2013年北约自主招生数学试题word解析版2


2013 年北约自主招生数学试题与答案
1. 以 2 和 1 ? 3 2 为两根的有理系数多项式的次数最小是多少?

A. 2

B. 3

C. 5

D. 6

2 3 解析:显然,多项式 f ( x ) ? ( x ? 2) ? (1 ? x ) ? 2 ? 的系数均为有理数,且有两根分别为 2 和 1 ? 3 2 .于是 ? ?

知,以 2 和 1 ? 3 2 为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于 5. 若存在一个次数不超过 4 的有理系数多项式 g ( x ) ? ax ? bx ? cx ? dx ? e , 其两根分别为 2 和 1 ? 3 2 ,
4 3 2

其中 a , b, c, d , e 不全为 0,则:

g

? 2 ? ? (4a ? 2c ? e) ? (2b ? d )
? ?

? 4 a ? 2c ? e ? 0 2 ?0? ? ? 2b ? d ? 0

g 1 ? 3 2 ? ? (7 a ? b ? c ? d ? e ) ? (2 a ? 3b ? 2 c ? d ) 3 2 ? (6 a ? 3b ? c ) 3 4 ? 0

?7 a ? b ? c ? d ? e ? 0 ?? ? 2 a ? 3b ? 2 c ? d ? 0

(1) ? 4 a ? 2c ? e ? 0 ? 2b ? d ? 0 (2) ? ? 即方程组: ? 7 a ? b ? c ? d ? e ? 0 (3) ,有非 0 有理数解. ? 2 a ? 3b ? 2c ? d ? 0 (4) ? (5) ? 6 a ? 3b ? c ? 0 ? 由(1)+(3)得: 11a ? b ? c ? d ? 0 (6) 由(6)+(2)得: 11a ? 3b ? c ? 0 (7) 由(6)+(4)得: 13a ? 4b ? 3c ? 0 (8) 由(7) ? (5)得: a ? 0 ,代入(7) (8)得: b ? c ? 0 ,代入(1) (2)知: d ? e ? 0 .于是知 、 、
与 ,,, , a ? b ? c ? d ? e ? 0 , abcde 其两根分别为 2 和 1 ? 3 2 . 综上所述知,以 2 和 1 ? 3 2 为两根的有理系数多项式的次数最小为 5. 2. 在 6 ? 6 的表中停放 3 辆完全相同的红色车和 3 辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆 车占一格,共有几种停放方法? A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400 解析:先从 6 行中选取 3 行停放红色车,有 C 6 种选择.最上面一行的红色车位置有 6 种选择;最上面一行 的红色车位置选定后,中间一行的红色车位置有 5 种选择;上面两行的红色车位置选定后,最下面一行的 红色车位置有 4 种选择。三辆红色车的位置选定后,黑色车的位置有 3!=6 种选择。所以共有
3

不全为 0 矛盾.所以不存在一个次数不超过 4 的有理系数多项式 g ( x ) ,

1

3 C6 ? 6 ? 5 ? 4 ? 6 ? 14400 种停放汽车的方法.

3. 已知 x ? 2 y ? 5, y ? 2 x ? 5 ,求 x ? 2 x y ? y 的值.
2 2 3 2 2 3

A. 10 B. 12 解析:根据条件知:

C. 14

D. 16

x 3 ? 2 x 2 y 2 ? y 3 ? x (2 y ? 5) ? 2(2 y ? 5)(2 x ? 5) ? y (2 x ? 5) ? 15 x ? 15 y ? 4 xy ? 50
由 x ? 2 y ? 5, y ? 2 x ? 5 两式相减得 ( x ? y )( x ? y ) ? 2 y ? 2 x 故 y ? x 或 x ? y ? ?2
2 2

2 ①若 x ? y 则 x ? 2 x ? 5 ,解得 x ? 1 ? 6 .于是知 x ? y ? 1 ? 6 或 x ? y ? 1 ? 6 .

当 x ? y ? 1 ? 6 时,

x 3 ? 2 x 2 y 2 ? y 3 ? ?4 xy ? 15( x ? y ) ? 50 ? ?4 x 2 ? 30 x ? 50 ? ?4( x 2 ? 2 x ? 5) ? 38 x ? 70 ? ?38 x ? 70 ? ?108 ? 38 6 .
当 x ? y ? 1? 6 时

x 3 ? 2 x 2 y 2 ? y 3 ? ?4 xy ? 15( x ? y ) ? 50 ? ?4 x 2 ? 30 ? 50 ? ?4( x 2 ? 2 x ? 5) ? 38 x ? 70 x 2 ? y 2 ? (2 y ? 5) ? (2 x ? 5) ? 2( y ? x ) ? x ? y ? ?2 ? ?38 x ? 70 ? ?108 ? 38 6 .
( 2 ) 若 x ? y , 则 根 据 条 件 知 : x ? y ? (2 y ? 5) ? (2 x ? 5) ? 2( y ? x ) ? x ? y ? ?2 , 于 是
2 2

x 2 ? y 2 ? (2 y ? 5) ? (2 x ? 5) ? 2( x ? y ) ? 10 ? 6 ,
进而知 xy ?
3

( x ? y)2 ? ( x 2 ? y 2 ) 2
2 2 3

? ?1 .

于是知: x ? 2 x y ? y ? 4 xy ? 15( x ? y ) ? 50 ? ?16 .
3 2 2 3 综上所述知, x ? 2 x y ? y 的值为 ?108 ? 38 6 或 ?16 .

4. 数列 ? a n ? 满足 a1 ? 1 ,前 n 项和为 S n , S n ?1 ? 4 an ? 2 ,求 a2013 .

A. 3019?2

2012

B. 3019?22013

C. 3018?22012

D.无法确定

解析:根据条件知: 4 an ?1 ? 2 ? S n ? 2 ? an ? 2 ? S n ?1 ? an ? 2 ? 4 an ? 2 ? an ? 2 ? 4 an ?1 ? 4 an .又根据条件知:

a1 ? 1, S 2 ? a1 ? a2 ? 4 a1 ? 2 ? a2 ? 5 .
所以数列 ?an ? : a1 ? 1, a2 ? 5, an ? 2 ? 4 an ?1 ? 4 an .

2

又 an ? 2 ? 4 an ?1 ? 4 an ? an ? 2 ? 2 an ?1 ? 2( an ?1 ? 2 an ) .令 bn ? an ?1 ? 2 an , 则 bn ?1 ? 2bn , b1 ? a2 ? 2 a1 ? 3 ,所以 bn ? 3 ? 2 对 an ?1 ? 2 an ? 3 ? 2
n ?1 n ?1

.即 an ?1 ? 2 an ? 3 ? 2

n ?1

.

a a a a 3 3 3 即 n ?1 则 ? n ? , n ?1 ? n ? .令 cn ? n , cn ?1 ? cn ? , n n n 2 2 4 2 2 4 2 4 a 1 1 3 n? 1 3 3n ? 1 n , 于 是 知 cn ? ? ( n ? 1 ? . 所 以 an ? c1 ? 1 ? ) , 2 ? (3n ? 1) ? 2 n ? 2 . 于 是 知 : 2 2 2 4 4 4
, 两边同除以 2 n?1 , 有
n ?1

an ?1

a2013 ? (3 ? 2013 ? 1) ? 2 2

0 1 1

? 3019 ? 2

2 0 1 2

.

5. 如图,?ABC 中,AD 为 BC 边上中线,DM , DN 分别 ?ADB , ?ADC 的角平分线, 试比较 BM ? CN 与 MN 的大小关系,并说明理由. A. BM+CN>MN B. MN?CN?MN C. BM+CN?MN D.无法确定

解析:如图,延长 ND 到 E ,使得 DE ? DN ,连接 BE、ME .易知 ?BDE ? ?CDN ,所以 CN ? BE . 又因为 DM , DN 分别为 ?ADB , ?ADC 的角平分线,所以 ?MDN ? 90? ,知 MD 为线段 EN 的垂直平分 线,所以 MN ? ME .所以 BM ? CN ? BM ? BE ? ME ? MN .

6.模长为 1 的复数 A、B、C ,满足 A ? B ? C ? 0 ,求

AB ? BC ? CA A? B?C

的模长.

A. ?1/2

B. 1

C. 2

D.无法确定

解析:根据公式 z ?

z ? z 知, A ? A ? 1, B ? B ? 1, C ? C ? 1 .于是知:

AB ? BC ? CA A? B?C
?

?

AB ? BC ? CA AB ? BC ? CA ? A? B?C A? B?C

( ABCC ? ABCC ? BC A A ? BCA A ? C AB B ? C AB B ) ? ( A AB B ? B BCC ? CC A A ) ( AB ? AB ? BC ? BC ? C A ? C A) ? ( A A ? B B ? CC )

?
所以

AB ? AB ? BC ? BC ? C A ? C A ? 3 AB ? AB ? BC ? BC ? C A ? C A ? 3

?1.

AB ? BC ? CA A? B?C

的模长为 1.
3

7.最多能取多少个两两不等的正整数,使得其中任意三个数之和都为素数. 解析:所有正整数按取模 3 可分为三类: 3k 型、 3k ? 1 型、 3k ? 2 型. 首先, 我们可以证明, 所取的数最多只能取到两类.否则, 若三类数都有取到, 设所取 3k 型数为 3a ,3k ? 1 型数为 3b ? 1 , 3k ? 2 型数为 3c ? 2 , 则 3a ? (3b ? 1) ? (3c ? 2) ? 3( a ? b ? c ? 1) ,不可能为素数.所以三类数中,最多能取到两类. 其次,我们容易知道,每类数最多只能取两个.否则,若某一类 3k ? r ( r ? 0、 2) 型的数至少取到三个,设 1、 其中三个分别为 3a ? r、 ? r、c ? r , 3b 3 则 (3a ? r ) ? (3b ? r ) ? (3c ? r ) ? 3( a ? b ? c ? r ) ,不可能为素数.所以每类数最多只能取两个. 结合上述两条,我们知道最多只能取 2 ? 2 ? 4 个数,才有可能满足题设条件. 另一方面,设所取的四个数为 1、7、5、11,即满足题设条件. 综上所述,若要满足题设条件,最多能取四个两两不同的正整数.

8







a1、 a2、 a3、 、a2013 ? R ?







a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? 0





a1 ? 2 a2 ? a2 ? 2 a3 ? a3 ? 2 a4 ? ? ? a2012 ? 2 a2013 ? a2013 ? 2 a1 , a 求证: 1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? 0 .
解析:根据条件知:

( a1 ? 2 a2 ) ? ( a2 ? 2 a3 ) ? ( a3 ? 2a4 ) ? ? ? ( a2013 ? 2 a1 ) ? ? ( a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2013 ) ? 0 , (1)
另 一 方 面 , 令

a1 ? 2 a2 ? a2 ? 2 a3 ? a3 ? 2 a4 ? ? ? a2013 ? 2 a1 ? m





a1 ? 2 、 2 a

?a2 、 2

a、?、 a3 3? 2

a4 ? 2 a 中每个数或为2m , 或为1?a .设其中有 1 个 m ,(2013 ? k ) 个 k m3 0

?m ,则:
( a1 ? 2 a2 ) ? ( a2 ? 2a3 ) ? ( a3 ? 2 a4 ) ? ? ? ( a2013 ? 2a1 ) ? k ? m ? (2013 ? k ) ? ( ? m ) ? (2 k ? 2013) m (2)
由(1)(2)知: 、

(2k ? 2013) m ? 0
而 2k ? 2013 为奇数,不可能为 0,所以 m ? 0 .于是知:

(3)

a1 ? 2 a2 , a2 ? 2 a3 , a3 ? 2 a4 , ? , a2012 ? 2 a2013 , a2013 ? 2 a1 .
从而知: a1 ? 2
2013

? a1 ,即得 a1 ? 0 .同理可知: a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? 0 .命题得证.

9.对任意的 ? ,求 32 cos ? ? cos 6? ? 6 cos 4? ? 15 cos 2? 的值.
6

解析:根据二倍角和三倍角公式知:

32 cos 6 ? ? cos 6? ? 6 cos 4? ? 15 cos 2?
4

? 32 cos 6 ? ? (2 cos 2 3? ? 1) ? 6(2 cos 2 2? ? 1) ? 15(2 cos 2 ? ? 1)
? 32 cos 6 ? ? ? 2(4 cos 3 ? ? 3 cos ? ) 2 ? 1? ? 6 ? 2(2 cos 2 ? ? 1) 2 ? 1? ? 15(2 cos 2 ? ? 1) ? ? ? ?

? 32 cos 6 ? ? (32 cos 6 ? ? 48 cos 4 ? ? 18 cos 2 ? ? 1) ? (48 cos 4 ? ? 48 cos 2 ? ? 6) ? (30 cos 2 ? ? 15) ? 10 .

10.已知有 mn 个实数,排列成 m ? n 阶数阵,记作 aij

? ?

mxn

,使得数阵中的每一行从左到右都是递增的,

即对任意的 i ? 1、 3、 、m ,当 j1 ? j2 时,都有 aij1 ? aij2 .现将 aij 2、 ?

? ?

mxn

的每一列原有的各数按照从上到

? 下递增的顺序排列, 形成一个新的 m ? n 阶数阵, 记作 aij ? 都有 ai?1 j ? ai?2 j .试判断 aij ? 解析:数阵 aij

? ?

mxn

, 即对任意的 j ? 1、、 ?、n , i1 ? i2 时, 当 2 3、

? ?

mxn

中每一行的 n 个数的大小关系,并说明理由.

? ?

mxn

中每一行的 n 个数从左到右都是递增的,理由如下:

? 显 然 , 我 们 要 证 数 阵 aij

? ?

mxn

中每一行的 n 个数从左到右都是递增的,我们只需证明,对于任意

? 2 3、 i ? 1、 3、 、m ,都有 aij ? ai?( j ?1) ,其中 j ? 1、、 ?、n ? 1 . 2、 ? ? 若存在一组 a ? ? a ? ( q ?1) .令 ak ( q ?1) ? aik ( q ?1) ,其中 k ? 1、、 ?、m , ?i1 , i2 , i3 , ? , im ? ? ?1, 2, 3, ? , m? .则 2 3、 pq p 2 3、 当 t ? p 时,都有 ait q ? ait ( q ?1) ? at?( q ?1) ? a ? ( q ?1) ? a ? .也即在 aiq (i ? 1、、 ?、m) 中,至少有 p 个数小于 p pq
? a ?pq ,也即 a ?pq 在数阵 ? aij ?
mxn

的第 q 列中,至少排在第 p ? 1 行,与 a ? 排在第 p 行矛盾. pq

? ? 所以对于任意 i ? 1、 3、 、m ,都有 aij ? ai?( j ?1) ,即数阵 aij 2、 ?

? ?

mxn

中每一行的 n 个数从左到右都是递增的.

5


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