2015年高三数学(文)解析几何一轮复习测试题及详细解答


2015 年高三数学(文科)一轮复习《解析几何》测试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 的切线方程中有一个是 A.x-y=0 B.x+y=0 C.x=0 D.y=0 ( )

2.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 A. ?2 B. 2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 6 2 C. ?4 D. 4
2 2





3.若直线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a, b ? 0) 始终平分圆 x ? y ? 4x ? 2 y ? 8 ? 0 的周长,则 的最小值为 A.1 B.5 C. 4 2 D. 3 ? 2 2 (

1 2 ? a b


4.设圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 5)2 ? r 2 (r ? 0) 上有且仅有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离等于 1,则圆半径 r 的取值范围是 A. 3 ? r ? 5 B. 4 ? r ? 6 ( C. r ? 4 D. r ? 5 )

5.已知 M ? {( x, y) | y ? 9 ? x 2 , y ? 0} , N

? {( x, y) | y ? x ? b} ,若 M

N ? ? ,则
( )

b?
A. [?3 2,3 2] C. (?3,3 2] B. (?3 2,3 2) D. [?3,3 2]

2 2 6.如果方程 x ? y ? 1 表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是 ?p q





A.

x2 y2 ? ?1 2q ? p q

B.

x2 y2 ? ? ?1 2q ? p p

C.

x2 y2 ? ?1 2p ? q q

D.

x2 y2 ? ? ?1 2p ? q q
( )

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(5 ? m ? 9) 的 ? ? 1(m ? 6) 与曲线 5?m 9?m 10 ? m 6 ? m A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.准线相同 2 2 8.双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ?
7.曲线
-1-





A. ?

1 4

B. ?4

C. 4

D.

1 4

9.一束光线从点 A(?1,1) 出发,经 x 轴反射到圆 C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 上的最短路径是 ( A.4 B.5 C. 3 2 ? 1 D. 2 6 ) )

10.抛物线 y ? ? x2 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是 ( A.

4 3

B.

7 5

C.

8 5

D. 3

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上) 11 . 已 知 直 线 l1 : x ? y sin ? ? 1 ? 0 , l2 : 2 x sin ? ? y ? 1 ? 0 , 若 l1 // l2 , 则 ? ? 12 .若圆 C1 : x2 ? y2 ? 2 mx ? m2 ? 4 ? 0 与圆 C2 : x2 ? y2 ? 2 x ? 4 my ? 4 m2 ? 8 ? 0 相 交,则 m 的取值范围是 13.椭圆 .

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点在 y 轴上,那 12 3

么 | PF1 | 是 | PF2 | 的______________倍. 14.要建造一座跨度为 16 米,拱高为 4 米的抛物线拱桥,建桥时,每隔 4 米用一根柱支撑,两边 的柱长应为____________. 15 .已知两点 M (?5,0), N (5,0) , 给出下列直线方程 : ① 5x ? 3 y ? 0 ; ② 5 x ? 3 y ? 52 ? 0 ; ③

x ? y ? 4 ? 0 .则在直线上存在点 P 满足 | MP |?| PN | ?6 的所有直线方程是_______.(只
填序号) 三、解答题(本大题共 6 小题, 共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)已知 ?ABC 的顶点 A 为(3,-1) ,AB 边上的中线所在直线方程 为 6 x ? 10 y ? 59 ? 0 , ? B 的平分线所在直线方程为 x ? 4 y ? 10 ? 0 ,求 BC 边所在直线的 方程. 17. (本小题满分 12 分)设圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧

-2-

长之比为 3:1;③圆心到直线 l : x ? 2 y ? 0 的距离为

5 ,求该圆的方程. 5

18. (本小题满分 12 分)已知三点 P(5,2) 、 F1 (-6,0) 、 F2 (6,0) 。 (1)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (2)设点 P、 F1 、 F2 关于直线 y=x 的对称点分别为 P? 、 F1' 、 F2' ,求以 F1' 、 F2' 为焦 点且过点 P? 的双曲线的标准方程. 19. (本小题满分 12 分)已知椭圆的中心在原点,离心率为 于 0 的常数). (1)求椭圆的方程; (2)设 Q 是椭圆上一点,且过点 F , Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M ,若 | MQ |? 2 | QF | ,求直 线 l 的斜率. 20. (本小题满分 13 分)已知抛物线 y 2 ? 8x ,是否存在过点 Q(1,1) 的弦 AB ,使 AB 恰被 Q 平 分.若存在,请求 AB 所在直线的方程;若不存在,请说明理由. 21. (本小题满分 14 分)设 x, y ? R , i, j 为直角坐标平面内 x , y 轴正方向上的单位向量,若向 量 a ? xi ? ( y ? 2) j , b ? xi ? ( y ? 2) j ,且 | a | ? | b |? 8 . (1)求点 M ( x, y ) 的轨迹 C 的方程; (2) 过点(0,3)作直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,设 OP ? OA ? OB ,是否存在这样的直线 l , 使得四边形 OAPB 是矩形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,试说明理由.

1 ,一个焦点是 F (?m,0) ( m 为大 2

-3-

答案与解析

1.C.圆心为(1, ? 3 ) ,半径为 1,故此圆必与 y 轴(x=0)相切,选 C. 2.D . 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点为(2,0),则 p ? 4 , 6 2

故选 D. 3.D.已知直线过已知圆的圆心(2,1) ,即 a ? b ? 1 . 所以

1 2 1 2 b 2a ? ? ( ? )(a ? b) ? 3 ? ? ? 3? 2 2 . a b a b a b
l 4

4.B.注意到圆心 C (3, ?5) 到已知直线的距离为

| 4 ? 3 ? 3 ? (?5) ? 21| 42 ? (?3)2

? 5,

结合图形可知有两个极端情形: 其一是如图 7-28 所示的小圆,半径为 4; 其二是如图 7-28 所示的大圆,其半径为 6,故 4 ? r ? 6 . 5.C.数形结合法,注意 y ? 9 ? x 2 , y ? 0 等价于 x ? y ? 9( y ? 0) .
2 2

6.D.由题意知, pq ? 0 .若 p ? 0, q ? 0 ,则双曲线的焦点在 y 轴上,而在选择支 A,C 中,椭圆 的焦点都在 x 轴上,而选择支 B,D 不表示椭圆;
2 若 p ? 0, q ? 0 ,选择支 A,C 不表示椭圆,双曲线的半焦距平方 c ? ? p ? q ,双曲线的焦点

在 x 轴上,选择支 D 的方程符合题意. 7.A.由

x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 知 该 方 程 表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 , 由 10 ? m 6 ? m

x2 y2 ? ? 1(5 ? m ? 9) 知该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线, 故只能选择答案 A. 5?m 9?m
8.A . 一看带参,马上戒备:有没有说哪个轴是实轴?没说,至少没有明说。分析一下,因 为等号后为常数“+” ,所以等号前为系数为“+”的对应实轴。y2 的系数为“+” ,所以 这个双曲线是“立”着的。接下来排除 C、D 两过于扯淡的选项 —— 既然说是双曲线, “x2”与“y2”的系数的符号就不能相同.在接下来是一个“坑儿” :双曲线的标准形式是
-4-

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? 2 ?1 2 a2 b2 b 或a ( a, b ? 0 ) ,题目中的双曲线方程并不是标准形式,所以要变

x2 ? y2 ? 1 一下形儿,变成 1/ | m | 。由题意,半虚轴长的平方:半实轴长的平方 = 4.即 1 1 :1 ? 4 m?? |m| 4 。选 A.当然,我们也可以不算,只利用半虚轴比半实轴长即 ,所以 ?
可直接把答案 A 圈出来 9.A.先作出已知圆 C 关于 x 轴对称的圆 C ' ,问题转化为求点 A 到圆 C ' 上的点的最短路
2 径 , 即 | AC ' | ?1 ? 4 . 10 . A . 抛 物 线 上 任 意 一 点 ( t , ?t ) 到 直 线 的 距 离

d?

| 4t ? 3t 2 ? 8 | | 3t 2 ? 4t ? 8 | ? 2 2 5 5 .因为 4 ? 4 ? 3 ? 8 ? 0 ,所以 3t ? 4t ? 8 ? 0 恒成立.从而 1 4 ? 3 ? 8 ? 42 4 1 2 d ? 3 t ? 4 t ? 8 ? ? , min 5 ? 4 ? 3 ? 3 .选 A. 5 d? | 4t ? 3t 2 ? 8 | | 3t 2 ? 4t ? 8 | ? 5 5 . 因为



d?

10 . A . 抛物线上任意一点( t , ?t )到直线的距离
2

4 ? 4 ? 3 ? 8 ? 0 , 所 以 3t ? 4t ? 8 ? 0 恒 成 立 . 从 而 有
2 2

d?

1 2 ?3 t ? 4 t ??8 , 5

1 4 ? 3 ? 8 ? 42 4 d min ? ? ? 5 4?3 3 .选 A .
11. k? ?

?
4

(k ? Z ) . sin ? ? 0 时不合题意;

sin ? ? 0 时由 ?
这时

1 1 2 ? ? ?2sin ? ? sin 2 ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? k? ? , sin ? 2 2 4

1 ? ?1 . sin ? 12 2 12. (? , ? ) (0, 2) .由 R ? r ? d ? R ? r 解之得. 5 5
13.13 . 7 倍 . 由已知椭圆的方程得 a ? 2 3, b ? 3, c ? 3, F 1 (?3,0), F 2 (3,0) . 由于焦点

F1和F2
关于 y 轴对称,所以 PF2 必垂直于 x 轴.所以
-5-

P(3,
14.1 米.

3 3 3 7 3 ,所以 | PF2 |? 7 | PF ),| PF2 |? ,| PF1 |? (3 ? 3) 2 ? ( ) 2 ? 1 |. 2 2 2 2
由题意知,设抛物线的方程为 x2 ? ?2 py( p ? 0) ,又抛物线的跨度为 16,拱高为

4, 所以点 (8,-4) 为抛物线上的点 , 所以 p ? 8 . 即抛物线方程为 x 2 ? ?16 y . 所以当 x ? 4 时, y ? ?1 ,所以柱子的高度为 1 米. 由 | MP | ? | PN |? 6 可知点 P 在双曲线

15.②③.

x2 y 2 ? ? 1 的右支上,故只要判断直线 9 16

4 x ,直线①过原点且斜率 3 5 4 52 ? ,所以直线①与双曲线无交点 ;直线②与直线①平行,且在 y 轴上的截距为 ? 故 3 3 3 4 与双曲线的右支有两个交点;直线③的斜率 1 ? ,故与双曲线的右支有一个交点. 3
与双曲线右支的交点个数 .因为双曲线的渐近线方程为 y ? ? 16.设 B(4 y1 ? 10, y1 ) ,由 AB 中点在 6 x ? 10 y ? 59 ? 0 上, 可得: 6 ?

4 y1 ? 7 y ?1 ? 10 ? 1 ? 59 ? 0 ,y1 = 5,所以 B(10,5) . 2 2

设 A 点关于 x ? 4 y ? 10 ? 0 的对称点为 A '( x ', y ') ,
y? ? 4 ? x? ? 3 ? 4? ? 10 ? 0 ? 2 则有 ? 2 ? A?(1,7) .故 BC : 2 x ? 9 y ? 65 ? 0 . ? ? y ? 1 1 ? ? ? ?1 ? ? x? ? 3 4

17.设圆心为 ( a , b ) ,半径为 r,由条件①: r ? a ? 1 ,由条件②: r ? 2b ,从而有:
2 2 2 2

?2b2 ? a2 ? 1 | a ? 2b | 5 2b ? a ? 1 .由条件③: 可得: ? ?| a ? 2b |? 1 ,解方程组 ? 5 5 ?| a ? 2b |? 1
2 2

?a ? 1 ?a ? ?1 2 2 2 2 或? ,所 以 r ? 2b ? 2 .故所求圆 的方程是 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2 或 ? ?b ? 1 ?b ? ?1

( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 .

-6-

18. (1)由题意,可设所求椭圆的标准方程为

x2 y2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其半焦距 c ? 6 。 + a 2 b2
∴a ? 3 5 ,

2a ?| PF1 | ? | PF2 | ? 112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 6 5 ,
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 45 ? 36 ? 9 ,故所求椭圆的标准方程为
P ?(2,5) 、 F1 ' (0,-6) 、 F2 ' (0,6)
设所求双曲线的标准方程为

x2 y2 ? 1; + 45 9

(2)点 P(5,2) 、 F1 (-6,0) 、 F2 (6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为:

x2 a1
2

-

y2 b1
2

? 1 (a1 ? 0, b1 ? 0) ,由题意知半焦距 c1 ? 6 ,
∴ a1 ? 2 5 ,

2a1 ? | P' F1 '| ? | P' F2 '| ? 112 ? 2 2 ? 12 ? 2 2 ? 4 5 ,
b1 ? c1 ? a1 ? 36 ? 20 ? 16 ,故所求双曲线的标准方程为
2 2 2

y 2 x2 ? 1. 20 16

19 . (1)设所求椭圆方程为:

c 1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) . 由 已 知 得 : c ? m, ? , 所 以 2 a 2 a b

a ? 2 m, b?

.故所求椭圆的方程为: 3m

x2 y2 ? ? 1. 4m2 3m2

? m ), 则 点 M ( 0 ,k m ). 当 MQ ? 2QF 时 , 由 于 ( 2 ) 设 Q( xQ ,yQ ), 直 线 l : y ? k( x F (? m, 0 ) , M ( 0k,m ).
由 定 比 分 点 坐 标 公 式 , 得

4m2 k 2m 2 0 ? 2m 2 km ? 0 1 xQ ? ? ? m , yQ ? ? km . 又点 Q 在椭圆上,所以 9 2 ? 9 2 ? 1 , 1? 2 3 1? 2 3 4m 3m km 0 ? (?2) ? (? m) ? ? km . ? ?2m , yQ ? 解得 k ? ?2 6 . 当 MQ ? ?2QF 时 , xQ ? 1? 2 1? 2
4m 2 k 2 m 2 ? ? 1 ,解得 k ? 0 .故直线 l 的斜率为 0 或 ?2 6 . 于是 4m 2 3m 2
20.假设存在这样的直线,则直线的斜率一定存在,设为 k ,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 在抛物线上,
2 ? ( y ? y2 ) ? y1 ? 8 x1 ?8, 所以 ? 2 , 两式作差得 , ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 8( x1 ? x2 ) , 即 ( y1 ? y2 ) 1 x1 ? x2 ? ? y 2 ? 8 x2

解得 k ? 4 ,故直线方程为 y ? 1 ? 4( x ? 1) ,即 y ? 4 x ? 3 .经验证,直线符合条件.
-7-

2 2 21. (1)由 | a | ? | b |? 8 ,得 x ? ( y ? 2) ?

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 ? 4 ,设 F1 (0, ?2), F2 (0, 2) 则

动 点 M 满 足 |MF | 1 |? | M F 2 ?

8 ? 4 ? 1 F | F |以 点 M 在 椭 圆 上 , 且 椭 圆 的 2, 所

y 2 x2 a ? 4, c ? 2, b ? 2 3 .所以轨迹 C 的方程为 ? ? 1 . 16 12

? y ? kx ? 3 ? ( 2 ) 设 直 线 的 斜 率 为 k , 则 直 线 方 程 为 y ? kx? 3 , 联 立 方 程 组 ? y 2 x 2 消去 y ?1 ? ? ? 16 12
得 : (4 ? 3k 2 ) x2 ? 18kx ? 21 ? 0 , ? ? (18k )2 ? 84(4 ? 3k 2 ) ? 0 恒 成 立 , 设

18k 21 , x1 x2 ? . 由 AP ? OB , 所以四边 2 4 ? 3k 4 ? 3k 2 形 OAPB 为平行四边形 . 若存在直线 l , 使四边形 OAPB 为矩形 , 则 OA ? OB , 即

A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? (1? k 2 ) x1x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 9 ? 0 , 解得 k ? ?
线 l 的方程为 y ? ?

5 , 所以直 4

5 x ? 3 ,此时四边形 OAPB 为矩形. 4

-8-


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