求证:EF//平面 ABC; (2)三棱锥 C—ABD 中,若棱 AC= 10 ,求三棱锥 A 一 BCD 的体积.

19. (本小题满分 12 分)

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 经过点P( 3, ), 离心率e ? . 2 a b 2 2

(1)求椭圆 C 的标准方程。 (2)过点 Q(0, 不经过 P 点) , 记 PA、 PB、 PM 的斜率分别为 k1、 k2、 k3, 问: 是否存在常数 ? , 使得 若存在,求出名 ? 的值:若不存在,请说明理由.

1 )的直线与椭圆交于 A、B 两点,与直线 y=2 交于点 M(直线 AB 2
1 1 ? ? ? ? k1 k2 k3

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21. (本小题满分 14 分)

第 5 页 共 9 页

数学文科卷参考答案与评分意见
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 A 5 A 6 B 7 D 8 A 9 C 10 D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在题中的横线上. 11、 ? ?1,1? 12、 ?

2 10

13、 ? ?2 2, 2 2 ?

?

?

14、 3

15、 21007

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (1)

b ? a sin B ? sin C ? c sin B ? sin A
2 2 2

由正弦定理、余弦定理得 b ? a ? c ? bc,? cos A ?

b2 ? a 2 ? c 2 1 ? , 2bc 2

?A?

?
3

,???6 分

(2)

? 3 f (C ) ? 2sin C ? cos B ? ? sin(2C ? ) ? , 3 2

cos C ? 0 1 ? Q{ ? cos C ? ? 0 ? C ? 2 ? ? 16sin C ? 24cos C ? 0 2 3

? ? ? ? Q 0 ? C ? ,? ? 2C ? ? ? ,sin(2C ? ) ? ?0,1? 3 3 3 3
? 3 3? f (C ) ? ? ?1 ? , ? ?12 分 2 2 ? ?

17.设父亲的编号甲,母亲的编号乙,小孩的编号丙,所有可能的取值有 16 种如下: 甲乙甲乙甲;甲乙甲乙丙;甲乙甲丙甲;甲乙甲丙乙;甲乙丙甲乙;甲乙丙甲丙; 甲乙丙乙甲;甲乙丙乙丙;甲丙甲乙甲;甲丙甲乙丙;甲丙甲丙甲;甲丙甲丙乙; 甲丙乙甲乙;甲丙乙甲丙;甲丙乙丙甲;甲丙乙丙乙;; ???4 分 (1) P ?

6 3 ? ; ???8 分 16 8

(2) P ?

8 1 ? ???12 分 16 2

第 6 页 共 9 页

18、(1) 证明:⑴ EF 是 ? AGC 的中位线?EF//AC???3 分 又 AC ? 平面 ABC

?

EF ? 平面 ABC

=

?EF//平面 ABC

???6 分

⑵在 ?ADG 中, ?ADB ? 120?, AD ? 2, DG ? 1 ,由余弦定理得:

AG 2 ? 22 ? 12 ? 2 ? 2 ?1cos120? ? 7 ,???8 分
而 CG ? 3, AC ? 10 ? AC ? AG ? CG
2 2

2

2

2

即 CG ? AG,又 CG ? BD ? CG ? 平面 ABD???10 分

1 1 1 CG ? ? ? 2 ? 2sin120?? 3 ? 1 ? VABCD ? ?S?ABD ? 3 3 2

???12 分

19.解: (Ⅰ)因为 {an } 为等差数列,公差为 d ,则由题意得

?a5 ? a7 ? 22 ? 2a1 ? 10d ? 22 ? ?a2 ? a5 ? a1 ? a14 ? (a1 ? d )(a1 ? 4d ) ? a1 (a1 ? 13d ) ? a1 ? 5d ? 11 ? d ? 2 ?? ? a1 ? 1 ? d ? 2a1

整理得 ?

所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ?????3 分

由 bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an ? an ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

所以 Tn ?

1 1 1 1 1 1 n ?????6 分 (1 ? ? ? ? ? ? ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

(Ⅱ)假设存在 由(Ⅰ)知, Tn ?

n 1 m n ,所以 T1 ? , Tm ? , Tn ? 2n ? 1 3 2m ? 1 2n ? 1

若 T1 , Tm , Tn 成等比,则有

Tm 2 ? T1 ? Tn ? (

m 2 1 n m2 n ) ? ? ? ? ???8 分 2 2m ? 1 3 2n ? 1 4m ? 4m ? 1 6n ? 3

?

4m 2 ? 4m ? 1 6n ? 3 3 4m ? 1 ? 2m 2 ? ? ? , ( 1) m2 n n m2
第 7 页 共 9 页

因为 n ? 0 ,所以 4m ? 1 ? 2m ? 0 ? 1 ?
2
?

6 6 ? m ? 1? ,?????10 分 2 2

因为 m ? N , m ? 1,? m ? 2, ,当 m ? 2 时,代入(1)式,得 n ? 12 ; 综上,当 m ? 2, n ? 12 可以使 T1 , Tm , Tn 成等比数列。?????12 分

x2 20.解:⑴ ? y2 ? 1 4

???4 分

⑵当直线 AB 斜率不存在时, A(0, ?1), B(0,1), P( 3, ) 有

1 2

1 1 2 ? ? ? ? ? 2 ?5 分 k1 k2 k3

当直线 AB 斜率 k 存在时,由已知有 k≠0,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 设直线 AB: y ? kx ?

1 2

则 M(

3 , 2) ???6 分 2k
?4 k ? x ? x ? 1 2 ? ? 1 ? 4k 2 ???7 分 ? ? 3 ?x x ? 1 2 ? 1 ? 4k 2 ?

1 ? y ? kx ? ? ? 2 2 2 得 (1 ? 4k ) x ? 4kx ? 3 ? 0 ? 2 ? x ? y2 ? 1 ? ?4

1 1 x1 ? 3 x2 ? 3 x1 ? 3 x2 ? 3 1 ? x1 ? 3 x2 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 k1 k2 kx1 kx2 k ? x1 x2 ? y1 ? y2 ? 2 2
? ? x )2 2 4 3 1 2 x1 x 2 ? 3( x 1 ? ? ???10 分 k x1 x2 k 3

3 ? 3 1 2k 1 2 3 而 ? ? ? 1 k3 k 3 2? 2


???12 分

1 1 2 ? ? ?? ? 2 k1 k2 k3

, 存在常数 ? ? 2 符合题意

???13 分

21. 解: (1)当 x>0 时, f ( x) ?

1 ? ln x ,有 ? f ( x) ? x

1 ? x ? (1 ? ln x ) ?1 ln x x ?? 2 x2 x

f ?( x) ? 0 ? ln x ? 0 ? 0 ? x ? 1 ; f ?( x) ? 0 ? ln x ? 0 ? x ? 1
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所以 f ( x) 在(0,1)上单调递增,在 (1, ?) 上单调递减, 函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得唯一的极值.由题意 a ? 0 ,且 a ? 1 ? a ? 1 ,解得

3

所求实数 a 的取值范围为 2 ? a ? 1 3 (2)当 x ? 1 时, f ( x) ?

………………………4 分

k 1 ? ln x k ( x ? 1)(1 ? ln x) ???5 分 ? ? ?k? x ?1 x x ?1 x

令 g ( x) ? ( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1) ,由题意, k ? g ( x) 在 ?1, ?? ? 上恒成立

x

g ?( x) ?

?( x ? 1)(1 ? ln x)?? ? x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) ? x? ? x ? ln x ???6 分
x2 x2

令 h( x ) ?

x ? ln x( x ? 1) ,则 h?( x) ? 1 ? 1 ? 0 ,当且仅当 x ? 1 时取等号.
x

所以 h( x) ? x ? ln x 在 ?1, ?? ? 上单调递增, h( x) ? h(1) ? 1 ? 0 .???8 分 因此, g ?( x) ? h( x) ? 0 x2

g ( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增, g ( x)min ? g (1) ? 2 .
???9 分

所以 k ? 2 .所求实数 k 的取值范围为 ? ??, 2 ? (3)由(2) ,当 x ? 1 时,即 f ( x) ? 从而 ln x ? 1 ?

2 1 ? ln x 2 ,即 .???10 分 ? x ?1 x x ?1
???12 分

2 2 ? 1? . x ?1 x
ln

令 x ? k ? 1 (k ? 1, 2,? , n) ,得

k

2 2 ? 1? , 1 2

3 2? 2, ln ? 1 ? 2 3

……
ln n ?1 2?n ? 1? n n ?1

将以上不等式两端分别相加,得 ???14 分

1 2 3 n ln(n ? 1) ? n ? 2( ? ? ? ? ? ) 2 3 4 n ?1

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