导数与函数的单调性、极值复习课件


第11课时

导数与函数的单调性、极值

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考纲展示 备考指南
1.了解函数单调性和导数的关系, 1.利用导数研究函数的单调性、 能利用导数研究函数的单调性, 极值是近几年高考的热点.

会求函数的单调区间(其中多项
式函数一般不超过三次). 要条件和充分条件;会用导数 求函数的极大值、极小值(其中 多项式函数一般不超过三次).

2.选择题、填空题侧重于利用
导数确定函数的单调性和极 数、解析几何、不等式、数 列的综合应用,一般难度较 大,属中、高档题.

2.了解函数在某点取得极值的必 值.解答题侧重于导数与函

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本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

名 师 讲 坛 精 彩 呈 现

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.函数的单调性与导数 在区间(a,b)内,函数的单调性与其导数的正负有如下的关系:

f′(x)>0 如果_________,那么函数y=f(x)在这个区间单调递增; f′(x)<0 如果_________,那么函数y=f(x)在这个区间单调递减; f′(x)=0 如果_________,那么函数y=f(x)在这个区间为常数.

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思考探究

1.若函数y=f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有
f′(x)>0吗?f′(x)>0是否是y=f(x)在(a,b)内单调递增

的充要条件?
提 示 : 函 数 y = f(x)在 (a , b)内 单 调 递增 , 则 f′(x)≥0, f′(x)>0是y=f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件.

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2.函数极值的概念
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的 f′(x)<0 函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧_________, f′(x)>0 极小值点 右侧_________,则点a叫做函数y=f(x)的_____________,f(a) 极小值 叫函数y=f(x)的___________. 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的 f′(x)>0 函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧_________, f′(x)<0 极大值点 右侧_________,则点b叫做函数y=f(x)的_____________,f(b)

极大值 叫函数y=f(x)的__________.
极值点 极大值点、极小值点统称为___________,极大值、极小值统 极值 称为_______.
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思考探究 2.若f′(x0)=0,则x0一定是f(x)的极值点吗? 提示:不一定.可导函数在一点的导数值为0是函数在这 点取得极值的必要条件,而不是充分条件.如函数f(x)=

x3,在x=0时,有f′(x)=0,但x=0不是函数f(x)=x3的极
值点.

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课前热身
1.下列函数存在极值的是( 1 A.y= x C.y=x3+x2+2x-3 ) B.y=x2-3 D.y=x3

答案:B

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2.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,
则实数a等于( A.2 C.4 答案:D ) B.3 D.5

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1 2 3.(2012· 高考辽宁卷)函数 y= x -ln x 的单调递减区间为 2 ( ) B.(0,1] D.(0,+∞)

A.(-1,1] C.[1,+∞)

解析:选 B.由题意知,函数的定义域为(0,+∞).又由 1 y′=x- ≤0,解得 0<x≤1,所以函数的单调递减区间为 x (0,1].
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4.已知函数y=f(x)的导数的图象如图,则随着x的增大,函数 值先________后________.

答案:减



5.已知a>0,函数f(x)=x3 -ax在[1,+∞)上是单调递增函 数,则a的取值范围是________.

解析:∵f′(x)=3x2 -a,f(x)在[1,+∞)上是单调增函数,
∴f′(x)≥0,∴a≤3x2,∴a≤3.又a>0,可知0<a≤3. 答案:(0,3]
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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 函数的单调性与导数

1 3 1-a 2 例1 (2012· 高考天津卷节选)已知函数 f(x)= x + x 3 2 -ax-a,x∈R,其中 a>0. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值 范围.

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【解】

(1)f′(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a).

由f′(x)=0,得x1=-1,x2=a>0. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x
f′(x)

(-∞,-1)


(-1,a)


(a,+∞)


f(x)







故函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(a,+∞);单调递

减区间是(-1,a).
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(2)由(1)知 f(x)在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1, 0)内单调递减,从而函数 f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点

?f(-2)<0, ? 1 f(-1)>0,解得 0<a< . 当且仅当? 3 ?f(0)<0, ? ?0,1 ?. 所以 a 的取值范围是 ? 3?

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【规律小结】利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为:

(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求导数f′(x); (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0; (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.

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跟踪训练 1.已知函数f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中t∈R. (1)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)当t≠0时,求f(x)的单调区间. 解:(1)当t=1时,f(x)=4x3 +3x2 -6x,f(0)=0,f′(x)= 12x2 +6x-6,f′(0)=-6.所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处 的切线方程为y=-6x.
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t (2)f′(x)=12x +6tx-6t .令 f′(x)=0,解得 x=-t 或 x= . 2
2 2

t 因为 t≠0,所以分两种情况讨论:①若 t<0,则 <-t. 2 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x f′(x) f(x)

?-∞, t ? ? 2?
+ ↗

? t ,-t ? (-t,+∞) ?2 ?
- ↘ + ↗

?-∞, t ?,(-t,+∞);f(x)的单 所以 f(x)的单调递增区间是? 2? ? t ,-t?. 调递减区间是?2 ?
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t ②若 t>0,则-t< . 2 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-t) + ↗

?-t, t ? ? 2?
- ↘

? t ,+∞? ?2 ?
+ ↗

? t ,+∞?;f(x)的单 所以 f(x)的单调递增区间是(-∞,-t),?2 ? ?-t, t ?. 调递减区间是? 2?
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考点2 由函数的单调性求参数的取值范围 例2 已知a∈R,函数f(x)=(-x2 +ax)ex(x∈R,e为自然对 数的底数). (1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)函数f(x)是否为R上的单调函数?若是,求出a的取值范围; 若不是,请说明理由.
【解】 (1)当 a=2 时,f(x)=(-x2+2x)ex,

∴f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex. 令 f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0. ∵ex>0,∴-x2+2>0,解得- 2<x< 2. ∴函数 f(x)的单调递增区间是(- 2, 2).
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(2)若函数f(x)在R上单调递减, 则f′(x)≤0对x∈R都成立, 即[-x2+(a-2)x+a]ex≤0对x∈R都成立.

∵ex>0,∴x2-(a-2)x-a≥0对x∈R都成立.
∴Δ=(a-2)2+4a≤0,即a2+4≤0,这是不可能的. 故函数f(x)不可能在R上单调递减.

若函数f(x)在R上单调递增,则f′(x)≥0对x∈R都成立,
即[-x2+(a-2)x+a]ex≥0对x∈R都成立, ∵ex>0,∴x2-(a-2)x-a≤0对x∈R都成立.

而Δ=(a-2)2+4a=a2+4>0,
故函数f(x)不可能在R上单调递增. 综上可知,函数f(x)不可能是R上的单调函数.
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【规律小结】

由函数的单调性求参数的取值范围,这类问

题一般已知f(x)在区间I上单调递增(递减),等价于不等式

f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立,然后可借助分离参数等方
法求出参数的取值范围.

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跟踪训练 2.已知函数f(x)=ex-ax-1.

(1)求f(x)的单调增区间;
(2)是否存在a,使f(x)在(-2,3)上为减函数?若存在,求 出a的取值范围,若不存在,说明理由. 解:f′(x)=ex-a, (1)若a≤0,则f′(x)=ex-a>0,

因此f(x)在R上递增.
若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥ln a. 因此f(x)的递增区间是[ln a,+∞).
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(2)由f′(x)=ex-a≤0在(-2,3)上恒成立.

∴a≥ex在x∈(-2,3)上恒成立.
又∵-2<x<3,∴e-2<ex<e3,只需a≥e3.

当a=e3时,f′(x)=ex-e3在x∈(-2,3)上,f′(x)<0,
即f(x)在 (-2,3)上为减函数,∴a≥e3. 故存在实数a≥e3,使f(x)在(-2,3)上单调递减.

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考点3

函数的极值与导数

高考江苏卷节选)若函数y=f(x)在x=x0处取得极 例3 (2012·
大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实

数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.
(1)求a和b的值; (2)设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.

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【解】

(1)由题设知f′(x)=3x2+2ax+b,且f′(-1)=3-2a+

b=0,f′(1)=3+2a+b=0, 解得a=0,b=-3. (2)由(1)知,f(x)=x3-3x. 因为f(x)+2=(x-1)2(x+2), 所以g′(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-2, 于是函数g(x)的极值点只可能是1或-2. 当x<-2时,g′(x)<0;当-2<x<1时,g′(x)>0,故-2是 g(x)的极值点. 当-2<x<1或x>1时,g′(x)>0,故1不是g(x)的极值点. 所以g(x)的极值点为-2.
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【规律小结】

求可导函数f(x)极值的步骤:

(1)确定函数的定义域; (2)求导数f′(x); (3)求方程f′(x)=0的根; (4)检验f′(x)在方程f′(x)=0的根的左、右两侧的符号,如果在

根的左侧附近f′(x)>0,右侧附近f′(x)<0,那么函数y=f(x)在
这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近f′(x)<0,右侧附

近f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值.
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跟踪训练
1 3 3.(2012· 高考重庆卷)设 f(x)=aln x+ + x+1,其中 a∈R, 2x 2 曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于 y 轴. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的极值.
1 3 a 1 3 解:(1)因为 f(x)=aln x+ + x+1,故 f′(x)= - 2+ . 2x 2 x 2x 2 由于曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于 y 轴,故该切 1 3 线斜率为 0,即 f′(1)=0,从而 a- + =0,解得 a=-1. 2 2
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1 3 (2)由(1)知 f(x)=-ln x+ + x+1(x>0), 2x 2
2 1 1 3 3x -2x-1 (3x+1)(x-1) f′(x)=- - 2+ = = . x 2x 2 2x2 2x2

1 1 令 f′(x)=0, 解得 x1=1, 2=- (因为 x2=- 不在定义域内, x 3 3 舍去). 当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,1)上为减函数; 当 x∈(1, +∞)时,f′(x)>0, f(x)在(1, 故 +∞)上为增函数. 故 f(x)在 x=1 处取得极小值 f(1)=3.

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方法感悟
1.“f′(x)>0(或f′(x)<0)”是“函数f(x)在某一区间上为增函数( 或减函数)”的充分不必要条件;“f′(x0)=0”是“函数f(x)在x =x0处取得极值”的必要不充分条件. 2.可导函数的极值表示函数在一点附近的情况,是在局部对函

数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况,
是对函数在整个区间上的函数值的比较. 3.可导函数的极值点导数为零,但导数为零的点未必是极值 点,如函数y=x3在x=0处导数为零,但x=0不是极值点.

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名师讲坛精彩呈现
规范解答
导数法求函数的单调区间



(本题满分 12 分)(2012· 高考山东卷)已知函数 f(x)=

ln x+k (k 为常数,e=2.718 28?是自然对数的底数),曲线 y ex =f(x)在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值; (2)求 f(x)的单调区间; (3)设 g(x)=xf′(x),其中 f′(x)为 f(x)的导函数,证明:对任意 x>0,g(x)<1+e 2.
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【解】

ln x+k (1)由 f(x)= , ex

1-kx-xln x xex 得 f′(x)= ?,x∈(0,+∞).2 分
由于曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线与 x 轴平行, 所以 f′(1)=0,因此 k=1.4 分

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1 (2)由(1)得 f′(x)= x(1-x-xln x),x∈(0,+∞). xe 令 h(x)=1-x-xln x,x∈(0,+∞),5 分 当 x∈(0,1)时,h(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,h(x)<0. 又 ex>0,所以当 x∈(0,1)时,f′(x)>0; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)<0. 因此 f(x)的单调递增区间为(0,1), 单调递减区间为(1,+∞)?.8 分

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1 (3)证明:因为 g(x)=xf′(x),所以 g(x)= x(1-x-xln x), e x∈(0,+∞).由(2)知 h(x)=1-x-xln x, 求导得 h′(x)=-ln x-2=-(ln x-ln e 2), 所以当 x∈(0,e 2)时,h′(x)>0,函数 h(x)单调递增; 当 x∈(e 2,+∞)时,h′(x)<0,函数 h(x)单调递减.10 分 所以当 x∈(0,+∞)时,h(x)≤h(e 2)=1+e 1 又当 x∈(0,+∞)时,0< x<1, e 1 - 所以当 x∈(0,+∞)时, xh(x)<1+e 2, e 即 g(x)<1+e 2.综上所述,结论成立.12 分
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- - -2 - - -

?.

抓关键
1 ?此步关键,切忌出错, 2 ?易忽视结论,造成失分.

促规范

3 ?判断 h(x)的范围是本题难点.

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【方法提炼】

利用导数法求函数的单调区间,应按照求单

调区间的一般步骤,注意函数单调性是函数在其定义域上的

局部性质,函数的单调区间是函数的定义域的子区间,求函
数单调区间时千万不要忽视函数的定义域.

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知能演练轻松闯关

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