理科解析几何求最值问题一1


理科解析几何求最值问题(一)1 1. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点 F (0, 2) ,且长轴长与短轴长的比是 2 :1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若椭圆 C 在第一象限的一点 P 的横坐标为 1 ,过点 P 作倾斜角互补的两条不同的直线 PA , PB 分别交椭 圆 C 于另外两点 A , B ,求证:直线 AB 的斜率为定值; (Ⅲ)求 ?PAB 面积的最大值. 2.(本小题共 14 分) 已知椭圆的中心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,短轴长为 2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形 的顶点.过右焦点 F 与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆于 P , Q 两点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)当直线 l 的斜率为 1 时,求 ?POQ 的面积; (Ⅲ)在线段 OF 上是否存在点 M (m, 0) ,使得以 MP, MQ 为邻边的平行四边形是菱形? 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. y P F O M Q x 3.(本小题共 14 分) 2 2 已知直线 l : y ? kx ? 1 与圆 C: ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 相交于 A, B 两点. (Ⅰ)求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)若 O 为坐标原点, S (k ) 表示 ?OAB 的面积, f (k ) ? [ S (k )] ? 2 3 ,求 f ( k ) 的最大值. k ?1 2 4.(本小题共 14 分) 已知抛物线 y 2 ? 4 x ,点 M (1, 0) 关于 y 轴的对称点为 N ,直线 l 过点 M 交抛物线于 A, B 两点. (Ⅰ)证明:直线 NA, NB 的斜率互为相反数; (Ⅱ)求 ?ANB 面积的最小值; (Ⅲ)当点 M 的坐标为 (m, 0)(m ? 0 ,且 m ? 1) .根据(Ⅰ) (Ⅱ)推测并回答下列问题(不必说明理由) : ① 直线 NA, NB 的斜率是否互为相反数? ② ?ANB 面积的最小值是多少? 5. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C : 1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线 2 2 a b x ? y ? 6 ? 0 相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P(4,0) , A , B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点,连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E ,证明 直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M , N 两点,求 OM ? ON 的取值范围. 6. (本题满分 14 分) x2 y2 6 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,长轴长为 2 3 ,直线 l : y ? kx ? m 交椭圆于不同的两 3 a b 点 A、B。 (1)求椭圆的方程; (2)求 m ? 1, 且OA? OB ? 0, 求k 的值 (O 点为坐 标原点) ; (3)若坐标原点 O 到直线 l 的距离为 3 ,求 ?AOB 面积的最大值。 2 答案: 1. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a 2 b2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ? 由题意 ? a : b ? 2 :1, ? ? ?c ? 2. 2 2 ……………………………………

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