曲线与方程[高考数学总复习][高中数学课时训]


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曲线与方程

基础自测

1.已知坐标满足方程 F(x,y)=0 的点都在曲线 C 上,那么下列说法 错误的是 (只填序号).

①曲线 C 上的点的坐标都适合方程 F(x,y)=0 ②凡坐标不适合 F(x,y)=0 的点都不在 C 上 ③不在 C 上的点的坐标有些适合 F(x,y)=0,有些不适合 F(x, y)=0 ④不在 C 上的点的坐标必不适合 F(x,y)=0 答案 ①②③ .

2.到两定点 A (0, , 0) B (3, 距离之和为 5 的点的轨迹是 4) 答案 线段 AB

3.动点 P 到两坐标轴的距离之和等于 2, 则点 P 的轨迹所围成的图形 面积是 答案 8 .

4.(2008?北京理)若点 P 到直线 x=-1 的距离比它到点(2,0)的 距离小 1,则点 P 的轨迹为 答案 抛物线 (写出曲线形状即可).

5.已知直线 l 的方程是 f(x,y)=0,点 M(x0,y0)不在 l 上,则方
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程 f(x,y)-f(x0,y0)=0 表示的曲线与 l 的位置关系是 答案 平行

.

例1

如图所示,过点 P(2,4)作互相垂直的直线 l1、l2.

若 l1 交 x 轴于 A,l2 交 y 轴于 B, 求线段 AB 中点 M 的轨迹方程. 解 设点 M 的坐标为(x,y),

∵M 是线段 AB 的中点, ∴A 点的坐标为(2x,0) 点的坐标为(0,2y). ,B ∴ PA =(2x-2,-4) PB =(-2,2y-4). , 由已知 PA ? PB =0,∴-2(2x-2)-4(2y-4)=0, 即 x+2y-5=0. ∴线段 AB 中点 M 的轨迹方程为 x+2y-5=0. 例2
2

(5 分)在△ABC 中,A 为动点,B、C 为定点,B(- a ,0) ,C
2

( a ,0)且满足条件 sinC-sinB= 1 sinA,则动点 A 的轨迹方程
2

是 答案 例3
16 x 2 a2
2

. - 16 y2 =1(y≠0)的右支
3a

如图所示,已知 P(4,0)是圆 x2+y2=36 内的一点,A、B 是圆

上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程.

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设 AB 的中点为 R,坐标为(x1,y1) 点坐标为(x,y) ,Q ,

则在 Rt△ABP 中,|AR|=|PR|, 又因为 R 是弦 AB 的中点,依垂径定理有 Rt△OAR 中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x 12 +y 12 ). 又|AR|=|PR|= ?x1 ? 4?2 ? y12 , 所以有(x1-4)2+y 12 =36-(x 12 +y 12 ). 即 x 12 +y 12 -4x1-10=0. 因为 R 为 PQ 的中点,所以 x1= x ? 4 ,y1= y ? 0 .
2 2

代入方程 x 12 +y 12 -4x1-10=0,得
? y? ? x?4? ? ? ?? ? 2 ? ? ?2?
2 2

-4? x ? 4 -10=0.
2

整理得 x2+y2=56. 这就是 Q 点的轨迹方程.

1.已知两点 M(-2,0) 、N(2,0) ,点 P 为坐标平面内的动点,满足 | MN |?| MP |+ MN ? NP =0,求动点 P(x,y)的轨迹方程. 解 由题意: MN =(4,0) MP =(x+2,y), NP =(x-2,y), ,

∵| MN |?| MP |+ MN ? NP =0, ∴
42 ? 02

? ?x ? 2?2 ? y 2 +(x-2) ?4+y?0=0,

两边平方,化简得 y2=-8x.
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2.已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2: (x-3)2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程. 解 如图所示, 设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和点 B, 根

据两圆外切的充要条件,得 |MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|. 因为|MA|=|MB|, 所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.这表明动点 M 到两定点 C2, C1 的距离之差是常数 2. 根据双曲线的定义,动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 到 C2 的距 离大, C1 的距离小)这里 a=1,c=3,则 b2=8,设点 M 的坐标为 到 , (x,y) , 其轨迹方程为 x2- y =1 (x≤-1).
8
2

3.设 F(1,0) 点在 x 轴上,P 点在 y 轴上,且 MN =2 MP ,PM ⊥ PF , ,M 当点 P 在 y 轴上运动时,求点 N 的轨迹方程. 解 设 M(x0,0) ,P(0,y0) ,N(x,y) ,

由 MN =2 MP 得(x-x0,y)=2(-x0,y0) , ∴ ? y ? 20y ?
? x ? x ? ?2 x 0
0

,即 ? ?

?x0 ? ? x 1 . ? y0 ? 2 y ?
PF

∵ PM ⊥ PF , PM =(x0,-y0),

=(1,-y0),

2 ∴(x0,-y0)? (1,-y0)=0,∴x0+y 0 =0.

∴-x+ y

2

4

=0,即 y2=4x.

故所求的点 N 的轨迹方程是 y2=4x.

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一、填空题 1.在平面直角坐标系 xOy 中, 已知抛物线关于 x 轴对称, 顶点在原点 O,且过点 P(2,4) ,则该抛物线的方程是 答案 y2=8x .

2.已知两定点 A(-2,0) ,B(1,0) ,如果动点 P 满足|PA|=2|PB|, 则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于 答案 4? .

3.长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移动, AC =2 CB , 则点 C 的轨迹是 答案 椭圆 (写出形状即可).

4.平面直角坐标系中,已知两点 A(3,1) ,B(-1,3) ,若点 C 满足
OC = ? 1 OA

+ ?2

OB (O

为原点) ,其中 ? 1 , ?2 ∈R,且 ? 1 + ?2 =1,则点 C

的轨迹是 答案 直线

(写出形状即可).

5.F1、 2 是椭圆的两个焦点, 是椭圆上任一点, F M 从任一焦点向△F1MF2 顶点 M 的外角平分线引垂线,垂足为 P,则 P 点的轨迹为 (写出形状即可). 答案 圆

6.一圆形纸片的圆心为 O,点 Q 是圆内异于 O 的一个定点,点 A 是圆 周上一动点,把纸片折叠使点 A 与点 Q 重合,然后抹平纸片,折痕 CD 与 OA 交于点 P,当点 A 运动时,点 P 的轨迹为 (写出
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形状即可). 答案 椭圆

7.已知△ABC 的顶点 B(0,0) ,C(5,0) ,AB 边上的中线长|CD|=3, 则顶点 A 的轨迹方程为 答案 (x-10)2+y2=36(y≠0)
2

.

8.平面上有三点 A(-2,y) ,B(0, y ) ,C(x,y) ,若 AB ⊥ BC ,则 动点 C 的轨迹方程为 答案 y2=8x .

二、解答题 9.如图所示,已知点 C 的坐标是(2,2) ,过点 C 的直线 CA 与 x 轴交于点 A, 过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B.设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的轨迹方程. 解 方法一 (参数法) :设 M 的坐标为(x,y).

若直线 CA 与 x 轴垂直,则可得到 M 的坐标为(1,1). 若直线 CA 不与 x 轴垂直,设直线 CA 的斜率为 k,则直线 CB 的斜 率为- 1 ,故直线 CA 方程为:y=k(x-2)+2,
k

令 y=0 得 x=2- 2 ,则 A 点坐标为(2- 2 ,0).
k k

CB 的方程为:y=- 1 (x-2)+2,令 x=0,得 y=2+ 2 ,
k k

则 B 点坐标为(0,2+ 2 ) ,由中点坐标公式得 M 点的坐标为
k
2 ? 2? ?0 ? 1 k ? 1? ?x ? ? 2 k ? 2 ? 2? ?0 1 ? k ? 1? ?y ? 2 k ?



消去参数 k 得到 x+y-2=0 (x≠1),
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点 M(1,1)在直线 x+y-2=0 上, 综上所述,所求轨迹方程为 x+y-2=0. 方法二 (直接法)设 M(x,y) ,依题意 A 点坐标为(2x,0),B

点坐标为(0,2y).∵|MA|=|MC|, ∴
( x ? 2x) 2 ? y 2

=

( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2

,

化简得 x+y-2=0. 方法三 (定义法)依题意|MA|=|MC|=|MO|,

即:|MC|=|MO|,所以动点 M 是线段 OC 的中垂线, 故由点斜式方程得 到:x+y-2=0. 10. 如 图 所 示 , 线 段 AB 与 CD 互 相 垂 直 平 分 于 点 O , |AB|=2a (a>0),|CD|=2b (b﹥0),动点 P 满足|PA|?|PB|=|PC|?|PD|. 求动点 P 的轨迹方程. 解 标系, 则 A(-a,0) ,B(a,0) ,C(0,-b) ,D(0,b), 设 P(x,y) ,由题意知 |PA|?|PB|=|PC|?|PD|, ∴ =
( x ? a) 2 ? y 2 x 2 ? ( y ? b) 2

以 O 为坐标原点,直线 AB、CD 分别为 x 轴、y 轴建立直角坐

?

( x ? a) 2 ? y 2 x 2 ? ( y ? b) 2
2

?

,

化简得 x2-y2= a

? b2 2

.
2

故动点 P 的轨迹方程为 x2-y2= a

? b2 2

.

11.已知两条直线 l1:2x-3y+2=0 和 l2:3x-2y+3=0,有一动圆(圆心和
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半径都动)与 l1、l2 都相交,且 l1、l2 被圆截得的弦长分别是定值 26 和 24,求圆心的轨迹方程. 解 设动圆的圆心为 M(x,y),半径为 r,点 M 到直线 l1,l2 的距离分

别为 d1 和 d2. 由弦心距、半径、半弦长间的关系得,
? 2 2 2 ? 2 ?2 r ? d 1 ? 26, 即 ?r 2 ? d12 ? 169, ? ? 2 ?r ? d 2 ? 144, ?2 r 2 ? d 2 ? 24, ? ?
2 消去 r 得动点 M 满足的几何关系为 d 2 ? d12 =25,

即 (3x ? 2 y ? 3)
13

2

?

(2 x ? 3 y ? 2) 2 ? 25 . 13

化简得(x+1)2-y2=65. 此即为所求的动圆圆心 M 的轨迹方程. 12.已知椭圆 x
2

2

?

y2 ? 1 上任意一点 9

P,由 P 向 x 轴作垂线段 PQ,垂足

为 Q,点 M 在线段 PQ 上,且 PM =2 MQ ,点 M 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程; (2)若过定点 F(0,2)的直线 l 交曲线 E 于不同的两点 G,H(点 G 在点 F,H 之间) ,且满足 FH =2 FG ,求直线 l 的方程. 解 (1)设 M(x,y),P(x0,y0),
x ?x
0

∵ PM =2 MQ ,∴ ? y0 ?
?

? 3y

,
2

将其代入椭圆方程得 x0
2

?

2 y0 ?1 9

得曲线 E 的方程为: x

2

2

? y2 ?1 .

(2)设 G(x1,y1) 、H(x2,y2) , ∵ FH =2 FG ,∴x2=2x1. ①
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依题意, 当直线 l 斜率不存在时, 0, , 0, , G ( 1) H ( -1) 不满足 FH =2 FG . 故 设 直 线 l:y=kx+2, 代 入 曲 线 E 的 方 程 并 整 理 得 ( 1+2k2 ) x2+8kx+6=0, ∴x1+x2=② 联立①②解得 k=± 3
30 10
8k 1 ? 2k
2

,x1?x2=

6 1 ? 2k 2

,
30 10

所以直线 l 的方程为:y=± 3

x+2.

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