2013届复旦大学附中高三数学一轮复习单元训练:圆锥曲线与方程


复旦大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:圆锥曲线与方程 第Ⅰ卷(选择题 是符合题目要求的) 1.若方程 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数 k 的取值范围是( k ?2 5?k
B. k>5 C. k<2 或 k>5

) D. 以上答案均不对

A. 2<k<5 【答案】C

1 2. 若圆 x ? y ? 4 上每个点的横坐标不变, 纵坐标缩短为原来的 3 , 则所得曲线的方程是(
2 2

)

x

2

?

y

2

?1

x

2

?

y

2

?1

x

2

?

9y 4

2

?1

x

2

?

y

2

?1

A. 4 【答案】C

12

B. 4

36

C. 4

D. 36

4

3.已知抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点 M (1, m)(m ? 0) 到其焦点的距离为 5,双曲线
)

x2 ? y 2 ? 1 的左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a 的值是( a
A.

1 9

B.

1 25

C.

1 5

D.

1 3

【答案】A 4.在椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中,F,A,B 分别为其左焦点,右顶点,上顶点,O 为坐标原点, a2 b2 M 为线段 OB 的中点,若? FMA 为直角三角形,则该椭圆的离心率为( )
A. 5 ? 2 B.

5 ?1 2
2

C.

2 5 5

D.

5 5

【答案】A

x y y2 x2 ? 2 =1 有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程 5.已知椭圆 ? 2 ? 1 和双曲线 2 2 3m 5n 2m 3n
是( )

2

A.x=± 【答案】D 6.椭圆

15 y 2

B.y=±

15 x 2

C.x=±

3 y 4

D.y=±

3 x 4

x? ? y ? ? ? 的离心率是( ?

)

A. 【答案】A

? ?

B.

? ?

C.

? ?

D.

? ?

7.已知直线 mx ? y ? 1 ? 0 交抛物线 A 为直角三角形 C 为钝角三角形 【答案】A 8.设双曲线 M

y ? x 2 于 A 、 B 两点,则△ AOB (
B 为锐角三角形 D 前三种形状都有可能

)

:

x2 ? y 2 ? 1, 点C (0,1), 若直线x ? y ? 1 ? 0 交双曲线的两渐近线于点 A、B,且 a2
)

??? ? ???? BC ? 2 AC ,则双曲线的离心率为(
A.

5 2

B.

10 3

C.

5

D.

10

【答案】B 9. 双曲线

x2 y 2 两曲线的一个公共点为 P, ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点是抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点, a 2 b2
)

且|PF|=5,则该双曲线的离心率为(

5 A. 2
【答案】C

B.

5
2

C. 2

2 3 3 D.

10. 已知直线 y=kx-2(k>0)与抛物线 C: =8y 相交于 A, 两点, 为 C 的焦点, x B F 若|FA|=4|FB|, 则 k=( A.3 【答案】B 11.若直线 l 过点 (3, 0) 与双曲线 4 x A.1 条 【答案】C 12.若点 A 的坐标为 (3, 2) , F 是抛物线 y
2
2

) B. 5 4 C. 3 4 D. 3 2 2

? 9 y 2 ? 36 只有一个公共点,则这样的直线有(
C.3 条 D.4 条

)

B.2 条

? 2 x 的焦点,点 M 在抛物线上移动时,使
)

MF ? MA 取得最小值的 M 的坐标为(
A.

?0,0?

B. ?

?1 ? ,1? ?2 ?

C. 1, 2

?

?

D.

?2,2?

【答案】D 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,直线 CD 过焦点 F1,则?F2CD 的周长为_______ 25 16

【答案】20 14. 已知 A 、B 是椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的公共顶点。 a2 b a b

,且满足 P 是双曲线上的动点, M 是椭圆上的动点( P 、 M 都异于 A 、 B ) ??? ??? ? ? ???? ???? ? ? 其中 ? ? R , 设直线 AP 、BP 、AM 、BM 的斜率分别记为 k1 、 AP ? BP ? ? ( AM ? BM ) ,

k2 、 k3 、 k4 , k1 ? k2 ? 5 ,则 k3 ? k4 ? ________ .

【答案】-5 15.若点 P 在曲线 C1: y 的最大值是 【答案】
2

? 8 x 上,点 Q 在曲线 C2:(x-2)2+y2=1 上,点 O 为坐标原点,则

| PO | | PQ |



4 7 7

16.已知点 P 是抛物线

y 2 ? 2 x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线
.

准线的距离之和的最小值为 【答案】

17 2
x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆与 x 轴交于两点 A(a, 0) 、 2 a b 2

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.过点 C(0,1)的椭圆

A(?a, 0) ,过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D,并与 x 轴交于点 P,直线 AC 与直线 BD 交于 点 Q.

(I)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长; (Ⅱ)当点 P 异于点 B 时,求证: OP ? OQ 为定值.

??? ???? ?

x2 c 3 ,解得 a ? 2 ,所以椭圆方程为 ? y2 ? 1 . ? 4 a 2 3 椭圆的右焦点为 ( 3, 0) ,此时直线 l 的方程为 y ? ? x ? 1 ,代入椭圆方程得 3
【答案】 (Ⅰ)由已知得 b ? 1,

7 x 2 ? 8 3x ? 0 ,解得 x1 ? 0, x2 ?
故 | CD |? (

8 3 8 3 1 1 ,代入直线 l 的方程得 y1 ? 1, y2 ? ? ,所以 D( ,? ) , 7 7 7 7

8 3 1 16 . ? 0) 2 ? (? ? 1) 2 ? 7 7 7

(Ⅱ)当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符. 1 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1(k ? 0且k ? ) .代入椭圆方程得 (4k 2 ? 1) x 2 ? 8kx ? 0 . 2 1 ? 4k 2 ?8k 解得 x1 ? 0, x2 ? 2 ,代入直线 l 的方程得 y1 ? 1, y2 ? 2 , 4k ? 1 4k ? 1

?8k 1 ? 4k 2 , ). 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1 ? x ? ?4k , x 1 ? 2k 又直线 AC 的方程为 ? y ? 1 ,又直线 BD 的方程为 y ? ( x ? 2) ,联立得 ? 2 2 ? 4k ? y ? 2k ? 1.
所以 D 点的坐标为 (

1 因此 Q(?4k , 2k ? 1) ,又 P (? , 0) . k ??? ???? ? 1 所以 OP ? OQ ? (? , 0)(?4k , 2k ? 1) ? 4 . k
故 OP ? OQ 为定值. 18.已知双曲线 C: 曲线 C 的方程; 【答案】

??? ???? ?

x2 y 2 2 3 ,且过点 P( 6 ,1)求出此双 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 a b 3

x2 ? y2 ? 1 3

19.已知椭圆的中心在原点,焦点为 F1 ( , 2 2 ,F2(0, 2 0 ? ) (I)求椭圆的方程;

2) ,且离心率 e ?

2 2 。 3
1 , 2

(II)直线 l(与坐标轴不平行)与椭圆交于不同的两点 A、B,且线段 AB 中点的横坐标为 ? 求直线 l 的斜率的取值范围。

y2 x2 c 2 2 【答案】 (I)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1,由已知c ? 2 2 ,又 ? a 3 a b
解得 a=3,所以 b=1,故所求方程为

y2 ? x2 ? 1 9

解得

k ? 3或k ? ? 3

又直线 l 与坐标轴不平行

故直线 l 斜率的取值范围是{k∣ k ?

3或k ? ? 3 }

x2 20.在平面直角坐标系 xoy 中,经过点 0, 2 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 ? y 2 ? 1 有两个不 2
同的交点 P和Q . (1)求实数 k 的取值范围; (2)设椭圆与 x 轴正半轴, y 轴正半轴的交点分别为 A, B ,是否存在常数 k ,使得向量

?

?

??? ???? ??? ? ? OP ? OQ与 AB 共线?如果存在,求 k 的值;如果不存在,请说明理由.

【答案】

(2)设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ), 则 OP ? OQ ? ( x1 ? x2 , y1 ? 由方程①,知 x1 ? x2 ? ?

??? ???? ?

y2 ),

4 2k ,② 1 ? 2k 2 2 2 ,③ 1 ? 2k 2

又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2 ?

由 A( 2, 0), B (0,1), 得 AB ? ( ? 2,1) . ∴ OP ? OQ与 AB 共线等价于 x1 ? x2

??? ?

??? ???? ??? ? ?

? ? 2( y1 ? y2 ), 将②③代入,解得 k ?

2 . 2

由①知 k ? ?

2 2 或k> , 故不存在符合题意的常数 k . 2 2

21.若直线 l: x ? my ? c ? 0 与抛物线 (1)当 m=-1,c=-2 时,求证:OA⊥OB;

y 2 ? 2 x 交于 A、B 两点,O 点是坐标原点。

(2)若 OA⊥OB,求证:直线 l 恒过定点;并求出这个定点坐标。 (3)当 OA⊥OB 时,试问△OAB 的外接圆与抛物线的准线位置关系如何?证明你的结论。 【答案】设 A(x1,y1)、B(x2,y2),由 ? 可知 y1+y2=-2m (1) (2) y1y2=2c

? x ? my ? c ? 0 2 得 y ? 2my ? 2c ? 0 2 ? y ? 2x
2

∴x1+x2=2m —2c
2

x1x2= c ,

2

当 m=-1,c=-2 时,x1x2 +y1y2=0 所以 OA⊥OB. 当 OA⊥OB 时,x1x2 +y1y2=0 于是 c +2c=0 ∴c=-2(c=0 不合题意),此时,直线 l:

x ? my ? 2 ? 0 过定点(2,0).
(3) 由题意 AB 的中点 D(就是△OAB 外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径。

D(m 2 ? c,?m) 而(m2—c+

1 2 1 2 2 2 ) -[(m —c) +m ]= ? c 由(2)知 c=-2 2 4

∴圆心到准线的距离大于半径,故△OAB 的外接圆与抛物线的准线相离。 22.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线的顶点在原点,焦点为 F(1,0) .过抛物线在 x 轴 上方的不同两点 A 、 B 作抛物线的切线 AC 、 BD ,与 x 轴分别交于 C 、 D 两点,且 AC 与 BD 交于点 M ,直线 AD 与直线 BC 交于点 N .

(1)求抛物线的标准方程; (2)求证: MN ? x 轴; (3)若直线 MN 与 x 轴的交点恰为 F(1,0) ,求证:直线 AB 过定点. 【答案】 (1)设抛物线的标准方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,

p ? 1 ,即 p ? 2 . 2 所以抛物线的标准方程为 y 2 ? 4 x .
由题意,得

(2)设 A( x1,1 ) , B( x2, 2 ) ,且 y1 ? 0 , y2 ? 0 . y y 由 y2 ? 4x ( y ? 0 ) ,得 y ? 2 x ,所以 y ? ? 1 . x 所以切线 AC 的方程为 y ? y1 ? 1 ( x ? x1 ) ,即 y ? y1 ? 2 ( x ? x1 ) .

x1

y1

整理,得 yy1 ? 2( x ? x1 ) , 且 C 点坐标为 (? x1, . 0) 同理得切线 BD 的方程为 yy2 ? 2( x ? x2 ) ,② 且 D 点坐标为 (? x2, . 0) 由①②消去 y ,得 xM ?



x1 y2 ? x2 y1 . y1 ? y2 y1 又直线 AD 的方程为 y ? ( x ? x2 ) ,③ x1 ? x2 y2 ( x ? x1 ) . ④ 直线 BC 的方程为 y ? x1 ? x2 x y ? x2 y1 由③④消去 y ,得 xN ? 1 2 . y1 ? y2


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