上海高中数学知识点梳理与巩固复习)


高中知识梳理

一、集合 1、集合的相关概念: 2、集合的属性: 1)确定性; 2)互异性; 3)无序性。

集合与不等式

3、有限集、无限集、空集(不含任何元素的集合,记作 ? 。空集是有限集。 ) 4、集合之间的关系: 子集、真子集、集合的相等 【小秘书】 (1)任何一个集合是它本身的子集; (2)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集; (3)子集个数的计算:由 n 个元素组成的集合,其子集的个数为 2 个,真子集个数为 2 ? 1 个。
n n

5、集合的运算:交集、并集、补集 【小秘书】 (1)如果 A ? B ,则 A ? B ? A , A (2) A ? ? ? ? , A

B?B;

? ? A。

6、四种命题的形式:原命题、逆命题、否命题和逆否命题。 7、等价命题:如果 A, B 是两个命题, A ? B , B ? A ,那么 A, B 叫做等价命题。 原命题与它的逆否命题是等价命题,要么同真,要么同假。 8、 (1)如果 ? ? ? ,那么 ? 叫做 ? 的充分条件, ? 叫做 ? 的必要条件; (2)如果 ? ? ? ,同时 ? ? ? ,那么 ? 是 ? 的充要条件。

二、不等式的基本性质 1、 a ? b , b ? c ? a ? c (传递性) 2、 a ? b ? a ? c ? b ? c (加法性质) 3、 a ? b , c ? 0 ? ac ? bc a ? b , c ? 0 ? ac ? bc (乘法性质) 4、 a ? b , c ? d ? a ? c ? b ? d 5、 a ? b ? 0 , c ? d ? 0 ? ac ? bd 6、 a ? b ? 0 ? 0 ?
n

1 1 ? a b
n

7、 a ? b ? 0 ? a ? b

(n? N )
*
*

8、 a ? b ? 0 ? n a ? n b ( n ? N , n ? 1 )

三、不等式的解法
1

1)一元二次不等式的解法 2)一元高次不等式的解法:一般用数轴标根法求解 3)分式不等式的解法 思想:等价转化为同解的整式不等式(组) 。 方法:数轴标根法。 4)含有绝对值的不等式的解法 思想:去绝对值。 方法: (1)根据绝对值的意义进行分类讨论; (2)当不等式两边非负时,同时平方,去掉绝对值。 四、基本不等式
2 2 1、对任意实数 a , b , a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b 时,等号成立)

2、对任意正数 a , b , a ? b ? 2 ab (当且仅当 a ? b 时,等号成立) 3、用基本不等式求分式函数及多元函数最值是求函数最值的初等数学方法之一。 利用基本不等式求最值要注意三点: 一正,二定,三相等。



函数及其基本性质

一、函数三要素 函数解析式、定义域、值域 1、函数解析式的求法 待定系数法;换元法;方程组法等 2、函数值域的求法 换元法;配方法;判别式法;分离常数法;数形结合;基本不等式;利用函数有界性;利用函数单调性 二、函数的基本性质 1、函数的周期性

常见形式:函数 y ? f ? x ? 满足对定义域内任一实数 x (其中 a 为非零常数), 1、 f ? x ? ? f ? x ? a ? ,则 y ? f ? x ? 是以 a 为周期的周期函数;

2、 f ? x ? a ? ? ? f ? x ? ,则 y ? f ? x ? 是以 2 a 为周期的周期函数; 3、 f ? x ? a ? ? ?

1 ,则 y ? f ? x ? 是以 2 a 为周期的周期函数; f ? x?

4、 f ? x ? a ? ? f ? x ? a ? ,则 y ? f ? x ? 是以 2 a 为周期的周期函数。 2、数的奇偶性
2

1)定义:设 y ? f ( x) , x ? A ,如果对于任意 x ? A ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,则称函数 y ? f ( x) 为奇函数; 如果对于任意 x ? A ,都有 f (? x) ? f ( x) ,则称函数 y ? f ( x) 为偶函数。 2)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。 3) f ( x ) 是偶函数 ? f ( x ) 的图象关于 y 轴对称;

f ( x) 是奇函数 ? f ( x) 的图象关于原点对称。
4)若奇函数 f ( x ) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 。 5)判断函数奇偶性的方法: ①定义法:首先判断其定义域是否关于原点对称; 若不对称,则为非奇非偶函数; 若对称,则再判断 f (? x) ? ? f ( x) 或 f (? x) ? f ( x) 是否成立。 ②性质法:奇 ? 奇 ? 奇,偶 ? 偶 ? 偶,奇 ? 奇 ? 偶,偶 ? 偶 ? 偶,奇 ? 偶 ? 奇。 3、函数单调性 1)定义:对于函数 f ( x) 的定义域 D 内某个区间上自变量的任意两个值 x1 , x 2 (1)若当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) < f ( x2 ) ,则说 f ( x) 在这个区间上是增函数; (2)若当 x1 < x2 时,都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) ,则说 f ( x) 在这个区间上是减函数。 2)判断(证明)函数单调性的一般步骤是: ⑴取:设 x1 , x2 是给定区间内的任意两个值,且 x1 < x2 ; ⑵比:作差 f ( x1 ) - f ( x2 ) ,并将此差式变形(要注意变形的程度) ; ⑶判断: f ( x1 ) - f ( x2 ) 的正负(要注意说理的充分性) ; ⑷定:根据 f ( x1 ) - f ( x2 ) 的符号,结合单调性的定义确定函数的增减性。

三、基本初等函数
1、幂函数的图象与性质:幂函数 y ? x
a

分三种情况:

3

2、指数函数的图象与性质

a ?1

0 ? a ?1

图 象

定义域 值 定 性 域 点 单调递增
x ? 0 时, y ? 1 ;

R
(0,??) (0,1)

单调性

单调递减
x ? 0 时, 0 ? y ? 1 ; x ? 0 时, y ? 1 ; x ? 0 时, y ? 1 .



x ? 0 时, y ? 1 ; x ? 0 时, 0 ? y ? 1 .

对称性

1 函数 y ? a x 与 y ? ( ) x 的图象关于 y 轴对称 a

3、对数函数的图像与性质

a ?1
3 3 2.5 2.5 2 2

0 ? a ?1

1.5

1.5

图 像

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域: (0,+∞) ; 过定点(1,0) 性 质

值域:R

x ? (0,1) 时, y ? 0 ; x ? (1,??) 时, y ? 0
在(0,+∞)上是增函数

x ? (0,1) 时, y ? 0 ; x ? (1,??) 时, y ? 0
在(0,+∞)上是减函数

【小秘书】 (1)底数互为倒数的两个对数函数的图像关于 x 轴对称; (2) a ? 1 和 0 ? a ? 1 时函数的性质是不一样的,所以解题时,如果没有明确告诉底数时,注意 要进行分类讨论。

4

4、对数 (1)对数与指数之间的关系:若 n ? a ,则 m ? loga n . (其中 a ? 0, a ? 1)
m

(2)对数恒等式

loga 1 ? 0 , loga a ? 1 , a loga b ? b
换底公式: loga b ? (3)对数的运算法则:

logm b logm a

loga M ? loga N ? loga (MN )
log a M ? log a N ? log a log a m b n ? n log a b m M N

5、函数图像变换 1)平移变换:左加右减,上加下减 2)对称变换: ⑴ y ? f (? x) 与 y ? f ( x) 关于 y 轴对称; ⑵ y ? ? f ( x) 与 y ? f ( x) 关于 x 轴对称; ⑶ y ? ? f (? x) 与 y ? f ( x) 关于原点对称; ⑷y? f
?1

( x) 与 y ? f ( x) 关于 y ? x 对称。

⑸ y ? f ( x) 的图象可将 y ? f ( x) 的图象在 x 轴上方的部分保留(如果有) ,在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方; ⑹ y ? f ( x ) 的图象可将 y ? f ( x) 的图象在 y 轴左边的部分去掉,将 y 右边的图像沿 y 轴翻折到 y 轴左边,同 时保留 y 轴右边部分图像。 3)伸缩变换: ⑴ y ? Af ( x)( A ? 0) 的图象,可将 y ? f ( x) 图象上所有的纵坐标变为原来的 A 倍,横坐标不变。 ⑵ y ? f (ax)(a ? 0) 的图象,可将 y ? f ( x) 图象上所有的横坐标变为原来的

1 倍,纵坐标不变。 a
5

6、反函数
1 )反函数的性质: ( 1 )互为反函数的两个函数的图象关于直线 y = x 对称; ( 2 )函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域一一 对应; ( 3 )一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致; ( 4 )一般的偶函数一定不存在反函数 ( 但一种特殊的偶函数存在反函数 ,偶函数 f ? x ? ? a ? x ? 0? 的 反函数 f ?1 ? x ? ? 0( x ? a) ,这是一种极特殊的函数 ) ,奇函数不一定存在反函数,如果有,其反函 数也为奇函数。 2)求 y ? f ? x ? 反函数的一般步骤: ①确定原函数的值域,也就是反函数的定义域; ②由 y ? f ? x ? 的解析式求出 x ? f
?1

? y? ;

③将 x、y 对换,得反函数的习惯表达式 y ? f ?1 ? x ? ,并注明其定义域。 【小秘书】①由 y ? f ? x ? 的解析式求出 x ? f ?1 ? y ? 时,如果出现两解的情况,则要根据 x 的取值范围进行取舍。 ②分段函数的反函数的求法:先分别求出每一段函数的反函数,再将它综合成一个函数。

四、三角比与三角函数
一)同角三角比的基本关系式 (1)平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? ? 1 ? sec ? , cot ? ? 1 ? csc ? cos ? ? sec ? ? 1 (2)倒数关系: tan ? ? cot ? ? 1 , sin ? ? csc ? ? 1 ,
2 2 2 2 2 2

(3)商数关系: tan ? ?

sin ? , cos ?

cot ? ?

cos ? sin ?

【小秘书】同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数 值。在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围,以便确定符号. 二)诱导公式 口诀:奇变偶不变,符号看象限。 三)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ? tan? ? tan ? tan( ? ? ?) ? 1 ? tan? ? tan ? sin 2? ? 2 sin ? cos ? cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? 2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ? ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? sin ? ? cos ? ? 2 2 2 2

tan

?
2

??

1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?
6

四)三角比的化简、计算、证明 【基本思路】 :一角二名三结构。 【小秘书】基本的技巧有: (1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的 变换. 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

2 (2)三角函数名互化(切割化弦) 。

? ? ? ? 2?

? ??
2



???

? ??

?

?
2

? ?? ? ?
? 2 ?

等) 。

(3)公式变形使用(如: tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 tan ? tan ? ? 。 (4)三角函数次数的降升(降幂公式与升幂公式)。 (5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同) 。 (6) “1”的反带( 1 ? sin x ? cos x ? sec x ? tan x ? tan x ? cot x ? tan ? ? sin ? ?
2 2 2 2

sin x cos x ”的内在联系——“知一求二” (7)正余弦“三兄妹— sin x ? cos x、 。
五)辅助角公式:

4

2

等)

a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b2 sin(? ? ? )
六)1、三角函数的图象与性质: 2、 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 的图象与性质: 七)解斜三角形: 正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R (其中 R 为 ?ABC 外接圆的半径) sin A sin B sin C

b2 ? c2 ? a 2 2 2 2 余弦定理: cos A ? 或 a ? b ? c ? 2bc cos A 2bc
八)反三角函数: 1、定义:

y ? arcsin x 的定义域是[-1,1],值域是 [? , ] ,奇函数,增函数; 2 2

? ?

y ? arccosx 的定义域是[-1,1],值域是 [0,? ] ,非奇非偶,减函数;
y ? arctgx 的定义域是 R,值域是 ( ?
2、性质: 当 x ? [?1 , 1] 时, sin(arcsinx) ? x, cos(arccosx) ? x ;

? ?

, ) ,奇函数,增函数; 2 2

arcsin(? x) ? ? arcsin x,arccos( ? x) ? ? ? arccosx ,
7

arcsin x ? arccos x ?

?
2

3、 最简三角方程的解集:
(1) a ? 1 时, sin x ? a的解集为?; (2) a ? 1 时, sin x ? a 的解集为 x x ? n? ? (?1) n ? arcsin a,n ? Z ; (3) a ? 1 时, cos x ? a的解集为?; (4) a ? 1 时, cos x ? a 的解集为? x x ? 2n? ? arccos a,n ? Z ?; (5)a ? R,方程tgx ? a的解集为? x x ? n? ? arctga,n ? Z ?; (6)a ? R,方程ctgx ? a的解集为? x x ? n? ? arcctga,n ? Z ?。

?

?



数列与极限

一、等差数列 1、等差数列的定义: 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。 a?b 2、如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。即: A ? 或 2A ? a ? b 2 3、等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d 。 【小秘书】该公式整理后是关于 n 的一次函数 4、等差数列的前 n 项和: S n ?
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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n(a1 ? a n ) 2 n(n ? 1) d 【对于此公式整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数】 或 S n ? na1 ? 2

5、等差数列的性质: ①当 d ? 0 时, ?an ? 是递增数列;当 d ? 0 时, ?an ? 是递减数列;当 d ? 0 时, ?an ? 是常数列。 ②等差数列任意两项间的关系: an ? am ? (n ? m)d ,d=

③对于等差数列 ?an ? ,若 n ? m ? p ? q ,则 an ? am ? a p ? aq 。 ④等差数列中每隔相同项数取出依次组成新数列还是等差数列;
*

a n ? a1 a ? am ,d= n 。 n ?1 n?m

⑤若数列 ?an ? 是等差数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N ,那么 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k ,…成等差数列。 如下图所示:
S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ,….. ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

6、等差数列的判定方法:

①定义法:对于数列 ?an ? ,若 an?1 ? an ? d (常数),则数列 ?an ? 是等差数列;

8

②等差中项:对于数列 ?an ? ,若 2an?1 ? an ? an?2 ,则数列 ?an ? 是等差数列; 7、任意类型的数列 an 与 sn 的关系式: an ? ? 【小秘书】一定要注意分类讨论。 二、等比数列 1、等比数列的概念: 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列, 这个常数叫做等比数列的公比,公差通常用字母 q 表示。 2、等比中项:如果 b ? ac ,那么 b 叫作 a , c 的等比中项。
2

(n ? 1) ? S1 。 ? Sn ? Sn?1 (n ≥ 2)

3、等比数列的判定方法: ①定义法:对于数列 ?an ? ,若
a n ?1 ? q ( q ? 0) ,则数列 an

?an ? 是等比数列;

2 ②等比中项:对于数列 ?an ? ,若 an an?2 ? an an ? 是等比数列; ?1 ,则数列 ?

4、等比数列的通项公式: an ? a1 ? q n?1 (n ? N ? ) 5、等比数列的前 n 项和公式:当 q ? 1 时, Sn ? na1 ; 当 q ? 1 时, Sn ?

a1 (1 ? q n ) 1? q

【小秘书】 (1)当公比不确定时,必须分情况进行讨论; (2)当 q ? 1 时,前 n 项和必须具备形式 Sn ? A(qn ?1),( A ? 0) 。 6、等比数列的性质:
n?m (1)若 ?an ? 是等比数列,则 a n ? a m q ; (m ? n)

(2)若 ?an ? 是等比数列, m, n, p, t ? N * ,当 m ? n ? p ? t 时, am ? an ? a p ? at 特别地,当 m ? n ? 2 p 时, am ? an ? ap
2

(3)若 ?an ? 是等比数列,则下标成等差数列的子数列构成等比数列; (4)若数列 ?a n ?是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N * ,一般地, S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2k 也成等比数 列。如下图所示:
S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2k ? a2k ?1 ? ? ? a3k ???? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

【小秘书】 (1)对于上述结论,在“ q ? ?1 且 k 为偶数”的情况下不成立; (2)对于等比数列的前 n 项积的类似性质如何? 若数列 ?a n ?是等比数列, Tn 是其前 n 项的和, k ? N * ,一般地, Tk , T2 k , T3 k 也 Tk T2 k 成等比数列。 (5)两个等比数列 {an } 与 {bn } 的积、商、倒数构成的数列 {an ? bn } 、 ? an ? 、 ? 1 ? 仍为等比数列。
? ? ? bn ? ? ? ? bn ?

9

三、常见数列求和的方法
一)基本公式: 1.等差数列的前 n 项和公式: S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1)d , S n ? na1 ? 2 2

2.等比数列的前 n 项和公式:

a1 (1 ? q n ) 1? q 当 q=1 时, S n ? na1 。
当 q ? 1 时, S n ? 二)常用数列的前 n 项和:

或 Sn ?

a1 ? a n q 。 1? q

1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n ?

n(n ? 1) ; 2 n(n ? 1)( 2n ? 1) 12 ? 2 2 ? 3 2 ? ?? ? n 2 ? ; 6

1 ? 3 ? 5 ? ?? ? (2n ? 1) ? n 2
13 ? 2 3 ? 33 ? ?? ? n 3 ? [ n(n ? 1) 2 ] 2

方法一 方法二 方法三 方法四

倒序相加法 拆项法(分组求和法) 裂项相消法 错位相减法

四、数学归纳法
1、数学归纳法的原理: 证明过程中一定要用归纳假设。 2、用数学归纳法解决探索性问题的思维方式:观察 ? 归纳 ? 猜想 ? 推理 ? 论证。 (主要用于数列探索性 问题中)

五、数列的极限
1、数列极限的定义: 2、几个常用的极限: (1) lim C=C(C 为常数) ;
n??

(2) lim

n??

1 =0; n

(3) lim q
n??

n

=0( q <1) ;

(4) lim

n??

an k ? b a = (k∈N*,a、b、c、d∈R 且 c≠0) ; cn k ? d c
n ?? n ??

(5) lim

a n ? bn ? 1 ( a ? b ) ?? n?? a n ? b n ?? 1 ( a ? b )

3、数列极限的运算法则:如果 lim an ? A , lim bn ? B ,那么

lim(an ? bn ) ? A ? B ;
n??

lim( an ? bn ) ? A ? B ;
n ??
n ?? n ??

lim
n ??

an A ? ( B ? 0) 。 bn B

特别地,如果 c 是常数,那么, lim ? c ? an ? ? c ? lim an ? ca 。 4、无穷等比数列的各项和: S ? lim Sn ? a1 (0 ?| q |? 1) 。 n ?? 1? q
10


1、向量的模: a ?

平面向量与解析几何

?

x2 ? y 2

2、单位向量:长度为 1 的向量。 3、平行向量(共线向量) 4、相等向量:方向相同、长度相等的向量。 5、平面向量的坐标运算 ①若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ; ②若 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? ; ③若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y); ④若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 。 6、平面向量的数量积: 1)向量的夹角: 2) 数量积的定义: 已知两个非零向量 a 和 b, 它们的夹角为θ, 则数量|a||b|cosθ叫做 a 与 b 的数量积, 记作 a〃 b, 即 a〃b=|a||b|cosθ. 3) 0 ? a ? 0 ; 4)当 a 与 b 同向时,a·b=|a||b|;当 a 与 b 反向时,a·b=-|a||b|, 特别地,a·a=|a|2,或|a|= a 2 ; 5)a⊥b ? a·b=0; a?b 6)cosθ = | a || b | 7)乘法公式:

?a ? b ? ? ?a ? b ? ? a

2

2 ?b2 ? a ? b ;

2

?a ? b ?

2

2 ? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ? a ? 2a ? b ? b ;

2

8)平面向量数量积的运算律 交换律: a ? b ? b ? a ;

? ? ?? ? R? ; 分配律: ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? ? a ? b ? 。
对实数的结合律: ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b 9)两个向量的数量积的坐标运算 设 a=(x1,y1) ,b=(x2,y2) ,则: (1)a·b=x1x2+y1y2;
2 2 (2)|a|= x1 ? y1 ;

? ?

11

(3)cos〈a,b〉=

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
2 2 2 2



(4)a⊥b ? a·b=0 ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

1、直线方程的几种形式 直线方程 点方向式 点法向式 点斜式 一般式 方向向量 d
?

法向量 n

?

斜率 k

x ? x0 y ? y0 ? u v

(u , v)
(?b, a) (1, k ) (?b, a)

(v, ?u )
( a, b) (k , ?1) ( a, b)

a( x ? x0 ) ? b( y ? y0 ) ? 0 y ? y0 ? k ( x ? x0 )
ax ? by ? c ? 0

v u a ? b
k

?

a b

【小秘书】直线 l1 、 l 2 的方程为:

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ( A1 B1C1 ? 0, A2 B2 C2 ? 0) ,
则 l1 ∥ l 2 ?

A1 B1 C1 ; ? ? A2 B2 C2

l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0

2、直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角:直线向上的方向与 x 轴正方向的夹角。范围 [0, ? ) (2)斜率:不是 90 的倾斜角的正切值叫做直线的斜率,即 k=tanα。 (3)过两点 P ? x1, y1 ? , P ? x2 , y2 ? ( x ? x )的直线的斜率公式 k ? tan ? ? 1 2 1 2
0

y2 ? y1 。 x2 ? x1

【小秘书】求直线斜率的方法: ①定义法:已知直线的倾斜角为α ,且α ≠90°,则斜率 k=tanα ; ②公式法:已知直线过两点 P1(x1,y1) 、P2(x2,y2) ,且 x1≠x2,则斜率 k=

y 2 ? y1 ; x 2 ? x1

③方向向量法:若 a =(m,n)为直线的方向向量,则直线的斜率 k=

n 。 m

12

3、点到直线的距离: d ?

ax0 ? by0 ? c a 2 ? b2 c1 ? c2 a 2 ? b2

4、平行直线 l1 与 l 2 的距离: d ?

5、两条直线的夹角公式:若直线 l1 的斜率为 k1 , l 2 的斜率为 k2 ,则: (1)直线 l1 与直线 l 2 所成的角(简称夹角) ? 满足: tan ? ?

k2 ? k1 (k1k2 ? ?1) 1 ? k1k2

(2) cos ? ?

a1a2 ? b1b2
2 2 a12 ? b12 ? a2 ? b2

(直线法向量的数量积公式的变形)

6、圆的标准方程与一般方程 1)圆心为 C (a, b) ,半径为 r 的圆的标准方程为: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 特别地,当 a ? b ? 0 时,圆心在原点的圆的方程为: x 2 ? y 2 ? r 2 2 ) 圆 的 一 般 方 程 : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 圆 心 为 ? ?
2 2

1 ? D E? D 2 ? E 2 ? 4F , (其中 ,? ? , 半 径 为 2 ? 2 2?

D2 ? E 2 ? 4F ? 0 )
3)二元二次方程 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,表示圆的方程的充要条件是:
2 2
2 2 ① x 项 y 项的系数相同且不为 0,即 A ? C ? 0 ;

②没有 xy 项,即 B=0; ③ D ? E ? 4 AF ? 0 .
2 2

7、直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种,若 d ? Aa ? Bb ? C , A2 ? B 2 则 相离 图 形 ?<0 ?=0 ?>0
13

相切

相交

方程角度

几何角度 D>r 【小秘书】直线和圆位置关系的判定方法

d=r

d<r

方法一: (方程的观点)即把圆的方程和直线的方程联立成一元二次方程组,利用判别式 ? 来讨论位置关系. ① ? ? 0 ,直线和圆相交; ② ? ? 0 ,直线和圆相切; ③ ? ? 0 ,直线和圆相离. 方法二: (几何的观点)即把圆心到直线的距离 d 和半径 R 的大小加以比较. ① d ? R ,直线和圆相交; ② d ? R ,直线和圆相切; ③ d ? R ,直线和圆相离. 8、椭圆的标准方程与几何性质 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数 (大于 | F1 F2 | ) 的点的轨迹叫 作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 标 准 方 程 焦点坐标

定义

几何 性质

顶点 范围 对称性

a, b, c 的关系
定 9、 双曲线 程与几何 义 的标准方 性质

标准方程 简 图 焦点坐标 几 顶 何 范 性 对称性 质 围 点

abc 关系

14

渐近线

2 2 2 2 【小秘书】1、与 x ? y ? 1 共渐近线的双曲线方程 x - y ? ? ( ? ? 0 ) ; 2 2 2 2
2 2 2、已知 P 为椭圆 x ? y ? 1 (a ? b ? 0) 上的一点, F1 , F2 是焦点, ?F1 PF2 ? ? ,则 ?F1 PF2 的面积是 b 2 tan ? 。 2 2 b a2

a

b

a

b

双曲线中, △PF1F2 的面积: S△ PF F ? b 2 ? cot ? ( ?F1PF2 ? ? , b 为虚半轴长) 。 1 2 2

10、抛物线的标准方程与性质 标准 方程

y 2 ? 2 px ( p ? 0)

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)

x2 ? 2 py ( p ? 0)

x2 ? ?2 py ( p ? 0)

图形 范围 焦点 准线 对称 轴 顶点 【小秘书】 1、抛物线的通径:通过焦点并且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点之间的线段叫做抛物线的通径。 通径的长为 2 p ,通径是过焦点最短的弦。 2、若抛物线 的焦点弦为 AB, ,则 , 。

3、遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

15

(1)在抛物线 中,以 为中点的弦所在直线的斜率为 (2)在求直线与二次曲线的相交弦的弦长时,应用韦达定理来求解:



AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2

五、矩阵与行列式
1、矩阵的加减法:对应位置相加减。 2、数乘矩阵:用数去乘矩阵的每一个元素。 3、矩阵的乘积 (1)矩阵的乘积:一般,设 A 是 m ? k 阶矩阵,B 是 k ? n 阶矩阵,设 C 为 m ? n 矩阵, (2)运算律 分配律: A( B ? C ) ? AB ? AC , ( B ? C ) A ? BA ? CA 结合律: ? ? AB? ? ??A?B ? A??B ? , 【小秘书:交换律不成立,即 AB ? BA】

? AB?C ? A?BC?

4、行列式 一、 二阶行列式:

a1 b1 = a1b2 ? a2b1 a2 b2
b1 b2 b3 c2 ? a1b2 c3 ? a2b3c1 ? a3b1c2 ? a3b2 c1 ? a2b1c3 ? a1b3c2 ; c3 c1

a1 (2)三阶行列式: a

2

a3

(3)余子式与代数余子式:

5、三元一次方程组的行列式解法 ? a1 x ? b1 y ? c1 z ? d1 三元一次方程组 ? ?a2 x ? b2 y ? c2 z ? d 2 , ?a x ? b y ? c z ? d 3 3 3 ? 3
a1 b1 c1 d1 b1 c1 a1 行列式 D ? a b c , D ? d b c , D ? a 2 2 2 x 2 2 2 y 2 a3 b 3 c3 d 3 b 3 c3 a3 d1 d2 d3 c1 a1 b1 b2 b3 c2 , D z ? a 2 c3 a3 d2 , d3 d1

其中方程组的系数行列式为 D, 则(1) D ? 0 时,方程组有唯一解;
16

(2) D ? 0 , Dx ? Dy ? Dz ? 0 时,方程组无解或者有无穷多解; (3) D ? 0 , Dx , Dy , Dz 中至少有一个不为 0 时,方程组无解。

六、复数及其运算
一、复数的相关概念与运算 1、 z ? a ? bi ? R ? b ? 0 ? z ? z ; z ? a ? bi为虚数 ? b ? 0 ;
z ? a ? bi为纯虚数 ? a ? 0, 且b ? 0 。

2、复数相等: a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d 3、共轭复数: z1 ? z2 ? z1 ? z2 ; z1 ? z2 ? z1 ? z2 ; z1 ? z2 ? z1 ? z2 ;

(

z1 z ) ? 1 ; ( z)n ? ( z)n ( n ? N ? ) z2 z2

4、复数的模:若 z ? a ? bi, 则 z ?

a 2 ? b2 ; z ? z ;
n

z ? z ? z; z1 ? z2 ? z1 z2 ;

2

z z1 ? 1 ; z2 z2

z1n ? z1 ; z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? z1 ? z2 ( n ? N ? )
5、复数的四则运算: z m ? z n ? z m? n ; z m

? ?

n

n ? z mn ; ?z1 ? z2 ? ? z1n ? z2 n

( m, n ? N )

?

二、复数的平方根、立方根与实系数一元二次方程 1、复数的平方根 如果 a ? bi , c ? di (a , b , c , d ? R) 满足: (a ? bi) 2 ? c ? di ,则称 a ? bi 是 c ? di 的一个平方根。 【小秘书】 (1)一个非零复数的平方根都有相应的两个复数; (2)复数的平方根一般不要记为 z 。 2、复数的立方根
3 若复数 z1 , z 2 满足 z1 ? z 2 ,则称 z 1 是 z 2 的立方根。

【小秘书】1 的立方根有三个:1, ? , ? (其中 ? ? ?
2

1 3 2 ? i) ,满足 1 ? ? ? ? ? 1。 2 2

3、实系数一元二次方程:
2 实系数的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ( a 、 b 、 c ? R ,且 a ? 0 )

(1)当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,方程有两个不相等的实数根;
2

(2)当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,方程有两个相等的实数根;
2

(3)当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,方程在复数集范围内有一组共轭虚根
2

17

x?

? b ? 4ac ? b 2 i b 4ac ? b 2 ?? ? i 2a 2a 2a

x2 ? x1 ,∴ x1 ? x2 ?| x1 |2 , x1 ? x2 ? 2Re x1 .
这时两根仍然满足韦达定理: x1 ? x 2 ? ?



b c , x1 ? x 2 ? a a

【小秘书】 (1)实系数一元二次方程有虚根必定成对出现,并且共轭。 (2)实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 在复数范围内总有两个解 x1 、 x2 ,总可以进行因式分
2

解: ax2 ? bx ? c ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) 。


一)两个计数原理

排列、组合、概率与二项式定理

1、加法原理(分类计数原理) 2、乘法原理(分步计数原理) 【小秘书】加法原理与乘法原理的区别: 加法原理:方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事。 乘法原理:各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件。

二)排列 1、排列:从 n 个不同元素中任取 m 个元素,按照一定的次序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的一个排列。排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数。 2、排列数公式: Pnm =

n! =n〃(n-1)…(n-m+1); (n ? m)!

阶乘 Pnn =n!

3、附有限制条件的排列 (1)对附有限制条件的排列,思考问题的原则是优先考虑受限制的元素或受限制的位置. (2)对下列附有限制条件的排列,要掌握基本的思考方法: 元素在某一位置或元素不在某一位置; 元素相邻——捆绑法,即把相邻元素看成一个元素; 元素不相邻——插空法; 比某一数大或比某一数小的问题主要考虑首位或前几位. (3)对附有限制条件的排列要掌握正向思考问题的方法——直接法;同时要掌握一些问题的逆向思考问 题的方向——间接法. 【方法指导】解决排列组合问题常见的解题方法有: 直接法,间接法,捆绑法,插空法,隔板法,固定秩序法,元素优先法,位置优先法等。 (1)直接法:根据加法原理及乘法原理,直接把一个复杂的事件分解成为简单的排列组合问题,这种解题

18

方法为直接法。 (2)间接法:不管限定条件,全部的排列数或组合数,必含两类情况,一类是符合题意限定条件的种数, 另一类不符合题意限定条件的种类, 用全部种类减去不符合题意限定条件的种类可得符合题 意限定条件的种类, 此种方法属数学中常用的间接法。 当符合题意限定条件中的种类不易求, 或情况多样易出错,而不符合题意条件的种类易求时,常采用此法。 (3)捆绑法:关于某些元素必“相邻”的问题,可把这些元素看作一个整体,当成一个元素和其它元素进 行排列,然后这些元素自身再进行排列,这种方法叫做捆绑法。 (4)插空法:若题目限制某些元素必“不相邻” ,可将无此限制的元素进行排列,然后在它们的空格处, 插入不能相邻元素,这种方法叫插空法。 三)组合的概念与性质 (1)组合:从 n 个不同元素中任取 m 个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合, 组合的个数叫组合数,用 C m n 表示。 【小秘书】排列与组合的区别:

(2)组合数公式:Cn =

m

n! n(n - 1)?(n - m ? 1) = ; m!( n ? m)! m ? (m ? 1) ? ? ? 2 ? 1
m n-m

(3)组合数的性质:①Cn =Cn ;

m m ?1 ②C m n ?1 =C n +C n

二项式定理
1、二项式展开公式:
0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b

2、二项展开式的通项公式
二项展开式中的 Cn a
r n?r

b r 叫做二项展开式的通项,用 Tr ?1 来表示。即通项为展开式的第 r ? 1 项:
n ?r r Tr ?1 ? Cr b 。其中 Cr ,2,?, n) 叫做二项式系数。 na n (r ? 0,1

对于 (a ? b) 的展开式,其通项公式为: Tr ?1
n

n?r r ? (?1)r Cr b 。 na

由于其通项一般记为 Tr ?1 ,所以 r 不是项数, r

? 1 才是项数;反过来,当已知项数时,将它减去 1,才得到 r。

3、二项展开式的通项公式的作用
二项展开式的通项公式,反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系,因此能运用二项展开式的通项公式求特 定项、特定项系数、常数项、有理项及系数最大、绝对值最大的项。

19

【小秘书】注意二项式系数与项的系数的区别!

4、二项式系数的和
在二项式定理中,令 a
n

1 2 n n ? b ? 1 ,则 C0 n ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? 2
n

这就是说, (a ? b) 的展开式的各二项式系数的和等于 2 。 同时由于 Cn
0 2 3 n n ? 1 ,上式还可以写成: C1 n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2 ? 1

随机事件的概率
1、随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件. 2、必然事件:在一定条件下必然要发生的事件. 3、不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件. 5、等可能性事件的概率: 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件, 通常此试验中的某一事件 A 由几个基本 事件组成。如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,即此试验由 n 个基本事件组成,而且所有结果出现的 可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是 率 P(A)=

1 。如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那么事件 A 的概 n

m 。 n

【小秘书】使用公式 P(A)=

m 计算时,确定 m、n 的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模 n 式,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏.

基本统计方法
一、抽样方法与总体分布的估计
1、简单随机抽样:一般地,设一个总体的个体数为 N,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时 各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样. 2、分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,为了使样本更充分地反映总体的情况,常将总体分成几部分, 然后按照各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样.

3、总

体:在数理统计中,通常把被研究的对象的全体叫做总体.

4、频率分布:用样本估计总体,是研究统计问题的基本思想方法,样本中所有数据(或数据组)的频数和样本容量 的比,就是该数据的频率.所有数据(或数据组)的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.可以用样 本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示.
20

5、总体分布:从总体中抽取一个个体,就是一次随机试验,从总体中抽取一个容量为 n 的样本,就是进行了 n 次试 验,试验连同所出现的结果叫随机事件,所有这些事件的概率分布规律称为总体分布. 6、 (1)平均数: x ?

1 ? x1 ? x2 ? n

? xn ? .

n n ?1 (2)中位数:将 n 个数从小到大排列,n 为奇数时,第 n ? 1 个数;n 为偶数时,第 和 两数的平均数称为这 n 2 2 2

个数的中位数。 (3)众数:一组数据中出现次数最多的数据。 (4)加权平均数: x ?
f1 x1 ? f 2 x2 ? f n xn fi , 其中 f1 ? f 2 ? ? f n f1 ? f 2 ? ? fn

称为xi的权,表示xi 在平均数x中所占的比重的大小

(5)方差: S ?
2

1 ( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 n

?

?

标准差: S ? S 2 这两个量都是用来衡量数据偏离平均数的程度, 方差的单位是数据单位的平方, 标准差的单位和数据单位相同。 (6)参数估计:用样本的标准差作为总体标准差的点估计值: S ?
1 ? 2 2 ? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? n ?1 ?

? xn ? x ?

2

? ?


1、基本表示法 2、平面的基本性质

立体几何

公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理 2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公 共点的直线。 公理 3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面.

3、空间线面的位置关系
平行—没有公共点 共面 (1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点

异面(既不平行,又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点
21

(直线在平面外) 相交—有且只有一个公共点 相交—有一条公共直线(无数个公共点) (3)平面与平面 平行—没有公共点

4、异面直线的判定
证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”.

5、线面关系
(1)线面平行 ①判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 ②性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。 ③其他性质:平行于同一直线的两直线平行. 垂直于同一平面的两直线平行. (2)线面垂直 ①定义:如果一条直线 l 和一个平面α相交,并且和平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 和平面α 互相垂直。 ②判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。 ③性质定理:如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于平面内所有的直线。 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ④三垂线定理 在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直。 ⑤常见结论:如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面. 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面

6、有关存在性和唯一性的结论
(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条; (2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条; (3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个; (4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条; (5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个; (6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个; (7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个; (8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.

7、空间中的各种角
(1)等角定理及其推论 定理:若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,则这两个角相等. 推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,则这两组直线所成的锐角(或直角)相等. (2)异面直线所成的角 取值范围:0°<θ ≤90°. 求解方法: ①根据定义,通过平移,找到异面直线所成的角 θ ;
22

②解含有 θ 的三角形,求出角 θ 的大小. (3)直线和平面所成的角 取值范围:0°≤θ ≤90° 求解方法: ①作出斜线在平面上的射影,找到斜线与平面所成的角 θ . ②解含 θ 的三角形,求出其大小. 最小角定理:斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角,亦可说, 斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.

8、空间中的各种距离
(1)点到平面的距离 求点面距离常用的方法: 1)直接利用定义 ①找到(或作出)表示距离的线段; ②抓住线段(所求距离)所在三角形解之. 2)体积法 ①在平面内选取适当三点,和已知点构成三棱锥; ②求出此三棱锥的体积 V 和所取三点构成三角形的面积 S; ③由 V=

1 S·h,求出 h 即为所求. 3

(这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.) 3)转化法:将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求. (2)直线和平面的距离 一般将线面距离转化为点面距离,然后运用解三角形或体积法求解之.


侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱。 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。



1、有两个面互相平行,其余各面的公共边互相平行的多面体叫做棱柱。

2、 {四棱柱} ? {平行六面体} ? {直平行六面体} ? {长方体} ? {正四棱柱} ? {正方体}. {直四棱柱} ? {平行六面体}={直平行六面体}.
四棱柱 底面是 平行四边形 平行六面体 侧棱垂直 底面 直平行六面体 底面是 矩形 长方体 底面是 正方形 正四棱柱 侧面与 正方体 底面边长相等

3、棱柱的性质: ①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等; 直棱柱的各个侧面都是矩形 ; ........ 正棱柱的各个侧面都是全等的矩形 。 ..... ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等 多边形. .. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 4、平行六面体: (1)平行六面体的对角线交于一点 ,并且在交点处互相平分. ............. (2)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.

23

(3)长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为 ? , ? , ? ,则 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1 . (4)长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为 ? , ? , ? ,则 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 2 . 5、计算公式: (1)直棱柱侧面积: S ? Ch ( C 为底面周长, h 是高) (2)斜棱住侧面积: S ? C1l ( C1 是斜棱柱直截面周长, l 是斜棱柱的侧棱长) (3)棱柱的体积: V ? Sh





1、定义:棱锥是一个面为多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形。 [注]:一个棱锥可以四各面都为直角三角形. 正棱锥:底面是正多边形;顶点在底面的射影为底面的中心。 正四面体:各棱相等。而正三棱锥是底面为正△,侧棱与底棱不一定相等。 2、棱锥的性质: ①正棱锥各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜 高) 。 ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形; 正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。 3、特殊棱锥的顶点在底面的射影位置: ①棱锥的侧棱长均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心。 ②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心。 ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形内心。 ④棱锥的顶点到底面各边距离相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形内心。 ⑤三棱锥有两组对棱垂直,则顶点在底面的射影为三角形垂心。 ⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直,则顶点在底面上的射影为三角形的垂心。 4、 (1)正棱锥的侧面积: S ? (2)棱锥的体积: V ?
1 Ch ' (底面周长为 C ,斜高为 h ' ) 2

1 Sh 3

圆柱与圆锥

24

图形

定义 轴 母线 底面 平行于底 的截面 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形

有关线

有关面

侧面 展开图

侧面积 体 积

S侧 ? cl ? 2?r ? l
V ? Sh

S侧 ?

1 cl ? ?r ? l 2 1 V ? Sh 3

二、球
(1)球:球的截面是一个圆面 ①球的表面积公式: S ? 4?R 2 . 4 ②球的体积公式: V ? ?R 3 . 3 (2)球面距离:过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长。 (3)纬度、经度 ①纬度:地球上一点 P 的纬度是指经过 P 点的球半径与赤道面所成的角的度数. ②经度:地球上 A, B 两点的经度差,是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度 数,特别地,当经过点 A 的经线是本初子午线时,这个二面角的度数就是 B 点的经度.

(4)球的截面的性质: ①球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于截面;

25

②设球心到截面的距离为 d,截面圆的半径为 r,球的半径为 R,则 r ? d ? R 。
2 2 2

③以过球心的平面截球面,截面圆叫大圆。以不经过球心的平面截球面,截面圆叫小圆。若把地球看作一 个球时,经线就是球面上从北极到南极的半个大圆。赤道是一个大圆,其余的纬线都是小圆。

26

27


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