数学:2.3.2《抛物线的简单几何性质》PPT课件(新人教版A选修1-1)


2.3.2《抛物线的简单几何性质》

教学目标
? 知识与技能目标 ? 使学生理解并掌握抛物线的几何性质,并能从抛物线的标准 方程出发,推导这些性质. ? 从抛物线的标准方程出发,推导抛物线的性质,从而培养学 生分析、归纳、推理等能力 ? 过程与方法目标 ? 复习与引入过程 ? 1.抛物线的定义是什么? ? 请一同学回答.应为:“平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.” ? 2.抛物线的标准方程是什么? ? 再请一同学回答.应为:抛物线的标准方程是y2=2px(p>0) ,y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0)和x2=-2py(p>0). ? 下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质,从抛物线的标准方 程y2=2px(p>0)出发来研究它的几何性质.《板书》抛物线 的几何性质

抛物线的简单几何性质(一) 物线的简单几何性质(

复习
标准方程 图形

y = 2 px ( p > 0)
2

K

y

d
M

﹒x o F
p p 焦点 F ( , 0) 和准线 l : x = ? 2 2

焦点和准线

你认为这个标准方程对应的抛物线 还有什么几何性质呢? ?

类比探索
结合抛物线y 的标准方程和图形,探索 结合抛物线 2=2px(p>0)的标准方程和图形 探索 的标准方程和图形 其的几何性质: 其的几何性质 Y (1)范围 范围 x≥0,y∈R ∈
X

轴对称 (2)对称性 关于x轴对称 对称轴 对称性 关于 轴对称,对称轴 又叫抛物线的轴. 又叫抛物线的轴 (3)顶点 顶点 抛物线和它的轴的交点. 抛物线和它的轴的交点

(4)离心率 离心率 (5)焦半径 焦半径 (6)通径 通径

始终为常数1 始终为常数 |PF|=x0+p/2

y

P

O

F

x

通过焦点且垂直对称轴的直线,与抛物线相 通过焦点且垂直对称轴的直线, 交于两点, 交于两点,连接这两点的线段叫做抛物线的 通径。 通径。 通径的长度:2P
利用抛物线的顶点 通径的两个端点 顶点、 端点可较准确画出 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。 反映抛物线基本特征的草图。

思考:通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗?

特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它可以无 抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 抛物线只位于半个坐标平面内 限延伸,但它没有渐近线 但它没有渐近线; 限延伸 但它没有渐近线 2
y =4x y2=2x 2.抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心; 2
4 3 2 1 -2 2 4 6 8 10

2 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线 抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 抛物线只有一个顶点
-1 -2

y =x 1 2= y x

4.抛物线的离心率是确定的 为1; 抛物线的离心率是确定的,为 抛物线的离心率是确定的
-3 -4 -5

5.抛物线标准方程中的 对抛物线开口的影响 抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响 抛物线标准方程中的 对抛物线开口的影响. P越大 开口越开阔 越大,开口越开阔 越大

图 形
y
l O F

方程

焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈R ∈ x≤0 y∈R ∈ (0,0) x轴 轴

e

y2 = 2px p p F ( ,0 ) x = ? ) x (p>0) 2 2
l

y
F O

y2 = -2px p p F ( ? ,0 ) x = ) 2 x(p>0) 2

y
O

1

F

l

x2 = 2py p p y≥0 F (0, ) y = ? ) 2 2 x∈R x (p>0) ∈ y轴 轴 x2 y≤0 x∈R ∈

y
O F

= -2py F (0,? p ) y = p 2 x(p>0) 2 )

l

典型例题: 典型例题: 已知抛物线关于x轴对称 例1.已知抛物线关于 轴对称,顶点在坐标 已知抛物线关于 轴对称, 原点,并且过点 并且过点M(2, ?2 2 ),求它的标准方程 求它的标准方程. 原点 并且过点 求它的标准方程
当焦点在x(y)轴上 开口方向不定时 设为 2=2mx(m 轴上,开口方向不定时 设为y 当焦点在 轴上 开口方向不定时,设为 ≠0)(x2=2my (m≠0)),可避免讨论 可避免讨论 解:因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在原点,并且经过
点M (2,?2 2 ), 所以,可设它的标准方程为y 2 = 2 Px( P > 0)

因为点M在抛物线上,所以(?2 2 ) 2 = 2 P ? 2,即p = 2 因此,所求抛物线的标 准方程是y = 4 x
2

变式: 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴 对称轴是坐标轴,并且过点 变式 顶点在坐标原点 对称轴是坐标轴 并且过点 M(2, ?2 2 )的抛物线有几条 求它的标准方程 的抛物线有几条,求它的标准方程 的抛物线有几条 求它的标准方程.

例 2 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点 F, 且与抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长. 两点, 的长.

解这题,你有什么方法呢? 解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大); 法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般); 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理, 法三 :设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长. 算弦长. 计算, 思维. 法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.

还有没有其他方法? 还有没有其他方法?

斜率为1的直线 的焦点F, 例2.斜率为 的直线 经过抛物线 y2 = 4x 的焦点 斜率为 的直线L经过抛物线 且与抛物线相交于A,B两点 求线段AB的长 且与抛物线相交于 两点,求线段 的长. 两点 求线段 的长 解法一:由已知得抛物线的焦点 解法一 由已知得抛物线的焦点 所以直线AB的方程为 为F(1,0),所以直线 的方程为 所以直线 y=x-1
y

A’ O

A F B
x

代入方程y 2 = 4 x , 得( x ? 1)2 = 4 x , 2 化简得 x ? 6 x + 1 = 0 . ? x1 + x2 = 6 ∴ ? B’ ? x1 + x2 = 1
∴ AB = 2 ( x1 + x2 ) ? 4 x1 x2 = 8
2

所以,线段AB的长是8。

例2.斜率为 的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点 斜率为 的直线 且与抛物线相交于A,B两点 求线段 的长 两点,求线段 的长. 且与抛物线相交于 两点 求线段AB的长 解法二:由题意可知 解法二 由题意可知, 由题意可知 p p = 2, = 1, 准线l : x = ?1. 2
y

A’ O B’

A F B
x

设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), A, B到 准线l的距离分别为d A , d B .
由抛物线的定义可知 AF = d A = x1 + 1, BF = d B = x2 + 1,

所 以 A B = A F + B F = x1 + x 2 + 2 = 8

变式: 过抛物线y 的焦点F任作一条直线 变式: 过抛物线 2=2px的焦点 任作一条直线 , 的焦点 任作一条直线m, 交这抛物线于A、B两点,求证:以AB为直径的圆 两点, 交这抛物线于 两点 求证: 为直径的圆 和这抛物线的准线相切. 和这抛物线的准线相切.

分析:运用 分析: 抛物线的定 义和平面几 何知识来证 比较简捷. 比较简捷.

C H D

y

B O E F A
x

证明:如图.
的中点为E, 分别向准线l引垂 设AB的中点为 ,过A、E、B分别向准线 引垂 的中点为 、 、 分别向准线 线AD,EH,BC,垂足为 、H、C, , , ,垂足为D、 、 , |=|AD|,| |=|BC| 则|AF|=| |,| |=| | |=| |,|BF|=| ∴|AB| | =|AF|+| |+|BF| =| |+| | =|AD|+| |+|BC| =| |+| | =2|EH| | | 所以EH是以 为直径的 所以 是以AB为直径的 是以 的半径, 圆E的半径,且EH⊥l,因 的半径 ⊥, 而圆E和准线 相切. 和准线l相切 而圆 和准线 相切.
C H D
y

B O E F A
x

练习: 练习 1.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 轴, 已知抛物线的顶点在原点, 已知抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 焦点在直线3x-4y-12=0上,那么抛物线通径 焦点在直线 16 上 长是______________. 长是 2.过抛物线 y2 = 8x 的焦点 作倾斜角为45 过抛物线 的焦点,作倾斜角为
0

16 的直线,则被抛物线截得的弦长为 则被抛物线截得的弦长为_________ 的直线 则被抛物线截得的弦长为
3.垂直于 轴的直线交抛物线 2=4x于A、B, 垂直于x轴的直线交抛物线 垂直于 轴的直线交抛物线y 于 、 求直线AB的方程 且|AB|=43 ,求直线 的方程 求直线 的方程. X=3

过抛物线焦点F的直线交抛物线于 两点, 例3.过抛物线焦点 的直线交抛物线于 过抛物线焦点 的直线交抛物线于A,B两点 两点 通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于 通过点 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于 求证:直线 平行于抛物线的对称轴. 点D,求证 直线 平行于抛物线的对称轴 求证 直线DB平行于抛物线的对称轴
y A

F
O D B

x

过抛物线焦点F的直线交抛物线于 的直线交抛物线于A,B两点,通过点 和抛物线顶点的 两点, 例3 过抛物线焦点 的直线交抛物线于 两点 通过点A和抛物线顶点的 直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴 平行于抛物线的对称轴。 直线交抛物线的准线于点 ,求证:直线 平行于抛物线的对称轴。

证明:以抛物线的对称轴为x轴,它的顶点为原点, 建立直角坐标系。设抛物线的方程为y 2 = 2 px, y 2 y0 2p 点A的坐标为( , y0 ), 则直线OA的方程为y = x, 2p y0 p 抛物线的准线是x = ? 2 p2 联立可得点D的纵坐标为y = ? . y0 O F p 因为点F的坐标是( ,0), 所以直线AF的 2 D B p x? y 方程为 = 2 2 . y0 p y0 ? 2p 2 p2 联立可得点B的纵坐标为y = ? . 所以DB // x轴。 y0

A
x

小结: 小结
1.掌握抛物线的几何性质 范围、对称性、顶点、 掌握抛物线的几何性质:范围 对称性、顶点、 掌握抛物线的几何性质 范围、 离心率、通径 离心率、通径; 2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、 会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、 会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程 焦点坐标及解决其它问题; 焦点坐标及解决其它问题

2.3 2.3.2 抛物线的简单几何性质 (二)

图形

标准方程
2

范围

对称性
关于x 关于 轴 对称, 对称,无 对称中心 关于x 关于 轴 对称, 对称,无 对称中心 关于y 关于 轴 对称,无 对称, 对称中心 关于y 关于 轴 对称, 对称,无 对称中心

顶点

离心率 e=1

y = 2 px x ≥ 0 , ( p > 0) y ∈ R
y = ?2 px x ≤ 0 , ( p > 0) y ∈ R
2

( 0 ,0 )
( 0 ,0 ) ( 0 ,0 )
( 0 ,0 )

e=1

x = 2 py y ≥ 0 , ( p > 0) x ∈ R
2

e=1 e=1

x = ?2 py y ≤ 0 , ( p > 0) x ∈ R
2

例 1 已知抛物线的方程为 y = 4 x ,直线 l 过定点 为何值时, P ( ?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 ,直线 l 与抛物线 只有一个公共点; 有两个公共点; y 2 = 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点? 没有公共点?
2

分析:直线与抛物 分析 直线与抛物 线有一个公共点 的情况有两种情 形:一种是直线 平行于抛物线的 对称轴; 对称轴; 另一种是直线与 抛物线相切. 抛物线相切.

?

判断直线与抛物线位置关系的操作程序 把直线方程代入抛物线方程

得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行 相交(一个交点) 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 相交 =0 相切 <0 相离

解:由题意,设直线 l的方程为 y ? 1 = k ( x + 2).

? y ? 1 = k ( x + 2) 由方程组? 可得ky 2 ? 4 y + 4(2k + 1) = 0 y2 = 4x ?
(1)当k = 0时,由方程得y = 1.

1 这时,直线l与抛物线只有一个公共点( ,1) 4 (2)当k ≠ 0时,方程的判别式为?= ? 16(2k 2 + k ? 1).

1 把y = 1代入y = 4 x, 得x = . 4
2

10由?=0,即2k 2 + k ? 1 = 0
1 解得k = ?1, 或k = . 2 1 即当k = ?1,或k = 时,方程组只有一个解, 2 即直线与抛物线只有一个公共点。

20由? > 0,即2k 2 + k ? 1 > 0

分析: 分析

1 直线与抛物线有两个 解得 ? 1 < k < . 2 公共点时△ 公共点时△>0 1 即当 ? 1 < k < , 且k ≠ 0时,方程组有两个解, 2 即直线与抛物线有两个公共点。 分析: 分析

30由? < 0,即2k 2 + k ? 1 < 0

1 解得k < ?1,或k > . 2 1 即当k < ?1或k > 时,方程组没有实数解, 2 即直线与抛物线没有公共点。

直线与抛物线没有公 共点时△ 共点时△<0

1 综上所述,当k = ?1,或k = ,或k = 0时, 2 即直线与抛物线只有一个公共点。 1 当 ? 1 < k < , 且k ≠ 0时, 2 即直线与抛物线有两个公共点。 1 当k < ?1或k > 时, 2 即直线与抛物线没有公共点。

在方程中,二次项系数含有 所以要对k进行讨论 注:在方程中 二次项系数含有 所以要对 进行讨论 在方程中 二次项系数含有k,所以要对 作图要点:画出直线与抛物线只有一个公共点时的情 作图要点 画出直线与抛物线只有一个公共点时的情 观察直线绕点P转动的情形 形,观察直线绕点 转动的情形 观察直线绕点

变式一:已知抛物线方程 为何值时,直线 变式一 已知抛物线方程y2=4x,当b为何值时 直线 已知抛物线方程 当 为何值时 l:y=x+b与抛物线 只有一个公共点 两个公共 与抛物线(1)只有一个公共点 与抛物线 只有一个公共点(2)两个公共 没有公共点.当直线与抛物线有公共点时 点(3)没有公共点 当直线与抛物线有公共点时 的 没有公共点 当直线与抛物线有公共点时,b的 最大值是多少? 最大值是多少

分析:本题与例 类型相似 方法一样,通 分析 本题与例1类型相似 方法一样 通 本题与例 类型相似,方法一样 过联立方程组求得. 过联立方程组求得 (1)b=1 (2)b<1

(3)b>1,当直线与抛物线有公共点时 的 当直线与抛物线有公共点时,b的 当直线与抛物线有公共点时 最大值当直线与抛物线相切时取得.其值 最大值当直线与抛物线相切时取得 其值 为1

变式二:已知实数 、 满足方程 满足方程y 变式二 已知实数x、y满足方程 2=4x,求函数 已知实数 求函数 的最值 本题转化为过定点(-2,1)的直线与抛物线有公共点时 本题转化为过定点 的直线与抛物线有公共点时 斜率的最值问题. 斜率的最值问题 1
y?1 z = x+2

kmax =

2

kmin = ?1

变式三:点 在抛物线y 上运动,求函数 变式三 点(x,y)在抛物线 2=4x上运动 求函数 在抛物线 上运动 求函数z=x-y 的最值. 的最值 本题转化为直线y=x-z与抛物线有公共点时 的最值 与抛物线有公共点时z的最值 本题转化为直线 与抛物线有公共点时 问题. 问题

zmin = ?1 无最大值

例2、过抛物线焦点作直线交抛物线y 2 = 2 px ( p > 0)于 A,B两点,设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 求证 : y1 y2 = ? p 2 .

过定点F且不与 解:因为直线AB过定点 且不与 轴平 因为直线 过定点 且不与x轴平 设直线AB的方程为 行,设直线 的方程为 设直线
2

? y = 2 px p O ? 2 ? p ∴ y = 2 p ( my + ) 2 ? x = my + ? 2
即: y ? 2 pmy ? p = 0
2 2

p x = my + 2

y A F B x

∴ y1 y 2 = ? p  (定值)
2

例2、过抛物线焦点作直线交抛物线y 2 = 2 px ( p > 0)于 A,B两点,设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 求证 : y1 y2 = ? p 2 .

y
联 : 在 样 条 下, 注 到 想 同 的 件 意 y1 y2 = ? p , 那 x1x2 = ________? 么
2

A F B x

O 2 变 1: 过 物 y = 2 px( p > 0)焦 题 抛 线 点 F的 线 交 物 于 A(x1, y1) 直 , 抛 线 点 、
p2 B(x2 , y2 ), 则 x1x2 = . 有 4

p 联想2 :由于直线AB过点焦点F( ,0) 2 时有y1 y2 = ? p2成立, 那么反之是否 也成立?
2

A y F B x

变 2: 抛 题 物线y = 2 px( p > 0)上 O 两 个动 A(x1, y1) (x2 , y2 ), 若 点 、B y1 y2 = ? p ,则 直线 过 AB 抛物 线
2

焦 F. 点

联 3:由 焦 比 特 , 想 于 点 较 殊 对 在 物 的 上 一 于 抛 线 轴 的 般 点 结 又 怎 呢? 的 , 论 会 样

y A

变 3: 设 (a,0)是 物 y = 2 px 题 M 抛 线
2

O M ( p > 0)的 上 一 定 , 过 的 轴 的 个 点

F B

x

直 交 物 于 (x1, y1) (x2 , y2 ) 线 抛 线 A 、B 两 , 求 : y1 y2与 1x2均 定 . 点 证 x 为 值

小结: 小结: 设而不求,联立方程组,韦达定理这是研 设而不求,联立方程组,韦达定理这是研 究直线和圆锥曲线的位置关系问题的重要方 法.


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