2.3.4 平面向量共线的坐标表示 课件


第二章 平面向量 2.3.4 平面向量共线的坐标表示 学习导航 学习目标 如何用坐标表示 理解 实例 ― ― → 两个共线向量 ― ― → 了解 用坐标表示平面 掌握 利用坐标判断 ― → 向量是否共线 向量共线的条件 ― 重点难点 重点:用坐标表示两向量共线的条件. 难点:根据向量坐标判断向量共线. 新知初探思维启动 两个共线向量的坐标表示 设 a = (x1 , y1) , b = (x2 , y2) ,其中 b≠0 ,则 a ∥ b ?a x1y2-x2y1=0 =λb?___________________. 做一做 已知a=(1,2),b=(x,4),若a∥b,则x等于________. 答案:2 想一想 x1 x2 若 a∥b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则必有 = 吗? y1 y2 提示:不一定,两个向量中,若有与坐标轴 (x 轴) 平行的向量或零向量,则不能写成比例式. 典题例证技法归纳 题型探究 题型一 向量共线的判断 例1 已知向量 a= (1,2),b= (λ,1),若 (a+2b)∥ (2a- ) 1 B. 3 D. 2 2b),则 λ 的值等于 ( 1 A. 2 C. 1 【解】 法一: a+2b= (1,2)+ 2(λ,1)= (1+ 2λ,4), 2a- 2b=2(1,2)-2(λ, 1)=(2- 2λ, 2), 由 (a+2b)∥ (2a- 2b)可得 2(1+ 2λ)-4(2-2λ)= 0, 1 解得 λ= . 2 法二:假设 a,b 不共线,则由(a+ 2b)∥ (2a-2b)可得 ? ?1=2μ a+2b= μ(2a-2b), 从而? , 方程组显然无解, ? ?2=- 2μ 即 a+ 2b 与 2a- 2b 不共线,这与 (a+2b)∥ (2a- 2b) 1 矛盾,从而假设不成立,故应有 a, b 共线,所以 = λ 2 1 ,即 λ= . 1 2 【答案】 A 向量共线问题常涉及两个方面:(1)已知两 【名师点评】 个向量的坐标或四点的坐标,判定两向量共线;(2)已知向 量共线求参数的值.解题时要注意方程思想的运用,向量 共线的条件、向量相等都可作为列方程的依据. 跟踪训练 1.已知向量a=(1,1),b=(2,x).若a+b与4b-2a平行, 则实数x的值是( A.-2 C.1 ) B.0 D.2 解析:选D.a+b=(3,1+x),4b-2a=(6,4x-2). ∵a+b与4b-2a平行,∴3(4x-2)-6(1+x)=0, 即4x-2=2(1+x).∴x=2. 题型二 三点共线问题 → → 例2 如果向量AB = i- 2j,BC= i+ mj,其中 i、 j 分别是 x 轴、 y 轴正方向上的单位向量, 试确定实数 m 的值使 A、 B、 C 三点共线. 【解】 法一: A、 B、 C 三点共线, → → → → 即AB、 BC共线,∴存在实数 λ,使得AB= λBC. ? ?λ= 1, 即 i- 2j= λ(i+ mj),于是? ∴ m=-2, ? ?λm=- 2, 即 m=- 2 时, A、 B、 C 三点共线. 法二:依题意知 i=(1,0), j= (0,1), → 而AB= (1,0)-2(0,1)= (1,- 2), → BC= (1,0)+ m(0,1)= (1, m), → → 而AB、 BC共线,∴1×m-1× (- 2)=0, ∴ m=-2,故当 m=-2 时,A、 B、 C 三点共线.

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