2006年高考试题——数学文(重庆卷)


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解密时间:2006 年 6 月 7 日 17:00 【考试时间:6 月 7 日 15:00—17:00】

2006 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)

数学试题卷(文史类)
数学试题(文史类)共 5 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回。

参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) . 如果事件 A、B 相互独立,那么 P ( A B ) = P ( A) P ( B ) . 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P, 那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概 率
k Pn (k ) = C n P k (1 P ) n k .

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的. (1)已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7},A= {2,4,5, 7},B = {3,4,5},则(CUA)∪(CUB)= (A){1,6} (C){2,3,4,5,7} (D){1,2,3,6,7} (2)在等比数列{a n}中,若 a n>0 且 a 3a7 = 64,则 a 5 的值为 (A)2 (C)6 (B)4 (D)8 (B){4,5}

(3)以点(2, -1)为圆心且与直线 3 x 4 y + 5 = 0 相切的圆的方程为 (A)( x-2 )2 + ( y+1 )2 = 3 (B)( x+2 )2 + ( y-1 )2 = 3

(C)( x-2 )2 + ( y+1 )2 = 9 (4)若 P 是平面 α 外一点,则下列命题正确的是 (A)过 P 只能作一条直线与平面 α 相交 (C)过 P 只能作一条直线与平面 α 平行 (5)( 2x-3 )5 的展开式中 x2 项的系数为 (A)-2160 (B)-1080
-1

(D)( x+2 )2 + ( y-1 )2 = 9

(B)过 P 可作无数条直线与平面 α 垂直 (D) P 可作无数条直线与平面 α 平行 过

(C)1080

(D)2160

(6)设函数 y = f( x)的反函数为 y = f y=f
-1

(x), 且 y = f( 2x-1)的图象过点 1 ,1 , 则 2 (B) 1, 1 2 (D) (0,1)

(x)的图象必过点

(A) 1 ,1 2 (C) (1,0)

(7) 某地区有 300 家商店, 其中大型商店有 30 家, 中型商店有 75 家, 小型商店有 195 家. 为 了掌握各商店的营业情况, 要从中抽取一个容量为 20 的样本. 若采用分层抽样的方法, 抽取的中型商店数是 (A)2 (B)3 (C)5 (D)13

(8) 已知三点 A (2,3), B (-1,-1), C (6, k), 其中 k 为常数. | AB |=| AC | , 则 AB与 若

AC 的夹角为
(A)arccos 24 25 (C)arccos 24 25 (B) π 或 arccos 24 2 25 (D) π 或π-arccos 24 2 25

(9)高三(一)班需要安排毕业晚会的 4 个音乐节目,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演 出顺 序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是 (A)1800 (10)若 α , β ∈ 0, (B)3600 (C)4320 (D)5040



β π 3 1 α , sin β = , 则 cos(α + β ) 的值等于 , cosα =
2
2 2 2 2

(A)

3 2

(B)

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

x y 9 (11)设 A(x1,y1), 4, ,C(x2,y2)是右焦点为 F 的椭圆 + = 1 上三个不同的点, 25 9 5
则“| AF |,| BF |,| CF | 成等差数列”是“x1+x2 = 8”的 (A)充要条件 (C)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

2

2

(12)若 a,b,c > 0 且 a2 + 2ab + 2ac + 4bc = 12,则 a + b + c 的最小值是 (A) 2 3 (C)2 (B)3 (D) 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填写在答题卡相应位置上.

(13)已知 sin α =

2 5 π , < α < π ,则 tan α = ______________. 2 5

(14)在数列{an}中,若 a1 = 1,a n+1 = a n +2 (n≥1) ,则该数列的通项 a n = ____________. (15) a>0, a≠1, 函数 f x)= log a 2 – 2x + 3)有最小值, 则不等式 log a 设 ( (x (x-1)>0 的解集为__________.

(16)已知变量 x,y 满足约束条件

x + 2 y 3 ≤ 0, x + 3 y 3 ≥ 0, y 1 ≤ 0.

若目标函数 z = ax + y (其中 a > 0)仅在点(3,0)处取得最大值,则 a 的取值范围 为 _______________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 13 分) 甲、乙、丙三人在同一办公室工作,办公室里只有一部电话机,设经该机打进的电话是 打 给甲、乙、丙的概率依次为 求: (Ⅰ)这三个电话是打给同一个人的概率; (Ⅱ)这三个电话中恰有两个是打给甲的概率.

1 1 1 、 、 .若在一段时间内打进三个电话,且各个电话相互独立. 6 3 2

(18)(本小题满分 13 分) 设函数 f ( x ) =

3 cos 2 ωx + sinωxcosωx + a(其中ω>0,a∈R) f(x)的图象在 y ,且

轴右侧的第一个最高点的横坐标为 (Ⅰ)求ω的值:

π
6



(Ⅱ)如果 f (x) 在区间 , 上的最小值为 3 ,求 a 的值. 3 6

π 5π

(19)(本小题满分 12 分) 设函数 f (x) =x3 – 3ax2 + 3bx 的图象与直线 12x + y –1 =0 相切于点(1,-11) . (Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)讨论函数 f(x)的单调性.

(20)(本小题满分 12 分) 如图,在正四梭住 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, AB=1, BB1 =

3 + 1 ,E 为 BB1 上使 B1E=1 的

点.平面 AEC1 交 DD1 于 F, 交 A1D1 的延长线于 G.求: (Ⅰ)异面直线 AD 与 C1G 所成的角的大小; (Ⅱ)二面角 A-C1G-A1 的正切值.

(21)(本小题满分 12 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) = (Ⅰ)求 a, b 的值; 求 (Ⅱ) 若对任意的 t∈R, 不等式 f (t 2 2t ) + f ( 2t 2 k ) < 0 恒成立, k 的取值范围.

2x + b 是奇函数. 2 x +1 + a

(22)(本小题满分 12 分) 如图,对每个正整数 n,An (xn,yn)是 抛物线 x 2 = 4 y 上的点,过焦点 F 的直线 FAn 交抛物线于另一点 Bn(sn,tn) . (Ⅰ)试证:xnsn =-4 (n≥1) ; (Ⅱ)取 xn = 2n, 并记 Cn 为抛物线上 分别以 An 与 Bn 为切点的两条切 线的交点.试证:

| FC1 | + | FC 2 | + + | FC n |= 2 n 2 n +1 + 1 (n≥1) .

2006 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)

数学试题卷(文史类)答案
一、选择题:每小题 5 分,满分 60 分. (1)D (7)C (2)D (8)D (3)C (9)B (4)D (10)B (5)B (11)A (6)C (12)A

二、填空题:每小题 4 分,满分 16 分. (13)-2 (14)2n-1 (15) (2,+∞) (16) a >

1 2

三、解答题:满分 74 分. (17) (本小题 13 分) 解:(Ⅰ)由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式, 所求概 率为

1 1 1 1 p = ( )3 + ( )3 + ( )3 = 6 3 2 6 1 (Ⅱ)这是 n = 3, p = 的独立重复试验,故所求概率为 6 1 2 5 5 P3 (2) = C 32 ( ) ( ) = . 6 6 72
(18 分) (本小题 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) =

3 1 3 cos 2ωx + sin 2ωx + | | +a 2 2 2

= sin(2ωx +
依题意得 解得 ω =

π
3

)+

3 + a. 2 +

2ω 1 . 2

π
6

π
3

=

π
2

.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x ) = sin( x + 又当 x ∈ [

π
3

)+

3 + a. 2 7π ] 6

π 5π
3 , 6

] 时, x +

π
3

∈ [0,



1 π ≤ sin( x + ) ≤ 1 , 2 3

从而 f ( x )在[

π 5π
3 , 6

] 上取得最小值

1 3 + + a. 2 2

因此,由题设知 (19) (本小题满分 12 分)

1 3 3 +1 + + a = 3 , 故a = . 2 2 2

解: (Ⅰ)求导得 f ′( x) = 3 x 2 6ax + 3b 由于 f (x ) 的图象与直线 12 x + y 1 = 0 相切于点(1,-11) 所以 f (1) = 11, f ′(1) = 12 ,即

1 3a + 3b = 11, 3 6a + 3b = 12.
解得 a = 1, b = 3 . (Ⅱ)由 a = 1, b = 3 得

f ′( x) = 3 x 2 6ax + 3b = 3( x 2 2 x 3) = 3( x + 1)( x 3)
令 f ′( x ) > 0 ,解得 x < 1或x > 3 ;又令 f ′( x ) < 0 ,解得 1 < x < 3. 所以当 x ∈ ( ∞,1) 时, f (x ) 是增函数;当 x ∈ (3,+∞ ) 时, f (x ) 也是增函数; 但

x ∈ (1, 3) 时, f (x) 是减函数.
(20) (本小题 12 分) 解法一: (Ⅰ)由 AD//D1G 知∠C1GD1 为异面直线 AD 与 C1G 所成的角. 连接 C1F,因为 AE 和 C1F 分别是平行平面 ABB1A1 和 CC1D1D 与平面 AEC1G 的交线,所 以 AE//C1F,由此可得 D1F = BE =

3 .再

由△FD1G∽△FDA 得 D1G= 3 在 Rt△C1D1G 中,由 C1D1=1,D1C= 3 得∠C1CD1=

π
6

.

(Ⅱ)作 D1H⊥C1G 于 H,连接 FH.由三垂线定理知 FH⊥C1G,故∠D1HF 为二面角 F—C1G—D1 即二面角 A—C1G—A1 的平面角. 在 Rt△GHD1 中,由 D1G= 3 ,∠D1GH=

π
6

得 D1H=

3 .从而 2

tan D1 HF =

D1 F = D1 H

3 3 2

= 2.

解法二: (Ⅰ)由 AD//D1G 知∠C1GD1 为异面直线 AD 与 C1C 所成的角. 因为 EC1 和 AF 是平行平面 BB1C1C 与 AA1D1D 与平面 AEC1G 的交线,所以 EC1//AF. 由此可得∠AGA1=∠EC1B1=

π
4

.

从而 A1G=AA1= 3 + 1 ,于是 D1G= 3 . 在 Rt△C1D1G 中,由 C1D1=1,D1G= 3 得

∠C1GD1 =

π
6

.
π
4 , ∠A1GC1 =

(Ⅱ)在△A1C1G 中,由 ∠C1 A1G =

π
6

知∠A1C1G 为钝角.作 A1H⊥GC1 交

GC1 的延长线于 H,连接 AH. 由三垂线定理知 GH⊥AH,故∠AHA1 为二面角 A—C1G—A1 的平面角. 在 Rt△A1HG 中,由 A1C= 3 + 1 , ∠A1GH =

π
6

得A1 H =

3 +1 . 2

从而

tan AHA1 =

AA1 = A1 H

3 +1 3 +1 2

= 2.

解法三: (Ⅰ)以 A1 为原点,A1B1,A1D1,A1A 所在直线 分别为 x 轴,y 轴和 z 轴建立如图所示的 空间直角坐标系.于是,A(0, 0, ,D(0, 1, 1) 1(1, 1, 0) ,C E(1, 0, 1) AD = (0,1,0) ,

3+

3 +1) ,

EC1 = (0,1,1).
因为 EC1 和 AF 分别是平行平面 BB1C1C 和 AA1D1D 与平面 AEC1G 的交线,所以 EC1//AF.设 G(0, y, 0) 则 AG = (0, y,( 3 + 1)). 由 EC1 // AG得

1 1 = , 于是y = 3 + 1. y ( 3 + 1)

故 G(0, 3 +1,0) C1G = ( 1, 3 ,0). , 设异面直线 AD 与 C1G 所成的角的大小为 θ ,则

cos θ =
从而

AD C1G | AD | | C1G |

=

3 . 2

θ=

π
6

.

(Ⅱ)作 A1H⊥C1G 于 H,由三垂线定理知 AH⊥GH,故∠AHA1 为二面角 A—C1G—A1 的 平 面角. 设 H(a, b, 0) ,则 A1 H = ( a, b,0), C1 H = ( a 1, b 1,0). 由 A1H⊥C1G 得 A1 H C1G = 0, 由此得 a 3b = 0. 又由 HC1,G 共线得 C1 H // C1G , 从而 ①

a 1 b 1 = ,于是 1 3


3a + b ( 3 + 1) = 0.

联立①和②得 a =

3+3 , b= 4

3 +1 3 + 3 3 +1 , 故H ( , ,0). 4 4 4

由 | A1 H |=

(

3 +3 2 3 +1 2 3 +1 ) +( ) = , | A1 A |= 3 + 1 4 4 2

tan AHA1 =

| A1 A | | A1 H |

=

3 +1 3 +1 2

= 2.

(21) (本小题 12 分) 解: (Ⅰ)因为 f (x ) 是奇函数,所以 f (0) = 0, 即

1+ b = 0 ,解得 b=1, 2+a

2n + 1 从而有 f ( x) = n +1 . 2 +a 1 +1 2 +1 2 = ,解得 a=2. 又由 f (1) = f ( 1)知 4+a 1+ a
(Ⅱ)解法一: 由(Ⅰ)知 f ( x) =

2n + 1 1 1 = + n . n +1 2 2 +1 2 +2

由上式易知 f (x) 在(-∞,+∞)上为减函数. 又因 f (x) 是奇函数,从而不等式 f (t 2 2t ) + f ( 2t 2 k ) < 0 等价于

f (t 2 2t ) < f (2t 2 k ) = f (2t 2 + k ).
因 f (x) 是减函数,由上式推得

t 2 2t > 2t 2 + k
即对一切 t ∈ R 有

3t 2 2t k > 0.
从而判别式 = 4 + 12k < 0 ,解得 k < . 解法二: 由(Ⅰ)知 f ( x ) =

1 3

2n + 1 , 又由题设条件得 2 n +1 + 2

2t 2t

2

2

2t

+1 +2

2 t +1

+
2

2t 2t
2

2

1

+1 +2

t +1

< 0.
2

(2 t

2

t +1

+ 2)(2 t
2

2

+ 2t

+ 1) + (2 t

2 t +1

+ 2)(2 t

k

+ 1) < 0.

整理得

2 3t

2t k

> 1 . 因底数 2>1,故
3t 2 2t k > 0

上式对一切 t ∈ R 均成立,从而判别式 = 4 + 12k < 0, 解得k < . (22) (本小题 12 分) 证明: (Ⅰ)对任意固定的 n ≥ 1 ,因为焦点 F(0, 1),所以可设直线 AnBn 的方程为 y 1 =

1 3

k n x ,将它与抛物线方程 x 2 = 4 y 联立得
x 2 4 k n x 4 = 0.
由一元二次方程根与系数的关系得 x n s n = 4. (Ⅱ)对任意固定的 n ≥ 1 ,利用导数知识易得抛物线 x 2 = 4 y 在 An 处的切线的 斜率

k An =

xn , 故x 2 = 4 y 在 An 处的切线方程为 2 y yn = xn ( x xn ) , 2


类似地,可求得 x 2 = 4 y 在 Bn 处的切线方程为

y tn =
由②减去①得

sn ( x sn ) , 2



yn t n =

2 xn sn x 2 sn x+ n , 2 2

从而

2 2 2 xn sn x sn x 2 sn = n x+ n 4 4 2 2 2 2 xn sn xn s n x= , 2 4

x=

xn + s n 2



将③代入①并注意 x n s n = 4 得交点 Cn 的坐标为( 由两点间的距离公式得

xn s n ,-1) 2

2 2 xn + sn 2 xn sn | FC n | = ( ) +4= + +2 2 4 4 2 2 xn x 4 2 + 2 + 2 = ( n + )2 4 xn 2 xn

=

从而

| FC n |=
n

| xn | 2 + 2 | xn |

现在 x n = 2 ,利用上述已证结论并由等比数列求和公式得,

| PC1 | + | FC 2 | + + | FC n |

= =

1 1 1 1 (| x1 | + | x1 | + + | x n |) + 2( + ++ ) 2 | x1 | | x 2 | | xn |

1 1 1 1 ( 2 + 2 2 + + 2 n ) + 2( + 2 + + n ) 2 2 2 2 n n +1 n n +1 = (2 1) + (2 2 ) = 2 2 + 1.


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