安徽师大附中、安庆一中2013届高三1月联考文科数学试卷


安徽师大附中、安庆一中 2013 届高三 1 月联考 数 学 试 题(文史类)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的)
2 1.设全集 U 是实数集 R , M ? ? x | x ? 1? , N ? ? x | 0 ? x ? 2 ? ,则集合 N ∩? U M 等于

( A. ? x | ? 2 ? x ? 1? 2.已知条件 p : k ? (

) C. ? x | ? 1 ? x ? 1?
2

B. ? x | 0 ? x ? 1?

D. ? x | x ? 1?

3 ;条件 q :直线 y ? kx ? 2 与圆 x

? y

2

? 1 相切,则 p 是 q 的

) A.充分必要条件 C.充分不必要条件
x
2

B.既不充分也不必要条件 D.必要不充分条件

3.如果双曲线 (

?

y

2

? 1 上一点 P 到它的右焦点距离是 8,那么点 P 到它的左焦点的距离是

4

12

) A.4 4.给出下列命题:
2

B.12

C.4 或 12

D.不确定

① ? x ? R ,不等式 x ? 2 x ? 4 x ? 3 成立;②若 lo g 2 ? lo g x ? 2 ,则 x >1;
x 2

③命题“ 若 a ? b ? 0 且 c ? 0 , 则
2

c a

?

c

b ”

的逆否命题;
2

④若命题 p: ? x ? R , x ? 1 ? 1 ,命题 q: ? x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 .则命题 p ? ? q 是真命题.其中 真命题只有 A.①②③ ( B.①②④ C.①③④ D.②③④ ) )

5.函数 y ? f ( x ) 的图象如图 1 所示,则 y ? f ? ( x ) 的图象可能是(

6.已知等比数列 ? a n ? 中有 a 3 a 1 1 ? 4 a 7 ,数列 ? b n ? 是等差数列,且 a 7 ? b 7 ,则 b 5 ? b 9 ? ( ) A.2 B.4 C.8
第 1 页 共 11 页

D.16

7.函数 y ? a

x?3

? 2 ( a ? 0 , 且 a ? 1) 的图象恒过定点 A,且点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上
1 m ? 3 n

( m ? 0 , n ? 0 ) ,则

的最小值为( C.8

) D.14
?
2 , x ? R) 的

A.12

B.10

8.函数 y ? A s in( ? x ? ? ) ? B ( A ? 0 , ? ? 0 , | ? |? 部分图象如图 2 所示,则函数表达式为: A. y ? 2 sin( C. y ? 2 sin(
?
3 x?
x?


?
6 x?
x?



?
6

)?1
) ?1

B. y ? 2 sin( D. y ? 2 sin(

?
3

)?1
)?1

?
3

?
6

?
6

?
3

图2 9.已知 O 是 ? ABC 内部一点, OA ? OB ? OC ? 0 , AB ? AC ? 2 , 且 ? BAC ? 60 , 则
? OBC 的面积为(
?

) B.
2

A.

3 3

1 2

C.

3 2

D.

2 3

10.已知曲线 C : y ? 2 x ,点 A(0,-2)及点 B(3,a) ,从点 A 观察点 B,要使视线不被 C 挡住,则实数 a 的取值范围是( ). A. (4,+∞) B. (-∞,4) C. (10,+∞) D. (-∞,10) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卷的相应位置)
? 11.若向量 a , b 的夹角为 120 , a ? 1, b ? 3 ,则 5 a ? b ?

? ?

?

?

?

?

12.已知函数

? x 2 ? 2 ax , x ? 2 ? f (x) ? ? x ? 2 ? 1, x ? 2 ?

,若

f ( f (1)) ? 3 a

2

,则 a 的取值范围是



13.已知函数 f ( x ) 的定义域为 A ,若其值域也为 A ,则称区间 A 为 f ( x ) 的保值区间.若
g ( x ) ? x ? m ? ln x 的保值区间是 [ e , ? ? ) ,则 m 的值为



? x ? y ? 2 ? 0, 2y ?1 ? 14.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 , 则 z ? 的取值范围是 x ?1 ?2 x ? y ? 5 ? 0. ?



15.若定义域为 R 的奇函数 f ( x ) 满 足 f (1 ? x ) ? ? f ( x ) ,则下列结论: ① f ( x ) 的图象关于点 ( , 0 ) 对称;② f ( x ) 的图象关于直线 x ?
2 1 1 2

对称;

③ f ( x ) 是周期函数,且 2 个它的一个周期;④ f ( x ) 在区间(—1,1)上是单调函数,其中正 确结论的序号是 。 (填上你认为所有正确结论的序号)

第 2 页 共 11 页

安徽师大附中、安庆一中 2013 届高三联考 数学(文史类)答题卷
―――――――――――装―――――――――――订―――――――――――线―――――――――――
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题(共有 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.___________ 12.___________ 13.____________14.__________ 15.____________

三、解答题: (本大题共 6 题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 c o s 2 C ? ? (1)求 sinC 的值; (2)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长.
1 4

姓名

.

座位号

班级

2 n ?1 17. (本小题满分 12 分)设数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 3 a 2 ? 3 a 3 ? … ? 3 a n ?

n 3

,a ? N .
*

考场号

(1)求数列 ? a n ? 的通项; (2)设 b n ?

n an

,求数列 ? b n ? 的前 n 项和 S n .

第 3 页 共 11 页

18. (本小题满分 13 分) 已 知 函 数
f

?x? ?

x

2

ax ? b

( a , b为 常 数 )且 方 程 f

?x? ?

x ? 12 ? 0

有 两 个 实 根 为

x1 ? 3, x 2 ? 4 .
x ? ( k ? 1) x ? k
2

(1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)解关于 x 的不等式 f ( x ) ?

2? x

( k ? ? 1) .

19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
3 s in 2 x ? c o s 2 x ? 1 2 cos x .

(1)求 f ( x ) 的定义域和值域; (2) 若曲线 f ( x ) 在点 P ( x 0 , f ( x 0 )) ( ? 处的切线方程.
?
2 ? x0 ?

?
2

) 处的切线平行直线 y ?

3x , 求在点 P

第 4 页 共 11 页

20. (本小题满分 13 分)设椭圆 C :

x a

2 2

?

y

2

?1 a ?

2

?

2 的左、右焦点分别为 F1、F2,过椭圆
1 3

?

C 上的一点 A 作 A F 2 ? F1 F 2 ,又坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 (1)求椭圆 C 的方程;

O F1 。

(2)设 Q 是椭圆 C 上的一点,过 Q 的直线 l 交 x 轴于点 P ? ? 1, 0 ? ,交 y 轴于点 M,若
???? ? ??? ? M Q ? 2 Q P ,求直线 l 的方程。

第 5 页 共 11 页

21. (本小题满分 13 分)设函数 f ( x ) ? a ln x ? bx ( x ? 0 )
2

(1)若函数 f ( x ) 在 x=1 处与直线 y ? ?

1 2

相切.
?1 ? ? ?

①求实数 a,b 的值;

[来源:学。科

②求函数 f(x ) 在 ? , e ? 上的最大值. e
? ? 3? ?

2 (2)当 b=0 时,若不等式 f ( x ) ? m ? x 对所有的 a ? ? 0 , ? , x ? ? 1, e ? 都成立,求实数 m 的 ? 2

取值范围.

第 6 页 共 11 页

安徽师大附中、安庆一中 2013 届高三联考 数学试卷(文史类)参考答案
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分)
题 号 答 案 B C C A D C A A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 D 1

二、填空题(共有 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)
11.7 12. ? ? 1, 3 ? 13. ? 1 14. ? , ? ?4 2?
?3 7?

15. ②③

三、解答题: (本大题共 6 题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. )
16.(1)解:因为 cos 2 C ? 1 ? 2 sin
2

C ? ?

1 4

, 及 0 ? C ? ? ,所以 sin C ?

10 4

.?(5 分)

(2)解:当 a ? 2 , 2 sin A ? sin C 时,由正弦定理
1 4
2 2 2 由余弦定理 c ? a ? b ? 2 ab cos C ,得 b ?

a sin A

?

c sin C
6 4

,得 c ? 4

由 cos 2 C ? 2 cos

2

C ?1 ? ?

, 及 0 ? C ? ? 得 cos C ? ?

2

6 b ? 12 ? 0 ,解得

b ?

?b ? 6 ?b ? 2 6 6 或 2 6 ,所以 ? 或? .?????????????(12 分) ?c ? 4 ?c ? 4
n 3 n ?1 3 ( n ? 2 ), ,

2 n ?1 17.解:(1) a 1 ? 3 a 2 ? 3 a 3 ? ...3 a n ?

a 1 ? 3 a 2 ? 3 a 3 ? ...3
2

n?2

a n ?1 ?

3

n ?1

an ? 1 3
n

n 3

?

n ?1 3

?

1 3

(n ? 2) , 1 3
n

an ?

( n ? 2 ) .验证 n ? 1 时也满足上式, a n ?

(n ? N )
*

????(5 分)

n 2 3 n (2) b n ? n ? 3 , S n ? 1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ...n ? 3 ,

第 7 页 共 11 页

3S n ?

1 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ... ? n ? 3
2 3 4

n ?1

, ,
n 2 1 4 3 4

2 3 n n ?1 则 ?2Sn ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? n ? 3

?2Sn ?

3?3

n ?1

1? 3

? n ?3

n ?1

,所以 S n ?

?3

n ?1

?

?3

n ?1

?

.?????(12 分)

18.解: (1)依题意 ?

? f (3) ? 9 ? 0

?3a ? b ? ? 1 ?a ? ?1 ,? ? ,解得 ? ? f (4) ? 8 ? 0 ?4a ? b ? ?2 ?b ? 2

? f (x) ?

x

2

? x? 2

( x ? 2 ) ???????????(4 分)

f (x) ?

x

2

? ( k ? 1) x ? k 2? x

?

x

2

(2)
?

2? x

?

x

2

? ( k ? 1) x ? k 2? x

? 0

( k ? 1) x ? k x?2

?x ? 2 ? 0, ? ? ?( k ? 1) x ? k ?( x ? 2 ) ? 0

????5 分

? k ? ?1 ? 不等式 ?x ? 2 ?????7 分 ? ? ? k )( x ? 2 ) ? 0 ?( x ? k ?1 ?
? (k ? 2) k ?1
(k ? 2) k ?1 ? 0



k k ?1

?2 ?

1) 当 k ? ? 2 时, ?



k k ?1

? 2

∴x ? 2 或x ?

k k ?1

;??????9 分

?( x ? 2)2 ? 0 2) 当 k ? ? 2 时, ? ?x ? 2

∴ x ? 2 ?????????11 分
k k ?1
? ?

3) 当 ? 2 ? k ? ? 1 时,

? (k ? 2) k ?1

? 0



? 2

∴x ?
k

k k ?1

或 x ? 2 ?????13 分

综上所述:当 k ? ? 2 时,不等式解集为 ? x x ? 2 或 x ? 当 k ? ? 2 时,不等式的解集为 ? x x ? 2 ? 当 ? 2 ? k ? ? 1 时,不等式的解集为 ? x x ?
? ?

? ? k ? 1?



? 或 x ? 2? k ?1 ? k

第 8 页 共 11 页

19.解: (1) f ( x ) ?
?

2 3 s in x c o s x ? 2 c o s x ? 1 ? 1
2

2 cos x
3 s in x ? c o s x ? 2 s in ( x ?

?
6

)

由 2 c o s x ? 0, 得 x ? k ? ?

?
2

( k ? Z ),

? ? ? ? f ( x )的 定 义 域 为 ? x | x ? R , 且 x ? k ? ? , k ? Z ? 2 ? ?
x?

?
6

? k? ?

2? 3

( k ? Z )时 , ? 2 ? y ? 2

? f ( x )的 值 域 为 ? - 2 , 2 ? . ?????????????????(6 分)

(2) f ( x ) ?
/

3 co s x ? sin x

由题意得
f ( x0 ) ?
/

3 c o s x 0 ? sin x 0

? 2 c o s( x 0 ? ? 3

?
6

)

∴ co s( x0 ? 又∵ ?
?
3

?
6

)?

3 2

? x0 ?

?
6

?

2? 3

,∴ x 0 ?
, ? 1) ,

?
6

?

?
6

或 ?

?
6

,? x 0 ? 0 或 ?

?
3

切点为 P ( 0 ,1) 或 P ( ?

?
3

切线方程为: y ?

3x ? 1和 y ?

3x ?

3? 3

? 1 . ??????????(12 分)

20.解: (1)由题设知 F1 ( ? a ? 2 , 0 ), F 2 ( a ? 2 , 0 ) ,由于 AF 2 ? F1 F 2 ,所以点 A 的
2 2

( 坐标为 a ? 2 , ?
2

2 a

) ,故 AF 1 所在的直线方程为 y ? ? (

x a a
2

? ?2

1 a

) ,所以坐

标 原 点 O 到 AF 1 的 距 离 为

a a

2

?2 ?1

2

(a ?

2 ) , 又 OF 1 ?

a

2

? 2, 所 以

第 9 页 共 11 页

a a

2 2

? 2 ?1

?

1 3
x
2

a

2

? 2 ,解得 a ? 2 ( a ?

2) .

所求椭圆方程为

?

y

2

? 1 .??????????????(6 分)

4

2

(2)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,则有 M ( 0 , k ) 设 Q ( x 1 , y 1) , 由 于 MQ ? 2 QP , ∴ ( x 1 , y 1 ? k ) ? 2 ( ? 1 ? x 1 , ? y 1 ) , 解 得
(? 2 3 4 )
2

x1 ? ?
l

2 3

, y1 ?

k 3

( ?

k 3

)

2

,又 Q 在椭圆上,得

? 1 ,解得, k ? ? 4 ,故直线

3

的 方 程 为 : y ? 4 ( x ? 1) 或 y ? ? 4 ( x ? 1) , 即 4 x ? y ? 4 ? 0 或

4 x ? y ? 4 ? 0 .????????????????????(13 分)

21. 解: (1)① f '( x ) ?

a x

? 2bx , 1 2

? 函数 f ( x ) 在 x ? 1 处与直线 y ? ?

相切,

? f '(1) ? a ? 2 b ? 0 , ? a ? 1, ? ? ?? 解得 ? 1 1 ? f (1) ? ? b ? ? , ?b ? . ? 2 ? 2
1 2 1 x
1 e

网 Z。X。X。K]

② f ( x ) ? ln x ?
1 e

x , f '( x ) ?
2

? x ?

1? x x

2
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]



? x ? e 时,令 f '( x ) ? 0 得

? x ? 1;

令 f '( x ) ? 0 ,得 1 ? x ? e; ? f ( x ) 在 ? ,1 ? 上单调递增,在[1,e]上单调递减, e
? ?
? f ( x ) m a x ? f (1) ? ? 1 2

?1

?

????????????(6 分)

(2)当 b=0 时, f ( x ) ? a ln x
2 若不等式 f ( x ) ? m ? x 对所有的 a ? ? 0 , ? , x ? ? 1, e ? 都成立, ? 2

? ?

3? ?

第 10 页 共 11 页

2 则 a ln x ? m ? x 对所有的 a ? ? 0 , ? , x ? ? 1, e ? 都成立, ? 2

? ?

3? ?

2 即 m ? a ln x ? x , 对所有的 a ? ? 0 , ? , x ? ? 1, e ? 都成立, ? 2

? ?

3? ?

令 h ( a ) ? a ln x ? x , 则 h ( a ) 为一次函数, m ? h ( a ) m in
? 3? 2 ? x ? ? 1, e ? ,? ln x ? 0 , ? h ( a ) 在 a ? 0 , 上单调递增 ? ? 2? ? ?

? h ( a ) m in ? h (0 ) ? ? x ,? m ? ? x 对所有的 x ? ? 1, e ? 都成立 ?
2

? 1 ? x ? e ,? ? e ? ? x ? ? 1, ? m ? ( ? x ) m in ? ? e .
2 2

2

??????(13 分)

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