【走向高考】(新课标)2017高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第6讲 数学归纳法(理)习题


2017 高考数学一轮复习 第六章 不等式、 推理与证明 第 6 讲 数学归 纳法(理)习题
A 组 基础巩固 一、选择题 1.用数学归纳法证明 2 >2n+1,n 的第一个取值应是 ( A.1 C.3 [答案] C [解析] ∵n=1 时,2 =2,2×1+1=3,2 >2n+1 不成立;
1

n

)

B.2 D.4

n

n=2 时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1 不成立; n=3 时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1 成立.
∴n 的第一个取值应是 3. 2.用数学归纳法证明“1+a+a +?+a 算所得的项为 ( A.1 C.1+a+a [答案] C 1 1 1 * 3.设 f(n)=1+ + +?+ (n∈N ),那么 f(n+1)-f(n)等于 ( 2 3 3n-1 A. C. 1 3n+2 1 1 + 3n+1 3n+2 B. 1 1 + 3n 3n+1 )
2 2

n+1

1-a = (a≠1)”,在验证 n=1 时,左端计 1-a

n+2

) B.1+a D.1+a+a +a
2 3

1 1 1 D. + + 3n 3n+1 3n+2

[答案] D 4.如果命题 p(n)对 n=k(k∈N )成立,则它对 n=k+2 也成立.若 p(n)对 n=2 也成立, 则下列结论正确的是 ( )
*

A.p(n)对所有正整数 n 都成立 B.p(n)对所有正偶数 n 都成立 C.p(n)对所有正奇数 n 都成立 D.p(n)对所有自然数 n 都成立 [答案] B [解析] n=2 时,n=k,n=k+2 成立,n 为 2,4,6,?所有正偶数. 5.对于不等式 n +n<n+1(n∈N ),某同学用数学归纳法证明的过程如下:
1
2 *

(1)当 n=1 时, 1 +1<1+1,不等式成立. (2) 假设 当 n = k(k ∈ N ) 时, 不等式成立, 即 k +k < k + 1 ,则 当 n = k + 1 时, ?k+1? +?k+1?= k +3k+2 < ?k +3k+2?+?k+2?= ?k+2? = (k + 1) +1. ∴当 n=k+1 时,不等式成立,则上述证法 导学号 25401523 ( A.过程全部正确 B.n=1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 [答案] D [解析] 在 n=k+1 时,没有应用 n=k 时的假设,不是数学归纳法. 6.用数学归纳法证明 3 5
2(k+1)+1 4n+1 2 2 2 2 * 2

2

)

+5

2n+1

(n∈N )能被 8 整除时,当 n=k+1 时,对于 3 )

*

4(k+1)+1



可变形为 导学号 25401524 (
4k+1

A.56·3 B.3 ·3 C.3
4k+1 4

+25(3
2

4k+1

+5

2k+1

)

4k+1

+5 ·5

2k

+5
4k+1

2k+1

D.25(3

+5

2k+1

)

[答案] A 二、填空题 7 . 凸 k 边 形 的 内 角 和 为 f(k) , 则 凸 k + 1 边 形 的 内 角 和 为 f(k + 1) = f(k) + ________. 导学号 25401525 [答案] 180° 8.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意的自然数 n 都有(Sn-1) =anSn,通过计算 S1,
2

S2,S3,猜想 Sn=________. 导学号 25401526
[答案]

n n+1

1 2 [解析] 由(S1-1) =S1·S1,得 S1= , 2 2 2 由(S2-1) =(S2-S1)S2,得 S2= , 3 3 4 n 依次得 S3= ,S4= ,猜想 Sn= . 4 5 n+1 9. 用数学归纳法证明不等式 1 1 1 13 + +?+ < (n≥2, n∈N*)的过程中, 若设 f(n) n+1 n+2 2n 14
2



1 1 1 + +?+ ,则 f(k+1)与 f(k)的关系是________. 导学号 25401527 n+1 n+2 2n 1 1 [答案] f(k+1)=f(k)+ - 2k+1 2k+2 [解析]

f(k+1)=

1

k+1+1 k+1+2



1

+?+

1 1 1 1 1 1 + + = + +?+ 2k 2k+1 2k+2 k+1 k+2 2k



1 1 1 + - 2k+1 2k+2 k+1 1 1 =f(k)+ - . 2k+1 2k+2 10.设平面内有 n 条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过

同一点.若用 f(n)表示这 n 条直线交点的个数,则 f(4)=________;当 n>4 时,f(n)= ________(用 n 表示). 导学号 25401528 [答案] 5 1 (n+1)(n-2) 2

[解析] f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5,

f(n)=f(3)+3+4+?+(n-1)
=2+3+4+?+(n-1) 1 = (n+1)(n-2). 2 三、解答题 11.用数学归纳法证明等式 导学号 25401529 1 -2 +3 -4 +?+(-1)
2 2 2 2

n-1

·n =(-1)
2

2

n-1

·

n?n+1?
2

.

[证明] (1)当 n=1 时,左边=1 =1, 1×?1+1? 0 右边=(-1) · =1,∴原等式成立. 2 (2)假设 n=k(k∈N ,k≥1)时,等式成立, 即有 1 -2 +3 -4 +?+(-1) =(-1)
k-1
2 2 2 2 *

k-1

·k

2

k?k+1?
2

.

那么,当 n=k+1 时,则有 1 -2 +3 -4 +?+(-1) =(-1)
k-1
2 2 2 2

k-1

·k +(-1) (k+1)
2

2

k

2

k?k+1?
2

+(-1) ·(k+1)

k

=(-1) ·

k

k+1
2

[-k+2(k+1)]
3

=(-1)

k

?k+1??k+2? . 2

∴n=k+1 时,等式也成立, 由(1)(2)知对任意 n∈N 有 1 -2 +3 -4 +?+(-1)
2 2 2 2 *

n-1

·n =(-1)

2

n-1

·

n?n+1?
2

.

1 12 . 已 知 数 列 {an} 的 各 项 都 是 正 数 , 且 满 足 : a0 = 1 , an + 1 = an·(4 - an) , (n ∈ 2 N). 导学号 25401530 证明:an<an+1<2,(n∈N). [证明] 方法一:用数学归纳法证明: 1 3 (1)当 n=0 时,a0=1,a1= a0(4-a0)= , 2 2 所以 a0<a1<2,命题正确. (2)假设 n=k 时命题成立,即 ak-1<ak<2. 则当 n=k+1 时,ak-ak+1 1 1 = ak-1(4-ak-1)- ak(4-ak) 2 2 1 =2(ak-1-ak)- (ak-1-ak)(ak-1+ak) 2 1 = (ak-1-ak)(4-ak-1-ak). 2 而 ak-1-ak<0,4-ak-1-ak>0,所以 ak-ak+1<0. 1 1 2 又 ak+1= ak(4-ak)= [4-(ak-2) ]<2. 2 2 所以 n=k+1 时命题成立. 由(1)(2)可知,对一切 n∈N 时有 an<an+1<2. 方法二:用数学归纳法证明: 1 3 (1)当 n=0 时,a0=1,a1= a0(4-a0)= , 2 2 所以 0<a0<a1<2. (2)假设 n=k 时有 ak-1<ak<2 成立, 1 令 f(x)= x(4-x),f(x)在[0,2]上单调递增, 2 所以由假设有 f(ak-1)<f(ak)<f(2). 1 1 1 即 ak-1(4-ak-1)< ak(4-ak)< ×2×(4-2). 2 2 2
4

也即当 n=k+1 时,ak<ak+1<2 成立. 所以对一切 n∈N,有 ak<ak+1<2. B 组 能力提升 1.设 f(x)是定义在正整数集上的函数,且 f(x)满足:“当 f(k)≥k 成立时,总可推出
2

f(k+1)≥(k+1)2 成立”.那么,下列命题总成立的是 导学号 25401531 (
A.若 f(1)<1 成立,则 f(10)<100 成立 B.若 f(2)<4 成立,则 f(1)≥1 成立 C.若 f(3)≥9 成立,则当 k≥1 时,均有 f(k)≥k 成立 D.若 f(4)≥16 成立,则当 k≥4 时,均有 f(k)≥k 成立 [答案] D [解析] ∵f(k)≥k 成立时,f(k+1)≥(k+1) 成立, ∴f(4)≥16 时,有 f(5)≥5 ,f(6)≥6 ,?,f(k)≥k 成立.
2 2 2 2 2 2 2

)

1 1 1 127 * 2.用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ n-1> (n∈N )成立,其初始值至少应取 2 4 2 64 导学号 25401532 ( A.7 C.9 [答案] B 1 1 1 [解析] 左边=1+ + +?+ n-1 2 4 2 1 1- n 2 1 = =2- n-1, 1 2 1- 2 代入验证可知 n 的最小值是 8. 1 3.在数列{an}中,a1= ,且 Sn=n(2n-1)an,通过求 a2,a3,a4,猜想 an 的表达式为 3 导学号 25401533 ( A. C. ) B. 1 2n?2n+1? ) B.8 D.10

1 ?n-1??n+1? 1 ?2n-1??2n+1?

1 D. ?2n+1??2n+2?

[答案] C 1 1 [解析] 当 n=2 时, +a2=(2×3)a2,∴a2= . 3 3×5

5

1 1 1 当 n=3 时, + +a3=(3×5)a3,∴a3= . 3 15 5×7 故猜想 an= 1 . ?2n-1??2n+1?

1 n 4.(2015·湖北,改编)已知数列{an}的各项均为正数,bn=n(1+ ) an(n∈N+),e 为自

n

然对数的底数. 导学号 25401534 1 n x (1)求函数 f(x)=1+x-e 的单调区间,并比较(1+ ) 与 e 的大小;

n

(2)计算 ,

b1 b1b2 b1b2b3 b1b2?bn , ,由此推测计算 的公式,并给出证明. a1 a1a2 a1a2a3 a1a2?an
x

[解析] (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f ′(x)=1-e . 当 f ′(x)>0,即 x<0 时,f(x)单调递增; 当 f ′(x)<0,即 x>0 时,f(x)单调递减. 故 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),单调递减区间为(0,+∞). 当 x>0 时,f(x)<f(0)=0,即 1+x<e . 1 1 1 1 n 令 x= ,得 1+ <e ,即(1+ ) <e.①
x

n

n

n

n

b1 1 1 b1b2 b1 b2 1 2 2 2 (2) =1·(1+ ) =1+1=2; = · =2·2(1+ ) =(2+1) =3 ; a1 1 a1a2 a1 a2 2 b1b2b3 b1b2 b3 2 1 3 3 3 = · =3 ·3(1+ ) =(3+1) =4 . a1a2a3 a1a2 a3 3
由此推测:

b1b2?bn n =(n+1) .② a1a2?an

下面用数学归纳法证明②. (1)当 n=1 时,左边=右边=2,②成立. (2)假设当 n=k 时,②成立,即

b1b2?bk k =(k+1) . a1a2?ak
1

当 n=k+1 时,bk+1=(k+1)(1+

k+1

)

k+1

ak+1,由归纳假设可得

b1b2?bkbk+1 b1b2?bk bk+1 1 k+1 k k+1 = · =(k+1) (k+1)(1+ ) =(k+2) . a1a2?akak+1 a1a2?ak ak+1 k+1
所以当 n=k+1 时,②也成立. 根据(1)(2),可知②对一切正整数 n 都成立. 5.(2015·东城区调研)在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且 an,bn,an+1 成等差数列,

bn,an+1,bn+1 成等比数列(n∈N*). 导学号 25401535
(1)求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,由此归纳出{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论;
6

(2)证明:

1 1 1 1 5 + + +?+ < . a1+b1 a2+b2 a3+b3 an2+bn2 12
2

[解析] (1)由条件得 2bn=an+an+1,an+1=bnbn+1, 由此可得:

a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.
猜测 an=n(n+1),bn=(n+1) . 用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,由上可得结论成立. ②假设当 n=k 时,结论成立,即
2

ak=k(k+1),bk=(k+1)2,那么当 n=k+1 时, a2 k+1 ak+1=2bk-ak=2(k+1) -k(k+1)=(k+1)(k+2),bk+1= =(k+2)2,所以当 n=k bk
2

+1 时,结论也成立. 由①②,可知 an=n(n+1),bn=(n+1) 对一切正整数都成立. (2) 1
2

a1+b1 6 12

1 5 = < .

当 n≥2 时,由(1)知 an+bn=(n+1)(2n+1)>2(n+1)n. 1

a1+b1 a2+b2 a3+b3



1



1

+?+

1

an2+bn2

1 1 1 1 1 < + [ + +?+ 2 ] 6 2 2×3 3×4 n ?n2+1? 1 1 1 1 1 1 1 1 = + ( - + - +?+ 2- 2 ) 6 2 2 3 3 4 n n +1 1 1 1 1 = + ( - 2 ) 6 2 2 n +1 1 1 5 < + = . 6 4 12 综上,原不等式成立.

7


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