2016年空间向量与立体几何单元练习题


《空间向量与立体几何》习题
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.如图,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点.若 A1 B1 =a,

A1 D1 =b, A1 A =c,则下列向量中与 B1 M 相等的向量是
A.-

1 1 a+ b+c 2 2 1 b+c 2

B.

1 1 a+ b+c 2 2 1 1 a- b+c 2 2

C. a-

1 2

D.-

2.下列等式中,使点 M 与点 A、B、C 一定共面的是 1 1 1 A. OM ? 3OA ? 2OB ? OC B. OM ? OA ? OB ? OC 2 3 5 C. OM ? OA ? OB ? OC ? 0 D. MA ? MB ? MC ? 0

3.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 1,点 E、F 分别是 AB、 AD 的中点,则 EF ? DC 等于 A.
1 4

B. ?

1 4

C.

3 4

D. ?

3 4

4.若 a ? (1, ?,2) , b ? (2,?1,1) , a 与 b 的夹角为 600 ,则 ? 的值为 A.17 或-1 B.-17 或 1 C.-1 D.1

5.设 OA ? (1,1,?2) , OB ? (3,2,8) , OC ? (0,1,0) ,则线段 AB 的中点 P 到点 C 的距 离为 A.
13 2

B.

53 2

C.

53 4

D.

53 4

6.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是

①正方体

②圆锥

③三棱台

④正四棱锥

A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 7.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是
1

A. 9 π B. 10π C. 11π D. 12π

2 3 2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

8.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误 的是 .. A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60° 9.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 A.
6 3

B.

2 5 5

C.

15 5

D.

10 5

10.⊿ABC 的三个顶点分别是 A(1,?1,2) ,B(5,?6,2) ,C (1,3,?1) ,则 AC 边上的高 BD 长为 A.5 B. 41 C.4 D. 2 5

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.设 a ? ( x,4,3) , b ? (3,?2, y ) ,且 a // b ,则 xy ? .

12.已知向量 a ? (0,?1,1) , b ? (4,1,0) , ?a ? b ? 29 且 ? ? 0 ,则 ? =________. 13.在直角坐标系 xOy 中,设 A(-2,3) ,B(3,-2) ,沿 x 轴把直角坐标平面折 成大小为 ? 的二面角后,这时 AB ? 2 11 ,则 ? 的大小为 14.如图,P—ABCD 是正四棱锥, .

ABCD ? A1B1C1D1 是正方体,其中

AB ? 2, PA ? 6 ,则 B1 到平面 PAD
的距离为 .

三、解答题(共 80 分)
2

15.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正 方形,侧棱 PA 的长为 2,且 PA 与 AB、AD 的夹角都等于 600, M 是 PC 的中点, 设 AB ? a, AD ? b, AP ? c . (1)试用 a, b, c 表示出向量 BM ; (2)求 BM 的长.
D A B C P

M

16.(本小题满分 14 分)如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得 多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm).(1)在正视 图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求 该多面体的体积; (3)在所给直观图中连结 BC ' ,证明: BC ' ∥面 EFG..
D' G F B' C'

E D A
6 2

C B
2

2 4

4

正视图

侧视图

CB ? CD,AD ? BD , 17. (本小题满分 12 分) 如图, 在四面体 ABCD 中, 点 E,F AB , BD 分别是 的中点.求证: (1)直线 EF // 面 ACD ; (2)平面 EFC ? 面 BCD .

3

18. (本小题满分 14 分) 如图, 已知点 P 在正方体 ABCD ? A' B' C ' D' 的对角线 BD ' 上,∠PDA=60°. (1)求 DP 与 CC ' 所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA ' D ' D 所成角的大小.
D' A' B' C'

P

D A B

C

19.(本小题满分 14 分)已知一四棱锥 P-ABCD 的三视图如下,E 是侧棱 PC 上的动点. (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)是否不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE?证明你的结论; (3)若点 E 为 PC 的中点,求二面角 D-AE-B 的大小.
P

E

2
D C

2 1

A

B

1 正视图

1 侧视图

1 俯视图

20.(本小题满分 14 分)如图,已知四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 为菱形,
PA ? 平面 ABCD , ?ABC ? 60? , E,F 分别是 BC,PC 的中点.

(1)证明: AE ? PD ; (2)若 H 为 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 面角 E ? AF ? C 的余弦值.
P

6 ,求二 2

F A B
4

D E C

练习题参考答案
一、选择题

1 1 1 1 1. B1 M ? B1 B ? BM ? A1 A ? ( BA ? BC ) =c+ (-a+b)=- a+ b+c,故选 A. 2 2 2 2
2. 由于M、A、B、C四点共面 ? OM ? xOA ? yOB ? zOC( x, y, z ? R)且x ? y ? z ? 1
?选项( A)、 (B)、 (C)都不正确 . 由于MA ? MB ? MC ? 0 ? MA ? ?MB ? MC

所以存在 x ? ?1, y ? 1, 使MA ? xMB ? yMC ? MA, MB, MC共面

故选 D. 由于M为公共点? M、A、B、C四点共面, 3.∵ E, F分别是AB, AD的中点,? EF // BD 且EF ?
? EF ? DC ?

1 1 BD ,? EF ? BD , 2 2

1 1 1 1 BD ? DC ? BD ? DC cos ? BD , DC ?? ? 1 ? 1 ? cos 120 0 ? ? 2 2 2 4

故选 B. 4.B 5.B

6.D

7.D

8.D
AB ? AC AC

9.D 所以 BD ? ? 4,
AB ? AD ? 5 ,故选 A
2 2

10.由于 AD ? AB ? cos ? AB, AC ? ?

二、填空题 11.9 12.3 13.作 AC⊥x 轴于 C,BD⊥x 轴于 D,则 AB ? AC ? CD ? DB ∵ AC ? 3, CD ? 5, DB ? 2, AC ? CD ? 0, CD ? DB ? 0, AC ? DB ? AC ? DB cos(1800 ? ? ) ? ?6 cos?
? AB ? ( AC ? CD ? DB) 2 ? AC ? CD ? DB ? 2( AC ? CD ? CD ? DB ? DB ? AC) 1 ? (2 11) 2 ? 3 2 ? 5 2 ? 2 2 ? 2(0 ? 0 ? 6 cos? ),? cos? ? ? .由于 0 0 ? ? ? 1800 ,?? ? 1200 2
14.以 A1 B1 为 x 轴, A1 D1 为 y 轴, A1 A 为 z 轴建立空间直角坐标系
2 2 2 2

?? 设平面 PAD 的法向量是 m ? ( x, y, z) ,
??? ? ??? ? ?? ? AD ? (0, 2,0), AP ? (1,1, 2) ,∴ y ? 0, x ? y ? 2 z ? 0 ,取 z ? 1 得 m ? (?2,0,1) , ???? ?? B1 A ? m 6 ???? ? B1 A ? (?2,0,2) ,∴ B1 到平面 PAD 的距离 d ? ?? ? 5. 5 m

5

三、解答题 15.解: (1)∵ M 是 PC 的中点,∴ BM ?
1 1 1 1 ? [b ? (c ? a )] ? ? a ? b ? c 2 2 2 2
(2)由于AB ? AD ? 1, PA ? 2, ? a ? b ? 1, c ? 2

1 1 ( BC ? BP ) ? [ AD ? ( AP ? AB )] 2 2

由于AB ? AD, ?PAB ? ?PAD ? 600 , ? a ? b ? 0, a ? c ? b ? c ? 2 ?1? cos600 ? 1
由于 BM ?
? BM
2

1 (?a ? b ? c ), 2

?

1 1 1 3 (?a ? b ? c ) 2 ? [a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2(?a ? b ? a ? c ? b ? c )] ? [12 ? 12 ? 2 2 ? 2(0 ? 1 ? 1)] ? 4 4 4 2

? BM ?

6 6 . , ? BM的长为 2 2

16.解: (1)如图

284 1 ?1 ? (cm 2 ) . (2) 所求多面体体积 V ? V长方体 ? V正三棱锥 ? 4 ? 4 ? 6 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 3 3 ?2 ?
D? (3)证明:在长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, G F 连结 AD ? ,则 AD? ∥ BC ? . A? 因为 E,G 分别为 AA? , A?D ? 中点, 所以 AD? ∥ EG , E D 从而 EG ∥ BC ? .又 BC ? ? 平面 EFG , A 所以 BC ? ∥面 EFG . 17.证明: (1)∵E,F 分别是 AB,BD 的中点, ∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD, ∵AD ? 面 ACD,EF ? 面 ACD,∴直线 EF∥面 ACD; (2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD, ∵CB=CD,F 是BD的中点,∴CF⊥BD 又 EF∩CF=F, ∴BD⊥面 EFC, ∵BD ? 面 BCD,∴面 EFC ? 面 BCD .
6

C?
B?
C B

18.解:如图,以 D 为原点, DA 为单位长建立空间直角坐标系 D ? xyz .

??? ? ???? ? 则 DA ? (1 , 0, 0) , CC? ? (0, 01) , .连结 BD , B ?D ? .
在平面 BB?D?D 中,延长 DP 交 B ?D ? 于 H . ???? ? ??? ? ???? ? 设 DH ? (m,m, DA ?? 60? , 1)(m ? 0) ,由已知 ? DH,
??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? DH ? ,可得 2m ? 2m2 ?1 . 由 DA?DH ? DA DH cos ? DA,

解得 m ?

???? ? ? 2 2 ? 2 1? ,所以 DH ? ? ? 2 ,2 , ?. 2 ? ?
D? A?
D A x

z H P

2 2 ?0? ? 0 ? 1? 1 ???? ? ???? ? 2 2 2 (1)因为 cos ? DH, , ? CC ?? ? 2 1? 2

C?
B?
C B y

???? ? ???? ? 所以 ? DH, CC? ?? 45? ,即 DP 与 CC ? 所成的角为 45? .

???? (2)平面 AA?D ?D 的一个法向量是 DC ? (0, 1, 0) .
2 2 ?0? ? 1 ? 1? 0 ???? ? ???? 1 2 因为 cos ? DH, DC ?? 2 ? , 2 1? 2

???? ? ???? 所以 ? DH, DC ?? 60? ,可得 DP 与平面 AA?D ?D 所成的角为 30? .
19.解: (1)由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 1 2 的正方形,侧棱 PC⊥底面 ABCD,且 PC=2.∴ VP ? ABCD ? S? ABCD ? PC ? 3 3 (2)不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE 证明如下:连结 AC,∵ABCD 是正方形,∴BD⊥AC ∵PC⊥底面 ABCD 且 BD ? 平面 ABCD ∴BD⊥PC 又 AC ? PC ? C ∴BD⊥平面 PAC ∵不论点 E 在何位置,都有 AE ? 平面 PAC ∴不论点 E 在何位置,都有 BD⊥AE (3)解法 1:在平面 DAE 内过点 D 作 DG⊥AE 于 G,连结 BG ∵CD=CB,EC=EC,∴ Rt ?ECD ≌ Rt ?ECB ,∴ED=EB ∵AD=AB,∴△EDA≌△EBA,∴BG⊥EA ∴ ?DGB 为二面角 D-EA-B 的平面角 ∵BC⊥DE,AD∥BC,∴AD⊥DE

2 在 Rt△ADE 中 DG ? AD ? DE = =BG AE 3
2 2 2 在△DGB 中,由余弦定理得 cos?DGB ? DG ? BG ? BD ? ? 1

2 DG ? BG

2

7

∴ ?DGB =

2? 2? ,∴二面角 D-AE-B 的大小为 . 3 3
z

解法 2: 以点 C 为坐标原点, CD 所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示: 则 D(1,0,0), A(1,1,0), B(0,1,0), E(0,0,1) ,从而
P

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? DE ? (?1,0,1), DA ? (0,1,0), BA ? (1,0,0), BE ? (0, ?1,1)
设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为 ?? ? m ? (a, b, c), n ? (a ', b ', c ')
x D

E

C

A

由法向量的性质可得: ?a ? c ? 0, b ? 0 , a ' ? 0, ?b '? c ' ? 0

y

B

?? ? 令 c ? 1, c ' ? ?1,则 a ? 1, b ' ? ?1 ,∴ m ? (1,0,1), n ? (0, ?1, ?1)
?? ? m 设二面角 D-AE-B 的平面角为 ? ,则 cos? ? ??? ? n? ? ? 1 2 | m|?| n |

∴? ?

2? 2? ,∴二面角 D-AE-B 的大小为 . 3 3

20.(1)证明:由四边形 ABCD 为菱形, ?ABC ? 60? ,可得 △ ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE ? BC . 又 BC ∥ AD ,因此 AE ? AD . 因为 PA ? 平面 ABCD , AE ? 平面 ABCD ,所以 PA ? AE . 而 PA ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD 且 PA ? AD ? A , 所以 AE ? 平面 PAD .又 PD ? 平面 PAD , 所以 AE ? PD . (2)解:设 AB ? 2 , H 为 PD 上任意一点,连接 AH,EH . 由(1)知 AE ? 平面 PAD , 则 ?EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角. 在 Rt△EAH 中, AE ? 3 , 所以当 AH 最短时, ?EHA 最大, 即当 AH ? PD 时, ?EHA 最大. 此时 tan ?EHA ?
AE 3 6 ? ? , AH AH 2

因此 AH ? 2 .又 AD ? 2 ,所以 ?ADH ? 45? , 所以 PA ? 2 . 解法一:因为 PA ? 平面 ABCD , PA ? 平面 PAC , 所以平面 PAC ? 平面 ABCD .
8

过 E 作 EO ? AC 于 O ,则 EO ? 平面 PAC , 过 O 作 OS ? AF 于 S ,连接 ES ,则 ?ESO 为二面角 E ? AF ? C 的平面角, 在 Rt△ AOE 中, EO ? AE ? sin 30? ?
3 3 , AO ? AE ?cos 30? ? , 2 2

又 F 是 PC 的中点,在 Rt△ ASO 中, SO ? AO? sin 45? ?

3 2 , 4

3 2 3 9 30 SO 15 , 又 SE ? EO ? SO ? ,在 Rt△ESO 中, cos ?ESO ? ? ? ? 4 ? 4 8 4 SE 5 30 4
2 2

即所求二面角的余弦值为

15 . 5

解法二:由(1)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的 空间直角坐标系,又 E,F 分别为 BC,PC 的中点,所以

A(0, 0,, 0) B( 3, ?1 ,, 0) C( 31 , ,, 0) D(0, 2, 0) ,
? 3 1 ? P(0, 0,, 2) E ( 3, 0,, 0) F ? , 1? , ? 2 , 2 ? ? ? ??? ? ??? ? ? 3 1 ? 0,, 0) AF ? ? , 1? . 所以 AE ? ( 3, ? 2 , 2 ? ? ?
P

z

F A B D E x C y

设平面 AEF 的一法向量为 m ? ( x1,y1,z1 ) ,
??? ? ? 3x1 ? 0, ? m ? AE ? 0, ? ? 则 ? ??? 因此 ? 3 ? 1 x1 ? y1 ? z1 ? 0. ? ? ?m ?AF ? 0, ? 2 2
2, ? 1) , 取 z1 ? ?1,则 m ? (0,

因为 BD ? AC , BD ? PA , PA ? AC ? A ,所以 BD ? 平面 AFC ,
??? ? 故 BD 为平面 AFC 的一法向量.

??? ? ??? ? ??? ? m ?BD 2?3 15 BD ?? ? 又 BD ? (? 3, . 3, 0) ,所以 cos ? m, ??? ? ? 5 5 ? 12 m ?BD

因为二面角 E ? AF ? C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为

15 . 5

9


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