【北师大版】高中数学必修一教学设计方案


【北师大版】高中数学必修一教学设计方案

§1 集合的含义及其表示 教学目标:通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系。能选择自然语言, 图形语言,集合语言描述不同的具体问题 教学重点:集合概念与表示方法 教学难点:运用描述法和列举法表示集合 课 型:新授课 教学过程型: 引入课题 同学们在报到时学校通知:8 月 29 日下午 4 点,高一年级学生按班级在学校行政楼前 集合。试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生? 在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是 高二)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合(宣布课 题),即是一些研究对象的总体。 研究集合的数学理论在现代数学中称为集合论, 它不仅是数学的一个基本分支, 在数学 中占据一个极其独特的地位, 如果把数学比作一座宏伟大厦, 那么集合论就是这座宏伟大厦 的基石。 集合理论创始者是由德国数学家康托尔, 他创造的集合论是近代许多数学分支的基 础。(参看阅教材中读材料 P16)。 下面几节课中,我们共同学习有关集合的一些基础知识,为以后数学的学习打下基础。 一、 新课教学 “物以类聚,人以群分”数学中也有类似的分类。 如:自然数的集合 0,1,2,3,?? 如:2x-1>3,即 x>2 所有大于 2 的实数组成的集合称为这个不等式的解集。 如:几何中,圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 1、一般地,指定的某些对象的全体称为集合,用大写字母 A,B,C,等标记。示 例 集合中的每个对象叫做这个集合的元素,用小写字母 a,b,c,d 等标记。示例 2、元素与集合的关系 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A , 记作 a∈A , 记作 a?A

a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A,

思考 1:列举一些集合例子和不能构成集合的例子,对学生的例子予以讨论、点 评,进而讲解下面的问题。

例 1:判断下列一组对象是否属于一个集合呢? (1)小于 10 的质数(2)著名数学家(3)中国的直辖市(4)maths 中的字母 评注:判断集合要注意有三点:范围是否确定;元素是否明确;能不能指出它的属性。 3、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性:对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或 者不是这个给定的集合的元素。 2.元素的互异性:任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归 入一个集合时,仅算一个元素。比如:book 中的字母构成的集合 3.元素的无序性:集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样, 仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 4、数的集简称数集,下面是一些常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N+ (或 N*) 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 注:实数的分类 R

5、集合的表示方法:①列举法:把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的方法 例:{1,2,3} 特点:元素个数少易列举 ②描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法 特点:元素多或不宜列举 例:大于 3 小于 10 的实数 A= {x∈R│3﹤x﹤10} 方程 x ? 2 x ? 0 的解集用描述法为 B= x | x 2 ? 2 x ? 0
2

?

?

函数 y=2x 图像上的点(x,y)的集合可表示为 C={(x,y)│y=2x} 在平面直角坐标系中第二象限的构成的集合 D={(x,y)│x﹤0,且 y﹥0} 方程组 ?

?x ? y ? 5 的解集 ?x ? y ? 3

??x, y ? | x ? 4, y ? ?1?

例题 用适当的方法表示下列集合 ①由大于 3 小于 10 的整数组成的集合 ②方程 x ? 9 ? 0 的解的集合
2

③小于 10 的所有有理数组成的集合 ④所有偶数组成的集合 6、集合的分类 原则:集合中所含元素的多少

①有限集 含有限个元素,如 A={-2,3} ②无限集 含无限个元素,如自然数集 N,有理数 Q ③空 集 不含任何元素,如方程 x +1=0 实数解集。专用标记:Φ 二、 课堂练习 1、用符合“∈”或“?”填空:课本 P5 练习 2、补充思考 ①下列集合是否相同 1)A {1,5} 2)A 3) Φ B {(1,5)} B { 0 } C {5,1} D {(5,1)} C { Φ } D {{ Φ }}
2

? 12 ? ? 12 ? A ? ? x | ? Q, x ? Z , x ? 0? B ? ? y | ? Z , y ? Z , y ? 0? ? x ? ? y ?
小结 1、集合的概念 2、集合元素的三个特征 3、常见数集的专用符号. 4、集合的表示方法 5、空集 三、 作业布置 基本作业:P6 A 组 4,5 2 补充作业:求数集{1,x,x -x}中的元素 x 应满足的条件; 思考作业:P6B 组 板书设计(略) 另注:请各位考虑是否提出{实数}和{全部实数}及 R 之间的区别

§2

集合间的基本关系

一. 教学目标: 1.知识与技能 (1)了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。 (2)理解子集.真子集的概念。 (3)能使用 Venn 图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法 让学生通过观察身边的实例,发现集合间的基本关系,体验其现实意义. 3.情感.态度与价值观 (1)树立数形结合的思想 . (2)体会类比对发现新结论的作用.

二.教学重点.难点 重点:集合间的包含与相等关系,子集与其子集的概念. 难点:难点是属于关系与包含关系的区别. 三.学法与教学用具 1.学法:让学生通过观察.类比.思考.交流.讨论,发现集合间的基本关系. 2.教学用具:投影仪. 四.教学过程 (一)创设情景,揭示课题 问题 l:实数有相等.大小关系,如 5<7,2≤2 等等,类比实数之间的关系,你会想到 集合之间有什么关系呢? 让学生自由发言,教师不要急于做出判断。而是继续引导学生;欲知谁正确,让我们一 起来观察研探. (宣布课题) (二)研探新知 1. 子集 问题 2:观察下面几个例子,你能发现两个集合之间有什么关系吗? (1) A ? {1, 2,3}, B ? {1, 2,3, 4,5} ; (3) E ? x | x是菱形 , F ? ?x | x是正方形 ? 组织学生充分讨论.交流,使学生发现: 集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素,集合 C 中的任何一个元素都是集合 D 中的元素,集合 E 中的任何一个元素都是集合 F 中的元素。 综合归纳给出定义: 一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中任何一个元素都是集合 B 中的元素,我们 就说这两个集合有包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集(subset). 记作: A ? B(或B ? A) 读作:A 包含于(is contained in)B,或 B 包含(contains)A (2) C ={西安中学高一(1)班女生}, D ={西安中学高一(1)班学生};

?

?

? P ? x | x是平行四边形 则 M ? P 举例:如 Q ? R , M ? ?x | x是矩形
思考:包含关系 {a} ? A 与属于关系 a ? A 定义有什么区别 ? 试结合实例作出解释 . {1,2}______{1,2,{1},{2},{1,2}} 温馨提示: (1)空集是任何集合的子集,即对任何集合 A 都有 ? ? A 。 (2)任何集合是它本身的子集,即对任何集合 A 都有 A ? A 。 (3) 若 A ? B, 不能理解为子集 A 是 B 中的 “部分元素” 所组成的集合。 因为若 A ? ? , 则 A 中不含任何元素;若 A=B,则 A 中含有 B 中的所有元素。 非子集关系的反例:(1) A={1,3,5} B={2,4,6} (2) C={x|x≥9} D={x|x≤3} 可用数轴直观表示 (3) E={ x|x≥9} F={ x|x≤12} 当集合 A 中存在(即至少有一个)着不是集合 B 的元素,那么集合 A 不包含于 B,或 B 不 包含 A,分别记作: A ? ? B 2. 集合的相等 (或 B ? ? A)

?

?

引入时举例: A ? ?x | ?x ? 7??x ? 5? ? 0?

B ? ?? 5,7?

由元素分析发现两个集合的元素完全相同,只是表达形式不同,给出集合相等的定义: 一般地, 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 中的元素, 同时集合 B 中的任何一个元 素都是集合 A 中的元素,那么我们就说集合 A 与集合 B 相等,记作 A=B. 问题 3:与实数中的结论“ a ? b, b ? a ? a ? b ”相类比,在集合中,你能得出什么 结论? 教师引导学生通过类比,思考得出结论: A ? B, B ? A ? A ? B . 3. 真子集 问题 4:A={小于 7 的正整数}

B={1,2,3,4,5,6,} C={}1,3,5}

显然, C ? A, B ? A ,又发现 B=A ,C≠A ,如何确切表明 C 与 A 的特殊关系?

文 字 语 言 对于两个集合 A 与 B,如果

符 号 语 言 若 A ? B ,但存在元素 x, B(或 B A) 读作:A 真包含于 B(或 B 真包含 A)

A ? B且A ? B ,就说集合
A 是集合 B 的真子集 (proper subset)

x ? B且x ? A 则 A

教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合, 这种图称为 Venn 图。如图 l 和图 2 分别是表示集合相等和真子集的关系。 B

A(B) 图1 图2

问题 5:请同学们举出几个具有包含关系.相等关系的集合实例,并用 Venn 图表示. 学生主动发言,教师给予评价. 做练习 4,并强调确定是真子集关系的写真子集,而不是子集。 思考: (1) 对于集合 A, B, C,如果 A ? B, B ? C, 那么集合 A 与 C 有什么关系?如果真包含呢? (2) 集合 A 是集合 B 的真子集与集合 A 是集合 B 的子集之间有什么区别? (3) 空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗? (4) 0,{0}与 ? 三者之间有什么关系? (三)巩固深化,发展思维 1. 学生在教师的引导启发下完成下列两道例题: 例 1 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时,该产品才合格。若用 A 表示合格产 品,B 表示质量合格的产品的集合,C 表示长度合格的产品的集合.则下列包含关系哪些成 立?

A ? B, B ? A, A ? C, C ? A

试用 Venn 图表示这三个集合的关系。 例 2(与书上有变动) 分别求下列集合的子集,并指出哪些是它们的真子集. ? ,{1}, {1,2}, {1,2,3} 集 合 子 集 子集个数 1 2 4 8
n

真子集个数 0 1 3 7
n

?
{1} {1,2} {1,2,3}

? ? ,{1} ? ,{1},{2},{1,2} ? ,{1},{2},{3},{1,2},{1,2,3}

推广归纳:有限集 ?a1 , a2 , a3 ,?, an?1 , an ? 的子集个数 2 ,真子集个数 2 ? 1 ,非空 子集个数 2 ? 1 ,非空真子集个数 2 ? 2 。
n
n

2. 练习第 5 题 (四)归纳整理,整体认识 请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些,所涉及到的主要数学思想方法有那些.

1.

? ? A ? B ? A ? B且B ? A ? A ? B? A与B间的关系? ? A ?A ? B ?A ? B ?

B

也可结合配备的多媒体光盘用 FLAS 显示 Venn 图形式的集合间不同关系以加深印象。 2. 性质结论: (1)任何集合是它本身的子集,即对任何集合 A 都有 A ? A 。 (2) 空集是任何集合的子集,即对任何集合 A 都有 ? ? A 。 空集是任何非空集合的真子集。 (3) 欲证 A ? B ,只须证 A ? B, 且 B ? A 都成立即可。 (4 对于集合 A、B、C,若 A ? B,B ? C,则 A ? C. 若 A B,B C,则 A C. (五)布置作业 基础题: 第 9 页习题 1-2 A 组 2,4,5 题. B 组第 1 题. 思考题: 1. (06 年上海理)已知集合 A= { -1,3,2 m -1 } ,集合 B= { 3, m } .若 B ? A,则
2

实数 m =



2. 已知集合 A ? {x | a ? x ? 5} , B ? {x | x ≥ 2} ,且满足 A ? B ,求实数 a 的取值范 围。

§3 集合的基本运算 教学目的:(1)理解两个集合的并集与交集的的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;(3)能 用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 课 型:新授课 教学重点:集合的交集与并集、补集的概念; 教学难点:集合的交集与并集、补集“是什么”,“为什么”,“怎样做”; 第一课时: 教学过程: 四、 引入课题 我们两个实数之间可以进行运算,比如加法运算,那么两个集合之间存在运算吗? 实例 1:A=﹛高一(9)班女生﹜ B=﹛高一(9)班团员﹜ C=﹛高一(9)班女团员﹜,我们发现集合 C 中的元素是集合 A 和集合 B 的公共元素。 实例 2:学校的某次运动会要求各班选出数名篮球队员和足球队员 假设 A=﹛高一(9)班的篮球队员﹜B=﹛高一(9)班的足球队员﹜ C=﹛高一(9)班的运动员﹜,我们发现集合 C 的元素是由集合 A 和集合 B 的元素共同构成 的。 我们发现集合之间是存在一定运算的。 五、 新课教学 1.交集(如实例 1) 一般地, 由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合, 叫做集合 A 与 B 的交集 (intersection)。 记作:A∩B 读作:“A 交 B” 即: A∩B={x|∈A,且 x∈B} 交集的 Venn 图表示

说明:两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合 A 与 B 的公共元素组成的集合。 则上例中 C=A∩B。 练习:1.A=﹛3,5,7 ﹜,B=﹛1,2,3,4﹜ 则 A∩B; 2. A ? x x ? 1 , B ? x x ? 0 , 则A ? B. 说明:连续的(用不等式表示的)实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。当两 个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集 2. 并集(如实例 2) 一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的 并集(Union)

?

?

?

?

记作:A∪B 读作:“A 并 B” 即: A∪B={x|x∈A,或 x∈B} Venn 图表示: B

A

A∪B 说明: 两个集合求并集, 结果还是一个集合, 是由集合 A 与 B 的所有元素组成的集合 (重 复元素只看成一个元素)。 练习:1.A=﹛3,5,7 ﹜,B=﹛1,2,3,4﹜ 则 A∪B; 2. A ? x ? 1 ? x ? 1 , B ? x 0 ? x ? 3 , 则A ? B. 说明:连续的(用不等式表示的)实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 拓展:求下列各图中集合 A 与 B 的并集与交集

=?

?

?

?

?

B A B B A(B) A A B A 总结基本结论:A∩B ? A,A∩B ? B,A∩A=A,A∩ ? = ? ,A∩B=B∩A A ? A∪B,B ? A∪B,A∪A=A,A∪ ? =A,A∪B=B∪A 总结: 交集的性质 A ? A=A , A? ? =? , A ? B=B ? A, A ? B ? A, A ? B ? B, 若 A ? B,则 A ? B=A,反之也成立。 并集的性质 A ? A=A, A ? ? =A, A ? B=B ? A, A ? B ? A, A ? B ?B 若 A ? B,则 A ? B=B,反之也成立。 联系交集的性质有结论: ? ? A ? B ? A ? A ? B. 三.例题讲解: 例 1.某学校所有男生组成的集合 A,一年级的所有学生组成的集合 B,一年级的 所有男生组成的集合 C,一年级的所有女生组成的集合 D,求 A∩B,C∪D。 解 A∩B= x x是该校一年级的男生 ? C;

?

?

?=B. C ? D ? ?x x是该校一年级学生
例 2.设 A ? x x是不大于 10的正奇数,B ? x x是12的正约数 . 求 A∩B,A∪B. 解

?

?

?

?

?? ?1,3,5,7,9? A ? ?x x是不大于 10的正奇数

?? ?1,2,3,4,6,12?. B ? ?x x是12的正约数
A? B ? ? 1,3?; A? B ? ? 1,2,3,4,5,6,7,9,12?.
完成思考交流,通过文氏图说明。总结集合的交集和并集运算满足结合律。 例 3. 已知集合 M={y|y=x +1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},求 M∩N。 解 M={y|y=x +1,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}
2 2

∴ M∩N=M={y|y≥1} 四.课堂练习: P12 练习 1,2,3,4 题 P14 习题 1 题 五.小结: A∩B={x|∈A,且 x∈B} A∪B={x|x∈A,或 x∈B} 交集的性质 A ? A=A , A? ? =? , A ? B=B ? A, A ? B ? A, A ? B ? B, 若 A ? B,则 A ? B=A,反之也成立。 并集的性质 A ? A=A, A ? ? =A, A ? B=B ? A, A ? B ? A, A ? B ?B 若 A ? B,则 A ? B=B,反之也成立。 联系交集的性质有结论: ? ? A ? B ? A ? A ? B. 六.作业 1.基础作业:P14 习题 A 组 2,3,4 题 2.选做: 已知集合 A={x|x -3x+2=0},B={x|x -mx+2=0},且 A∩B=B,求实数 m 范围。 解 化简条件得 A={1,2},A∩B=B ? B ? A 根据集合中元素个数集合 B 分类讨论,B= ? ,B={1}或{2},B={1,2} 当 B= ? 时,△=m -8<0
2 2 2

∴ ?2 2 ?m?2 2

?? ? 0 当 B={1}或{2}时, ? ,m 无解 ?1 ? m ? 2 ? 0或4 ? 2m ? 2 ? 0 ?1 ? 2 ? m 当 B={1,2}时, ? ?1 ? 2 ? 2

∴ m=3

综上所述,m=3 或 ? 2 2 ? m ? 2 2 3.思考 B 组 1 题 §3 集合的基本运算 第二课时 一.复习回顾:

上节学习了集合的两种基本运算求交集和求并集。 实际中在研究某些集合的时候, 这些 集合往往是某些给定集合的子集,这个给定的集合叫做全集。 二.新课讲解 1.全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称 这个集合为全集(Universe),通常记作 U。 2.补集:对于全集 U 的一个子集 A,由全集 U 中所有不属于集合 A 的元素组成的集合 称为集合 A 相对于全集 U 的补集(complementary set),简称为集合 A 在 U 中的补集,或余 集。 记作:CUA 补集的 Venn 图表示 即: CU A ? x x ?U且x ? A

?

?

U A CUA
说明:补集的概念必须要有全集的限制 三.例题讲解 例 3 试用集合 A,B 的交集、并集、补集分别表示图中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分所表示的集 合。 解 Ⅰ部分: A ? B; Ⅱ部分: A ? (CU B); Ⅲ部分: B ? (CU A); Ⅳ部分: CU ? A ? B?或?CU B? ? ?CU A?. 例 4 设全集为 R, A ? x x ? 5 , B ? x x ? 3 .求: (1) A ? B; (3) CR A, CR B; (5) (CR A) ? (CR B); (7) C R ? A ? B?. 并指出其中相等的集合。 解 (1)在数轴上,画出集合 A 和 B. (2) A ? B; (4) (CR A) ? (CR B); (6) CR ? A ? B? ;

?

?

?

?

A ? B ? ?x x ? 5?? ?x x ? 3? ? ?x 3 ? x ? 5? ;
(2) A ? B ? x x ? 5 ? x x ? 3 ? R;

?

? ?

?

(3) 在数轴上表示出 C R A, C R B :

CR A ? ?x x ? 5? , CR B ? ?x x ? 3? ;
(4) (CR A) ? (CR B) ? x x ? 5 ? x x ? 3 ? ?; (5) (CR A) ? (CR B) ? x x ? 5 ? x x ? 3 ? x x ? 3 ,或x ? 5 . (6) CR ? A ? B? = x x ? 3, 或x ? 5 ; (7) C R ? A ? B ? ? ?. 注意对连续实数集利用数轴直观去处理,通过例题了解德摩根律。 总结: 补集的性质: C U ? =U, C U U= ? ,A∩C U A= ? ,A∪C U A=U,C U ( C U A)=A 德摩根律: (CuA) ? (CuB)= Cu (A ? B), (CuA) ? (CuB)= Cu(A ? B),

?

? ?

?

?

? ?

? ?

?

?

?

四.课堂练习。 P14 练习 1,2,3,4,5 题 五.归纳小结 求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的 关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、 挖掘题设条件,结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。 六. 作业布置 1、 基础作业:P15 习题 A 组,第 5,6,7 题。 2、 选做: 若全集U= 2,0,3 ? a

?

2

?,子集P= ?2, a

2

a 2 ?a ? 2?0 解 由子集定义和补集定义可知 3? a 2 ? ?1 ,解得a=2.
3.思考: 习题 B 组 2 题

?

? a ? 2 ,且 CuP= ?? 1? ,求实数a.

?

第一章《集合》复习课教案(2 课时) (一)教学目标: (1)了解集合的含义,理解集合的表示方法 (2)理解集合的运算,会求集合的交,并,补集 (3)能使用韦恩图表达集合的关系及运算 (二)教学三点解析: (1) 教学重点:知识的网络结构;

(2)教学难点:集合思想的应用及运算; (三)教学过程设计 一. 知识归纳 集合知识网络
含 义 特 征 表示法 分 类 指定对象的全体形成一个集合 确定性、互异性、无序性 列举法{1,2,3,?}、描述法{x|P},,韦恩图法 有限集、无限集 空集
*

集 合

数 集 关 系 运 算

自然数集 N、整数集 Z、有理数集 Q、实数集 R、正整数集 N 属于∈、不属于 ? 、包含于 ? 、非包含于 交集 A∩B={x|x∈A 且 x∈B};

,真包含于 、集合相等

并集 A∪B={x|x∈A 或 x∈B};

补集 CU A ={x|x ? A 且 x∈U},U 为全集 性 质 A ? A; φ A∩A=A∪A=A; A∩φ =φ ;A∪φ =A;A∩B=A ? A∪B=B ? A ? B; A∩C U A=φ ; A∪C U A=I;C U ( C U A)=A;C U (A ? B)=C U A∩C U B 方 法 韦恩示意图 数轴分析

? A;

若 A ? B,B ? C,则 A ? C;

注意:① 区别∈与 ? 、 与 ? 、a 与{a}、φ 与{φ }、{(1,2)}与{1,2}; ② A ? B 时,A 有两种情况:A=φ 与 A≠φ

1.需要注意的问题 (1)要正确理解集合、空集、子集、全集、补集、交集、并集的概念及性质. (2)特别注意对空集的概念和性质的理解 (3)集合的表示方法各有特点,应结合具体问题适当选用. (4)利用数形结合的思想,将集合用 Venn 图表示出来,帮助理解或解决问题,在求数集的交 集、并集、补集时,可以借助于数轴. (5)集合中蕴涵着分类的思想,体会它在生活中和数学中的广泛的应用. (6)理解集合是一种语言,这种语言能简洁、准确地表达数学的一些内容. 2. 常见题型 1、用适当的方法表示下列集合: 100 以内被 3 除余 2 的正整数所组成的集合; 所有正方形; 直角坐标平面上在直线和两侧的点所组成的集合; 方程组 ?

?x ? 2 y ? 3 得解集 ?y ? x ? 6

2、由元素 1,2,3 组成的集合可记为:

A . x x ? 1,2,3

?

?

B. x x ? ?1,2,3?

?

?

* C. x x ? N , x? 4?

?

D. x是6的质因数

?

?

3、实数集合 是
2 2

中元素

满足的条件 。

4、已知集合 A={a ,a,a -2a+1},B={1,2}且 A∩B={1},求 a 的值。

5. 设 a,b,c 为非零实数,则 x ?

a a

?

b c abc 的所有值组成的集合为( ? ? b c abc



6、 已知集合 A= { -1, 3, 2 m -1 } , 集合 B= { 3,m 2 } . 若 B ? A, 则实数 m = 7、 定义集合 A*B={x|x∈A 且 x ? B}, 若 A={2,4,6,8},B={2,4,5}, 则 A*B 的子集个数为 (

. )

1 n 1 p 1 8、 已知集合 M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ? ,n∈Z},P={x|x= ? ,p∈Z}, 则 M,N,P 6 2 3 2 6
满足关系( ) 9、若{1,2} A?{1,2,3,4,5}, 则满足这一关系的集合 A 的个数为 2 10、已知集合 M={y|y=x +1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},求 M∩N。 11、若集合 A 1 , A2 满足 A 1 ? A2 =A,则称( A 1 , A2 )为集合 A 的一个分拆,并规定: 当且仅当 A 1 = A2 时,( A 1 , A2 )与( A2 , A 1 )为集合 A 的同一种分拆,则集合 A={ a1 ,

a2 , a3 }的不同分拆种数是( )。
12、 设全集 断 与 , 之间的关系. , , 求 A ? B, A ? B, 判

13、已知集合 A={x|2≤x≤9},B={x|m-1<x<4m+1}且 B≠ ? ,若 A∪B=A,求 m 的取值范围 14、 已知集合 A={x∈R|ax -3x+2=0,a∈R},若 A 中元素至多有 1 个, 则 a 的取值范围是
王新敞
奎屯 新疆

2

15.设 A={x|x +ax+b=0},B={x|x +cx+15=0},又 A ? B={3,5},A∩B={3},求实数 a,b,c 的值. 16、设全集 U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7}, 则 P ? CUQ=

2

2

1,2,3,4,5,6,7,8?, A ? ?CU B? ? ? 17、已知 U= ? 1,8?, ?CU A? ? B ? ?2,6?

?CU A? ? ?CU B? ? ?4,7?, 则集合 A=

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奎屯

新疆

18、某校有 21 个学生参加了数学小组,17 个学生参加了物理小组,10 个学生参加了化学 小组,他们之中同时参加数学、物理小组的有 12 人,同时参加数学、化学小组的有

6 人,同时参加物理、化学小组的有 5 人,同时参加 3 个小组的有 2 人,现在这三个 小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛,问需要预购多少张车票? 二. 归纳小结,强化思想 1、常见题型:集合元素的辨析、集合的运算 2、数轴分析法、韦恩示意图法、代入法。 3、分类讨论思想;等价转化思想 三.作业:章节小节 集合练习(选自各年高考试卷)

1、设 S,T 是两个非空集合,且 S A. X B. T C. Φ

T ,T

S,令 X=S∩T,那么 S∪X=

。(87(1)3 分)

D. S 。(88(3)3 分) D. 5 个 。

2、集合{1,2,3}的子集总共有 A. 7 个 B. 8 个 C. 6 个

3、如果全集 U={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},则 CU M ? CU N = (89(1)3 分) A. φ B. {d} C. {a,c} D. {b,e}
x?2

4、 设全集 U={(x, y)|x, y∈R}, M={(x, y)| y ? 3 =1}, N={(x, y)|y≠x+1}, 则 CU ( M ? N ) = A. φ 。(90(9)3 分) B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y=x+1}

5、设全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={0,1,2,3},集合 B={2,3,4},则 CU A ? CU B = A. {0} 。(94(1)4 分) B. {0,1} C. {0,1,4} D. (0,1,2,3,4) 。(97(1)4 分)

6、设集合 M={x|0≤x<2 ,集合 N={x|x2-2x-3<0 ,集合 M∩N= A.{x|0≤x<1 B.{x|0≤x<2 C. {x|0≤x≤1}

D.{x|0≤x≤2}
S

7、设含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S,其中由 3 个元素组成的子集数为 T,则 T 的 值为__________.(92(21)3 分) 8、如图,U 是全集,M、P、S 是 U 的 3 个子集,则阴影部分所表示的集 合是 。(99(1)4 分) B. (M∩P)∪S D. (M∩P)∪ CU S 。(2000 上海 P M S

A. (M∩P)∩S C. (M∩P)∩ CU S

9、若集合 S={y|y=3x,x∈R},T={y|y=x2-1,x∈R},则 S∩T 是 (15)4 分) A. S B. T C. Φ D. 有限集

第二章
1.2.1 函数的概念(一) 教学目标: 通过丰富实例, 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型, 在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用; 了解构成函数的要素;能够正确使用“区间”的符号表示某些集合. 教学重点、难点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数. 教学过程: 一、复习准备: 1. 讨论:放学后骑自行车回家,在此实例中存在哪些变量?变量之间有什么关系? 2 .回顾初中函数的定义:在一个变化过程中,有两个变量 x 和 y,对于 x 的每一个确定 的值,y 都有唯一的值与之对应,此时 y 是 x 的函数,x 是自变量,y 是因变量. 表示方法 有:解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课: 1.函数模型思想及函数概念: ①给出第一节生活中的变量关系三个实例略. ②讨论: 以上三个实例存在哪些变量?变量的变化范围分别是什么?两个变量之间存在 着这样的对应关系? 三个实例有什么共同点? 归纳:三个实例变量之间的关系都可以描述为,对于数集 A 中的每一个 x ,按照某种 对应关系 f ,在数集 B 中都与唯一确定的 y 和它对应,记作: f: A ? B ③定义:设 A、B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任 意一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么称 f: A ? B 为从集合 A 到 集合 B 的一个函数(function),记作: y ? f ( x), x ? A .其中, x 叫自变量, x 的取值范 围 A 叫作定义域(domain),与 x 的值对应的 y 值叫函数值,函数值的集合 { f ( x) | x ? A} 叫 值域(range). ④讨论:值域与 B 的关系?构成函数的三要素? 一次函数 y ? ax ? b (a ? 0) 、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的定义域与值域? ⑤练习: f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ,求 f(0)、f(1)、f(2)、f(-1)的值. 求y?x
2

? 2x ? 3, x ?{?1,0,1,2} 值域.

例 1:见课本 27 页例 1 2.区间及写法: ① 概念:设 a , b 是两个实数,且 a ? b ,则:

? x a ? x ? b? ? [a, b] 叫闭区间;

? x a ? x ? b? ? (a, b) 叫开区间;

? x a ? x ? b? ? [a, b)



? x a ? x ? b? ? (a, b]

;都叫半开半闭区间.

② 符号:“∞”读“无穷大”;“-∞”读“负无穷大”;“+∞”读“正无穷大” ③ 练习用区间表示:R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x<b} ④ 用区间表示:函数 y= x 的定义域 ,值域是 . (观察法) 3.小结:函数模型应用思想;函数概念;二次函数的值域;区间表示 三、巩固练习: 1. 已知函数 f(x)=3x 2 +5x-2,求 f(3)、f(- 2 )、f(a)、f(a+1) 2. 探究: 举例日常生活中函数应用模型的实例. 什么样的曲线不能作为函数的图象? 3. 课堂作业:

1.2.1 函数的概念(二) 教学要求:会求一些简单函数的定义域与值域,并能用“区间”的符号表示;掌握判别 两个函数是否相同的方法. 教学重点:会求一些简单函数的定义域与值域. 教学难点:值域求法. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:什么叫函数?其三要素是什么?函数 y= 为什么? 2. 用区间表示函数 y=kx+b、y=ax 2 +bx+c、y=
k 的定义域与值域. x

3x 2 与 y=3x 是不是同一个函数? x

二、讲授新课: 1.教学函数定义域: ①出示例 1:求下列函数的定义域(用区间表示) x x ?3 f(x)= 2 ; f(x)= 2 x ? 9 ; f(x)= x ? 1 - 2? x x ?2 学生试求→订正→小结:定义域求法(分式、根式、组合式) ②练习:求定义域(用区间)→ 1 x?2 f(x)= f(x)= 9 ? x + ? ?3x ? 4 ; x ?3 x?4 ③小结:求定义域步骤:列不等式(组) → 解不等式(组) 2.教学函数相同的判别: ①讨论:函数 y=x、y=( x ) 2 、y=
x3 x2

、y= 4 x 4 、y= x 2 有何关系?

②练习:判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数,说明理由? A. f ( x) ? ( x ? 1) ; g ( x) ? 1 ;
0

B. f ( x) ? x ; g ( x) ?


x2 x2

C. f ( x) ? x ; f ( x) ? ( x ? 1)
2

2

D. f ( x) ? x ; g ( x) ?

②小结:函数是否相同,看定义域和对应法则。 3.教学函数值域的求法:

① 例 2:求值域(用区间表示):y=x -2x+4;y= f(x)=
x?2 x?3

2

?5 ;f(x)= x 2 ? 3x ? 4 ; x?3

先口答前面三个 → 变第三个求 → 如何利用第二个来求第四个 ②小结求值域的方法: 观察法、配方法、拆分法、基本函数法 1 1 三、巩固练习: 1.求下列函数定义域: f ( x) ? 1 ? x ? ; f ( x) ? 1 ? 1/ x x?4 2. 已知 f(x+1)=2x -3x+1,求 f(-1). 变: f ( x) ?
2

x ?1 ,求 f(f(x)) x ?1

解法一:先求 f(x),即设 x+1=t;(换元法) 解法二:先求 f(x),利用凑配法; 解法三:令 x+1=-1,则 x=-2,再代入求.(特殊值法) 3.f(x)的定义域是[0,1],则 f(x+a)的定义域是 . 4.求函数 y=-x +4x-1 ,x∈[-1,3) 在值域. 解法(数形结合法):画出二次函数图像 → 找出区间 → 观察值域 5.课堂作业:
2

2.2 函数的表示法 教学要求:明确函数的三种表示方法(解析法、列表法、图像法),了解三种表示方法各 自的优点,在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。通过具体实例,了 解简单的分段函数,并能简单应用. 教学重点:会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 教学难点:分段函数的表示及其图象. 教学过程: 一、复习准备: 1.提问:函数的概念?函数的三要素? 2.讨论:初中所学习的函数三种表示方法?试举出日常生活中的例子说明. 二、讲授新课: 1.教学函数的三种表示方法: ① 结合实例说明三种表示法 → 比较优点 解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 优点:简明;给自变量求函数值 图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点:直观形象,反应变化趋势. 列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 优点:不需计算就可看出函数值. 具体实例如:二次函数等;股市走势图; 列车时刻表;银行利率表. ②出示例 1. 某种笔记本的单价是 2 元,买 x (x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要 y 元.试用三种表示法表示函数 y=f(x) . 师生共练→小结:函数“y=f(x)”有三种含义(解析表达式、图象、对应值表). ③讨论:函数图象有何特征?所有的函数都可用解析法表示吗? ④练习:作业本每本 0.3 元,买 x 个作业本的钱数 y(元). 试用三种方法表示此实例 中的函数. ⑤处理课本 P29 例 2 2.教学分段函数:

①出示例 3:写出函数解析式,并画出函数的图像. 邮局寄信,不超过 20g 重时付邮资 1.2 元,超过 20g 重而不超过 40g 重付邮资 2.4 元。超 过 40g 重而不超过 60g 重付邮资 3.6 元。超过 60g 重而不超过 80g 重付邮资 4.8 元。超过 80g 重而不超过 100g 重付邮资 6.00 元。每封 x 克(0<x≤100)重的信应付邮资数(元). (学生写出解析式→ 试画图像 → 集体订正 ) ②练习: A. 写函数式再画图像: 某水果批发店, 100kg 内单价 1 元/kg, 500kg 内、 100kg 及以上 0.8 元/kg,500kg 及以上 0.6 元/kg.批发 x 千克应付的钱数(元). B. 画出函数 f(x)=|x-1|+|x+2|的图像. ③提出: 分段函数的表示法与意义(一个函数,不同范围的 x,对应法则不同)→ 生 活实例 ④课本 P30 例 4 3.看书,并小结:三种表示方法及优点;分段函数概念;函数图象可以是一些点或线段 三、巩固练习:1.已知 f(x)= ? 2.作业:P34 1、2 题

?2 x ? 3, x ? ( ??,0)
2 ?2 x ? 1, x ? [0,??)

,求 f(0)、f[f(-1)]的值.

2.3 映射 教学要求:了解映射的概念及表示方法;结合简单的对应图示,了解一一映射的概念. 教学重点:映射的概念. 教学难点:理解概念. 教学过程: 一、复习准备: 1. 举例初中已经学习过的一些对应,或者日常生活中的一些对应实例: 对于任何一个实数 a ,数轴上都有唯一的点 P 和它对应; 对于坐标平面内任何一个点 A,都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应; 对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应; 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应; 2. 讨论:函数存在怎样的对应?其对应有何特点? 3. 导入:函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集” 弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系, 即映射(mapping). 二、讲授新课: 1. 教学映射概念:

① 先看几个例子,两个集合 A、B 的元素之间的一些对应关系,并用图示意 A ? {1, 4,9} , B ? {?3, ?2, ?1,1, 2,3} ,对应法则:开平方; A ? {?3, ?2, ?1,1, 2,3} , B ? {1, 4,9} ,对应法则:平方;

2 3 1 , , } , 对应法则:求正弦; 2 2 2 ② 定义映射:一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f, 使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称 对应 f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射(mapping).记作“ f : A ? B ”
A ? {30?, 45?,60?} , B ? {1,
关键: A 中任意,B 中唯一;对应法则 f. ③ 分析上面的例子是否映射?举例日常生活中的映射实例? ④ 讨论:映射的一些对应情况?(一对一;多对一) 一对多是映射吗? 举例一一映射的实例 (一对一) 2.教学例题: ① 出示例 1. 探究从集合 A 到集合 B 一些对应法则,哪些是映射,哪些是一一映射? A={P | P 是数轴上的点},B=R; A={三角形},B={圆}; A={ P | P 是平面直角体系中的点},B ? {( x, y) | x ? R, y ? R} ; A={高一某班学生}, B= ? ( 师生探究从 A 到 B 对应关系 → 辨别是否映射?一一映射?小结: A 中任意, B 中唯一) ② 讨论:如果是从 B 到 A 呢? ③ 练习:判断下列两个对应是否是集合 A 到集合 B 的映射? A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9},对应法则 f : x ? 2 x ? 1 ;

A ? N * , B ? {0,1} ,对应法则 f : x ? x除以2得的余数 ; A ? N , B ? {0,1, 2} , f : x ? x被3除所得的余数 ;
设 X ? {1,2,3,4}, Y ? {1, , , } f : x ? x取倒数 ;

1 1 1 2 3 4 A ? {x | x ? 2, x ? N}, B ? N , f : x ? 小于x的最大质数
2.课堂作业:书 P34 3,B 组 1、

3. 小结:映射概念. 三、巩固练习: 1. 练习:书 P33,1、2、3、4 题; 2 题.

函数及其表示 (练习课) 教学要求:会求一些简单函数的定义域和值域;能解决简单函数应用问题;掌握分段函数、 区间、函数的三种表示法;会解决一些函数记号的问题. 教学重点:求定义域与值域,解决函数简单应用问题. 教学难点:函数记号的理解. 教学过程: 一、基础习题练习: (口答下列基础题的主要解答过程 → 指出题型解答方法) 1. 说出下列函数的定义域与值域: y ? 2. 已知 f ( x) ?

8 ; y ? x2 ? 4x ? 3 ; 3x ? 5

y?

1 . x ? 4x ? 3
2

1 ,求 f ( 2) , f ( f (3)) , f ( f ( x)) . x ?1

? 0 ( x ? 0) ? 3. 已知 f ( x) ? ? ? ( x ? 0) ,作出 f ( x) 的图象,求 f (1), f (?1), f (0), f { f [ f (?1)]} 的值. ? x ? 1( x ? 0) ? 二、教学典型例题: 1.函数 f ( x) 记号的理解与运用:
① 出示例 1. 已知 f(x)= x
2

2

?1 g(x)= x ? 1 求 f[g(x)]

(师生共练→小结:代入法;理解中间自变量) ② 练习:已知 f ( x) =x ?x+3 求: f(x+1), f(
2

1 ) x

已知函数 f ( x) =4x+3,g(x)=x ,求 f[f(x)],f[g(x)],g[f(x)],g[g(x)]. ③ 出示例 2. 若 f ( x ? 1 ) ? x ? 2 x ,求 f ( x)
王新敞
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分析:如何理解 f ( x ? 1 ? 如何转化为 f ( x) ) 解法一:换元法,设 t ? x ? 1 ,则?? 解法二:配元法, f ( x ? 1 ) ? x ? 2 x ? ( x ? 1)2 ? 1,则?? 解法三:代入法,将 x 用 ( x ? 1)2 ( x ? 1) 代入,则?? 讨论: f ( x) 中,自变量 x 的取值范围? ④ 练习:若 f ( ) ?

1 x

x , 求 f ( x) . 1? x

2. 函数应用问题: ①出示例 3. 中山移动公司开展了两种通讯业务:“全球通”,月租 50 元,每通话 1 分钟, 付费 0.4 元;“神州行”不缴月租,每通话 1 分钟,付费 0.6 元. 若一个月内通话 x 分钟, 两种通讯方式的费用分别为 y1 , y2 (元). Ⅰ.写出 y1 , y2 与 x 之间的函数关系式? Ⅱ.一个月内通话多少分钟,两种通讯方式的费用相同? Ⅲ.若某人预计一个月内使用话费 200 元,应选择哪种通讯方式? ( 师生共练 → 讨论:如何改动,更与实际接近? 小结:简单函数应用模型 ) 三、巩固练习:1. 已知 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3x ,求 f ( x) . 2.若函数 y ? f ( x) 的定义域为[?1,1],求函数 y ? f ( x ? )?f ( x ? ) 的定义域

1 x

3. 设二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) 且 f ( x) =0 的两实根平方和为 10 ,图象过点 (0,3),求 f ( x) 的解析式.

1 4

1 4

王新敞
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2.2.2 二次函数的性质与图像(一) 教学目标:研究二次函数的性质与图像 教学重点:进一步巩固研究函数和利用函数的方法 教学过程:
2 1、 函数 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 叫做二次函数,利用多媒体演示参数 a 、 b 、 c 的变化

对函数图像的影响,着重演示 a 对函数图像的影响 2、 通过以下几方面研究函数

(1)、配方 (2)、求函数图像与坐标轴的交点 (3)、函数的对称性质 (4)、函数的单调性 3、 例:研究函数 f ( x) ? 解:(1)配方 f ( x ) ?

1 2 x ? 4 x ? 6 的图像与性质 2

1 ( x ? 4) 2 ? 2 2

所以函数 f ( x) 的图像可以看作是由 g ( x) ? x 2 经一系列变换得到的,具体地说:先将 g ( x) 上每一点的横坐标变为原来的 2 倍, 再将所得的图像向左移动 4 个单位, 向下移动 2 个单位 得到. (2)函数与 x 轴的交点是(-6,0)和(-2,0),与 y 轴的交点是(0,6) (3)函数的对称轴是 x=-4,事实上如果一个函数满足: f (a ? x) ? f (a ? x) ( f ( x) ? f (2a ? x) ),那么函数 f ( x) 关于 x ? a 对称. (4)设 x1 ? x2 ? ?4 , ?x ? x1 ? x2 ? 0 ,

1 2 1 2 ?y ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) = ( x1 ? x 2 ) ? 4( x1 ? x 2 ) = ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ? 8) 2 2
= ?x( x1 ? x2 ? 8) 因为 ?x ? 0 , x1 ? x2 ? ?8 ? x1 ? x2 ? 8 ? 0 所以 ?y ? 0 所以 函数 f ( x) 在 (??,?4] 上是减函数 同理函数 f ( x) 在 [?4,??) 上是增函数 对于教材上的其他例子可以仿照此例讨论,总结教材上第 64 页上的几条性质。 4、复习通过配方法求二次函数最小值的方法 课堂练习:教材第 65 页 练习 A、B 小结:通过本节课的学习应明确应该从那几个方面研究二次函数. 课后作业:教材第 67 页 7,教材第 68 页 2、4

2.2.2 二次函数的性质与图像(二) 教学目标:研究二次函数的性质与图像 教学重点:进一步巩固研究函数和利用函数的方法 教学过程:

(习题课) 1、某学生离家去学校,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程。下列图中纵轴表示离校 的距离,横轴表示出发后的时间,则较符合学生走法的是 ( ) y y y y

o A

x

o B

x

o C

x

o D

x

2、已知函数 f(x)及函数 g(x)的图象分别如图⑴、⑵所示,则函数 y=f(x)·g(x)的图 象大致是( )
y

y 1

-1

o

1

x

-1

o -1

1

x

图1
y
y

图2
y
y

-1

o

1

x

-1

o

1

x

-1

o

1

x

-1

o

1 x

A

B

C

D

3、若函数 y ? f (4 x ? 1) 是偶函数,则函数 y ? f ( x) 的图象 A.关于直线 x ? ?1 对称 C.关于直线 x ? ? B.关于直线 x ? 1 对称 D.关于直线 x ?

1 对称 4

1 对称 4

4、将奇函数 y ? f ( x) 的图象沿 x 轴的正方向平移 2 个单位,所得的图象为 C,又设图象 C ? 与 C 关于原点对称,则 C ? 对应的函数为 A. y ? ? f ( x ? 2) C. y ? ? f ( x ? 2)
2

( B. y ? f ( x ? 2) D. y ? f ( x ? 2)



5、已知函数 f(x)=|x -2ax+b|(x∈R),给出下列命题:①f(x)必是偶函数;②当 f(0)=f(2)时 f(x)的图象必关于直线 x=1 对称;③若 a2-b≤0,则 f(x)在区间[a, 2 +∞]上是增函数;④f(x)有最大值 a -b,其中正确命题序号是 .

6、对于函数 f(x) ,若存在 x0∈R,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不动点.如果函 2 数 f(x)=ax +bx+1(a>0)有两个相异的不动点 x1,x2. (Ⅰ)若 x1<1<x2,且f(x)的图象关于直线 x=m 对称,求证: (Ⅱ)若|x1|<2 且|x1-x2|=2,求 b 的取值范围. 7、已知函数 f(x)=ax +bx+c(a>b>c)的图象上有两点 A(m,f(m1)) 、B(m2,f(m2)),满足 2 f(1)=0 且 a +(f(m1)+f(m2))·a+f(m1)·f(m2)=0. (Ⅰ)求证:b≥0; (Ⅱ)求证:f(x)的图象被 x 轴所截得的线段长的取值范围是[2,3] ; (Ⅲ)问能否得出 f(m1+3)、f(m2+3)中至少有一个为正数?请证明你的结论 课堂练习:(略) 小结:本节课对前面所学习的内容进行复习 课后作业:(略) 2.5 简单的幂函数 一.教学目标: 1.知识技能 (1)理解幂函数的概念; (2)通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行初步的应用. 2.过程与方法 类比研究一般函数,指数函数、对数函数的过程与方法,后研幂函数的图象和性质. 3.情感、态度、价值观 (1)进一步渗透数形结合与类比的思想方法; (2)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 二.重点、难点 重点:从五个具体的幂函数中认识的概念和性质 难点:从幂函数的图象中概括其性质 5.学法与教具 (1)学法:通过类比、思考、交流、讨论,理解幂函数的定义和性质 ; (2)教学用具:多媒体 三.教学过程: 引入新知 阅读教材 P90 的具体实例(1)~(5),思考下列问题. (1)它们的对应法则分别是什么? (2)以上问题中的函数有什么共同特征? 让学生独立思考后交流,引导学生概括出结论 答:1、(1)乘以 1 (2)求平方 (3)求立方 (4)求算术平方根 (5)求-1 次方 2、上述的问题涉及到的函数,都是形如: y ? x ,其中 x 是自变量, ? 是常数.
?
2

1 <m<1; 2

探究新知 1.幂函数的定义 一般地,形如 y ? x ( x ?R)的函数称为幂孙函数,其中 x 是自变量, ? 是常数.
?

如 y ? x2 , y ? x 3 , y ? x 本初等函数. 2.研究函数的图像 (1) y ? x (4) y ? x ?1

1

?

1 4

等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基

(2) y ? x 2 (5) y ? x3

1

(3) y ? x2

一.提问:如何画出以上五个函数图像 引导学生用列表描点法,应用函数的性质,如奇偶性,定义域等,画出函数图像,最 后,教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.

y ? x2
4

y?x
y ? x2
2

1

y=x3 y=x-1 0
5 10 15

-5

-2

-4

-6

让学生通过观察图像,分组讨论,探究幂函数的性质和图像的变化规律,教师注意引 导学生用类比研究指数函数,对函数的方法研究幂函数的性质. 通过观察图像,填 P91 探究中的表格
-8 -10

y?x
定义域 奇偶性 在第Ⅰ象限 单调增减性 定点 R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

y ? x2
R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

y ? x3
R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

y?x

1 2

y ? x ?1

?x | x ? 0?
非奇非偶 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1)

?x | x ? 0?
奇 在第Ⅰ象限 单调递减 (1,1)

3.幂函数性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) (原因:1 ? 1 );
x

(2) x >0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数(从左往右 看,函数图象逐渐上升).
2 特别地,当 x >1, x >1 时, x ∈(0,1), y ? x 的图象都在 y ? x 图象的下方,形

状向下凸越大,下凸的程度越大(你能找出原因吗?) 当∠α <1 时, x ∈(0,1), y ? x2 的图象都在 y ? x 的图象上方,形状向上凸,α 越小,上凸的程度越大(你能说出原因吗?) (3)α <0 时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 在第一家限内,当 x 向原点靠近时,图象在 y 轴的右方无限逼近 y 轴正半轴,当 x 慢慢 地变大时,图象在 x 轴上方并无限逼近 x 轴的正半轴. 例题: 1.证明幂函数 f ( x) ?

x在[0, ??]上是增函数

证:任取 x1 , x2 ?[0, ??), 且x 1 < x2 则

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ? x2
=

( x 1 ? x2 )( x 1 ? x2 ) x 1 ? x2

=

x 1 ? x2 x 1 ? x2

因 x1 ? x2 <0, x 1 ?

x2 >0
x在[0, ? ?] 上是增函数.

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即 f ( x) ? 思考: 我们知道,若 y ? f ( x) ? 0, 若

f ( x1 ) ? 1 得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,你能否用这种作比的方法 f ( x2 )

来证明 f ( x) ?

x在[0, ??]上是增函数,利用这种方法需要注意些什么?
1 3 3 2 2 4

2.利用函数的性质 ,判断下列两个值的大小
1

(1) 2 6 ,

36

(2) ( x ? 1) 2 ,

x2

( x ? 0)

(3) (a ? 4) 4 , 4
2

?

?

分析:利用幂函数的单调性来比较大小. 5.课堂练习 画出 y ? x 3 的大致图象,并求出其定义域、奇偶性,并判断和证明其单调性. 6.归纳小结:提问方式 (1)我们今天学习了哪一类基本函数,它们定义是怎样描述的? (2)你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗? 作业:P92 习题 2.3 第 2、3 题
2

第三章
课题: 1 正整数指数函数 教学目标: 了解正整数指数函数模型的实际背景。 了解正整数指数函数的概念。 理解具体的正整数 指数函数的图象特征及函数的单调性。借助科学计算器、计算机的运算功能,计算一些正整 数指数函数值。 教学重点:正整数指数函数的概念,函数图象的特征。 教学难点:正整数指数函数图象的特征。 授课类型:新授课 教学过程: 一、新课引入 1992 年底世界人口达到 54.8 亿, 若人口的平均增长率为 2%, 到 2010 年底人口将达到多 18 少亿?(取 1.02 ? 1.43 ) 为解决这个问题,我们必须建立相应的数学模型、函数关系式,设年数为 x,人口数为 y, 则 y =54.8(1+2%)x 其中我们给 y =(1+2%)x 起个名字为正整数指数函数引出本节课题。 二、新课讲授 问题 1 某细胞分裂时,由 1 个分裂为 2 个,2 个分裂成 4 个??一直分裂下去。 ① 列表表示 1 个细胞分裂次数分别为 1,2,3,4,5,6,7,8 时,得到的细胞个数; ② 用图象表示 1 个细胞分裂次数 n 与得到细胞个数 y 之间的关系; ③ 写出 y 与 n 之间的关系式, 试用科学计算器计算细胞分裂 15、 20 次得到的细胞个数。 师生共同讨论,并指出其定义域及函数图象的特点(单调性) 问题 2 电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气的臭氧层,臭氧含量 Q 近似的满足

Q ? Q0 ? 0.9975t 其中 Q0 是臭氧的初始量,t 是时间(年)。这里设 Q0 =1
(1)计算经过 20、40、60、80、100 年,臭氧的含量 Q (2)用图像表示每隔 20 年臭氧含量 Q 的变化; (3)试分析随着时间的增加,臭氧含量 Q 是增加还是减少。 解 (1)使用科学计算器可以算得,经过 20、40、60、80、100 年后,臭氧含量 Q 分别是:

0.997520 ? 0.9512 0.997540 ? 0.9047 0.997560 ? 0.8605 0.997580 ? 0.8185 0.9975100 ? 0.7786
(2)图象是一些孤立的点

y
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

O

x
20 40 60 80 100

(3)由图像可知:随着时间的增加,臭氧的含量逐渐减少 小结:从上述的两个问题的讨论和分析,老师给出正整数指数函数概念:对于
t , Q ? 0.9975 ( t ? N? )我们可以用更一般的式子来表示,用 a 取代 2(a y ? 2n (n? N ? )

>0),用 x 取代 n( x ? N ? )则上式可以表示为 y ? a x (a>0,a≠1, x ? N ? )我们称 这样的函数为正整数指数函数,其中定义域为 x ? N ? ,即正整数集,正因为其定义域为正 整数,所以我们称之为正整数指数函数。 特别指出的是 y ? a x 有如下特点: a) x 是自变量,定义域是正整数集 N ? ,x 在指数上。 b) 规定底数大于 0 且不等于 1。 c) 图象是一些孤立的点,并且当 a>1 时,是单调递增函数,当 0<a<1 时,是单调递减 函数。 在我们研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数。 例 某地现有森林面积是 1000 hm , 每年增长 5%, 经过 x ( x ? N? ) 年, 森林面积为 y hm ,
2 2

写出 x,y 间的函数关系式,并求出经过 5 年,森林的面积是多少?( P62 例题) 学生练习 P 63 小结 作业 再次强调正整数指数函数的特点(图象,表达式,a 的范围)

课题: 2.1 指数概念的扩充 教学目标: 通过与初中所学知识的类比,理解分数指数幂的概念,掌握指数幂的性质、根式与分数 指数幂的互化,能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值。 教学重点: 1) 掌握并运用分数指数幂的运算性质。

2) 运用有理指数幂运算性质进行化简、求值。 教学难点:有理指数幂性质的灵活应用 授课类型:新授课 教学过程: 一、新课引入 回顾初中学习的整数指数幂及其运算性质

an ? a ? a ??? a(n ? N? )
a0 ? 1(a ? 0) 1 a ? n ? n (a ? 0, n ? N ? ) a
二、新课讲授 提出问题 (1) 观察以下式子,并总结出规律:a>0 ① 5 a10 ? 5 (a 2 )5 ? a 2 ? a 5 ② a ? (a ) ? a ? a
8 4 2 4 8 2 12 10

③ 4 a12 ? 4 (a3 )4 ? a3 ? a 4

④ 2 a10 ? 2 (a5 )2 ? a5 ? a 2
4

10

(2) 利用上例你能表示出下面的式子吗?

53 , 3 75 , 5 a7 , n xm ,(x>0,a>0,m,n ? N ? ,且 n>1,)
m n

(3)你能推广到一般的情形吗? 师生讨论得到正数的正分数指数幂的意义: 正数的正分数指数幂的意义是 a m,n ? N ? ,且 n>1) 提出问题 负分数指数幂的意义是怎样规定的? 你能得到负分数指数幂的意义吗? 你认为如何规定 0 的分数指数幂的意义? 分数指数幂的意义中,为什么规定 a>0? 既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数,那么其性质能否推广? 讨论结果有以下结论:

? n a m(a>0,

a

?n

m ? 1 1 1 ? n (a≠0,n ? N ? ), a n ? m ? (a>0,m,n ? N ? ,且 n>1) n m a a n a
r ?s

性质 (1) a ? a ? a
r s

(a>0,r,s∈Q)

(2) (a ) ? a (a>0,r,s∈Q)
r s rs

(3) (a ? b) ? a b (a>0,b>0,r∈Q)
r r r

规定:0 的正分数指数幂是 0,0 的负分数指数幂没有意义。 例题讲解 (1)求下列各式的值

8

2 3

25

?

1 2

1 ( ) ?3 4

16 ? 3 ( ) 4 81
b?5n ? ? 3m

(2)用分数指数幂的形式表示下列各式中的 b(式中 a>0)

b5 =32

b5 ? 25?4

b? 3 a?4 a

b?

a

学生练习 p66 点评: 利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时, 其顺序是先化为 根式,再把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,对于计算的结果,不强求统一 用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指 数又有根式,也不能既有分母又有负指数。 同学们可参阅 p65 了解有关无理数指数幂知识(老师做必要的说明,极限思想) 作业 1.计算下列各式

27

1 3

3

42

( 25 ? 125) ? 25
3 4

a2 a ? 3 a2

(a ? 0)

2.求值
4

81 ? 9

2 3

2 3 ? 3 1.5 ? 6 12

课 题: 2.2 指数运算的性质 教学目的: 巩固根式和分数指数幂的概念和性质, 并能熟练应用于有理指数幂的概念及运算法则进 行相关计算 教学重点:利用指数运算性质进行化简,求值。 教学难点:指数运算性质的灵活运用
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课时安排:2 课时 教学过程: 一、复习巩固: 总结上节课内容并指出指数的运算在整个实数上都成立, 本节课我们一起来看看他们满 足什么运算性质。 先回顾正整数指数幂的运算性质

a m ? a n ? a m?n ( a m ) n ? a mn ( ab) n ? a n ? b n
当 a ? 0时,有

am an

? a m? n , 当m? n时 ? ? ? 1, 当m=n时 ?a ? ( n ? m ) , 当m ?n时 ?

a an ( )n ? n b b
其中 m,n∈ N ? 实际上,当 a>0,b>0 时,对任意的 m,n 都满足上述性质,我们可以把上述五条归纳为三 条:

(1)a m ? a n ? a m ? n (2)(a m ) n ? a mn (3)(ab) n ? a n ? b n
二、新课讲授 学生看书 67 页例 1 例 2 化简(式中字母均为正实数): (1) 3x 2 (2x?
1

2

yz)
2

(2) ( x ? y ) (4 y

?

??

)

解 (1) 3x 2 (2x?
1

yz) = ( 3? 2)x
) ? 4x
1
? ? +?
1

2? 2

yz ? 6 yz

(2) ( x y) (4 y 学生练习 68 页练习
?

?

?

??

?

??

? y? ? y ?? ? 4 xy? ?? ? 4 x
?

例 3 已知 10 ? 3,10 ? 4, 求10 解

, 10? ?? , 10?2? , 10 5

10? ? ? ? 10? ?10? ? 3 ? 4 ? 12

10? ? ? ?

10? 3 ? 10? 4
1 9

10?2? ? (10? ) ?2 ? 3?2 ?

10 5 ? (10? ) 5 ? 4 5
学生练习 68 练习 1.思考.
1 已知 a 2

?

1

1

2

?a
?1

?

1 2 =3,求下列各式的值:

(注意:补充立方和的乘法公式)
3

(1) a ? a

; (2) a ? a
2

?2

; (3)

a2 ? a
1 a2

? ?

3 2 1 2



?a 讨论方法 → 教师示范 → 学生试练 (答案:(1)7;(2)47;(3)8.) 小结 作业

第二课时 教学过程: 一、巩固练习:

授课类型:

巩固课

回顾分数指数幂的运算性质推广到实数集上:

a m ? a n ? a m ? n (m, n ? R) (a m ) n ? a mn (m, n ? R) (ab) n ? a n ? b n (n ? R)
二、讲解范例: 例 1 计算下列各式(式中字母都是正数) :
2 1 1 1 1 5 1

⑴ (2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? (?3a 6 b 6 ) ;⑵ (m 4 n 8 )8 . 解:⑴原式=[2×(-6)÷(-3)] a 3
1 ? 3
2 1 1 ? ? 2 6

?

3

?b2

1 1 5 ? ? 3 6

? 4ab0 ? 4a ;

⑵原式= (m 4 ) 8 (n 8 )8 ? m 2 n ?3 ?

m2 n3

说明: 该例是运用分数指数幂的定义和运算性质进行计算的题, 第⑴小题是仿照单项式 乘除法进行的,首先将系数相乘除,然后将同底数的幂相乘除;第⑵小题是先按积的乘方计 算,再按幂的乘方计算,在计算过程中要特别注意符号. 同学们在下面做题中,刚开始时, 要严格按照象例题一样的解题步骤进行,待熟练以后再简化计算步骤. 例 2 计算下列各式: ⑴ (3 25 ? 125) ? 4 5 ;⑵
2 3 3 2 1 4

a2 a? a
3 2

(a>0).
3 2 1 4 2 1 ? 3 4 3 1 ? 2 4 5 12 5 4

解:⑴原式= (5 ? 5 ) ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 = 12 5 ? 4 5 ? 12 5 ? 54 5 ;
5 5 5

2 3

1 4

?5

? 5 ?5

⑵原式=

a2 a ?a
1 2 2 3

?a

1 2 2? ? 2 3

5

? a 6 ? 6 a5 .

说明:本例是利用分数指数幂来进行根式计算,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再 根据幂的运算性质进行计算; 对于计算结果, 若没有特别要求, 就用分数指数幂的形式表示, 若有特殊要求,可根据要求给出结果,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分 母又含有负指数 例 3 化简: ( x ? y ) ? ( x ? y ) 解:
1 2 1 2 1 4 1 4

1

1

1

1

(x 2 ? y 2 ) ? (x 4 ? y 4 )
1 1 1 1 1 1

? ( x 4 ? y 4 )(x 4 ? y 4 ) ? ( x 4 ? y 4 )
1 1

? x4 ? y4
评述:此题注重了分子、分母指数间的联系,即 ( x ) ? x ,由此联想到平方差公式的特 点,进而使问题得到解决 -1 思考 已知 x+x =3,求下列各式的值:
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1 4 2

1 2

(1) x ? x , (2) x ? x .
解:
1 ? 1 2 1 2 ? 1 2 ? 1 2 2

1 2

?

1 2

3 2

?

3 2

(1) ? x 2 ? x
1 2 2

(2) x ? x
1

3 2

?

3 2 1

? (x ) ? 2 ? x x ? x1 ? x ?1 ? 2 ? 3? ? 5 ?x ? x
1 2 1 2 ? 1 2

? ( x ) =(x 2 )3 ? ( x ? 2 )3
? ( x ? x )[( x ) ? x ? x ? ( x 2 ? x 2 )[( x ? x ?1 ) ? 1] ? 5(3 ? 1) ?2 5
1 ? 1 1 2 ? 1 2 1 2 2 1 2 ? 1 2

1 ? ( x ? )2 ] 2

?? 5
1 ? 2

又由x ? x ?1 ? 3得x ? 0 所以x ? x ? 5

五、小结 本节课学习了以下内容: 熟练进行有关分数指数幂的计算。 六、课后作业: 1.求下列各式的值: (1) 121
1 2

(2) (

64 49

)

?

1 2

(3) 10000

?

3 4

125 ? 3 (4) ( ) 27

2

a b c d 2.已知: 2 3 ? 2 3 ? 6 ,求证: (a ? 1)(d ? 1 ) ? (b ? 1)(c ? 1) .

, 4.已知: a ? 2 7 , b ? 5 2 ,求

a b ? 9b
3 2 ?2 3 4 ?

3 2

?2

4 3 4 3

a b ? 6a b ? 9b
6.设 mn>0,x=

1 3

?

b3 a ? 3b
3 4 5 3

的值..

2 x2 ? 4 m n ? ,化简:A= . n m x ? x2 ? 4

解:∵x -4=(

2

m n 2 m n 2 ? ? ) -4=( ) , n m n m

2
∴A=

m n ? n m m n ? n m

=

2m?n m?n? m?n



m n ? ? n m

又∵mn>0,∴m,n 同号. ⑴设 m>0,且 n>0,则 A= ①若 m ? n,则 A=

2m?n m?n? m?n

.

m?n n?m ;②若 m<n,则 A= . n m

⑵设 m<0,且 n<0,则 A= ①若 n ? m,则 A=

2n?m ?m?n? n?m

.

m?n n?m ;②若 n<m,则 A= . n m

?m ? n (m ? n) ? ? n 综上所述得:A= ? . n ? m ? (m ? n) ? ? m

课 题: 3.1 指数函数的概念 教学目的: 理解指数函数的概念,并能正确作出其图象,掌握指数函数的性质.培养学生实际应用 函数的能力 教学重点:指数函数的图象、性质 教学难点:指数函数的图象性质与底数 a 的关系.
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授课类型:新授课 教学过程: 一、复习引入: 引例:某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,??. 1 个这样的细胞 分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么? 分裂次数:1,2,3,4,?,x 细胞个数:2,4,8,16,?,y 由上面的对应关系可知,函数关系是 y ? 2 .
x

引例 2: 某种商品的价格从今年起每年降低 15%, 设原来的价格为 1, x 年后的价格为 y,

则 y 与 x 的函数关系式为 y ? 0.85x

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在 y ? 2 x , y ? 0.85x 中指数 x 是自变量,底数是一个大于 0 且不等于 1 的常量. 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于 0 且不等于 1 的常量的函数叫做指数 函数. 二、新课讲授 1.指数函数的定义: 函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数定义域是 R 探究 1:为什么要规定 a>0,且 a ? 1 呢? ①若 a=0,则当 x>0 时, a =0;当 x ? 0 时, a 无意义.
x x
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②若 a<0,则对于 x 的某些数值,可使 a 无意义. 如 (?2) ,这时对于 x=
x

x

1 1 ,x= ,? 4 2

等等,在实数范围内函数值不存在. ③若 a=1,则对于任何 x ? R, a =1,是一个常量,没有研究的必要性.
x

为了避免上述各种情况,所以规定 a>0 且 a?1 在规定以后,对于任何 x ? R, a 都有意
x
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义,且 a >0. 因此指数函数的定义域是 R,值域是(0,+∞). 探究 2:函数 y ? 2 ? 3 x 是指数函数吗? 指数函数的解析式 y= a 中, a 的系数是 1. 有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如 y= a +k (a>0 且 a ? 1,k ? Z);有些函数
x x x

x

看起来不像指数函数,实际上却是,如 y= a

?x

?1? (a>0,且 a ? 1),因为它可以化为 y= ? ? , ?a?

x

其中

1 1 >0,且 ? 1 a a
x x

2.指数函数的图象和性质:

?1? ?1? x 在同一坐标系中分别作出函数 y= 2 ,y= ? ? ,y= 10 ,y= ? ? 的图象. ?2? ? 10 ?
x

列表如下: x y= 2
x

? ?
x

-3 0.13 8

-2 0.25 4

-1 0.5 2

-0.5 0.71 1.4

0 1 1

0.5 1.4 0.71

1 2 0.5

2 4 0.25

3 8 0.13

? ? ?

?1? y= ? ? ?2?

?

x y= 10
x

? ?
x

-1.5 0.03 31.62

-1 0.1 10

-0.5 0.32 3.16

-0.25 0.56 1.78

0 1 1

0.25 1.78 0.56

0.5 3.16 0.32

1 10 0.1

1.5 31.62 0.03

? ? ?

?1? y= ? ? ? 10 ?

?

?1? ?1? x 我 们 观 察 y= 2 , y= ? ? , y= 10 , y= ? ? 的 图 象 特 征 , 就 可 以 得 到 ?2? ? 10 ?
x

x

x

y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质
a>1
6

王新敞
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新疆

0<a<1
6

图 象
1

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

例题讲解: 例 1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过 1 年剩留的这种物质是原来的 84%, 画出这种物质的剩留量随时间变化的图象, 并从图象上求出经过多少年, 剩量留是原来的一 半(结果保留 1 个有效数字) 分析:通过恰当假设,将剩留量 y 表示成经过年数 x 的函数,并可列表、描点、作图, 进而求得所求 解:设这种物质量初的质量是 1,经过 x 年,剩留量是 y
王新敞
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王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

经过 1 年,剩留量 y ? 1? 84% ? 0.84 经过 2 年,剩留量 y ? 1? 84%2 ? 0.71 ?? 一般地,经过 x 年,剩留量 y=0.84
x

3.5

1 0.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0
-0.5

1
1

2
2

3
3

4
4

5
5

根据这个函数关系式可以列表如下: x y 0 1 1 0.84
x

2 0.71

3 0.59

4 0.50

5 0.42

6 0.35

用描点法画出指数函数 y=0.84
王新敞
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的图象 从图上看出 y=0.5 只需 x≈4. 答:约经过 4 年,剩留量是原来的一半 评述:指数函数图象的应用;数形结合思想的体现 例 2 比较下列各题中两个值的大小:
王新敞
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王新敞
奎屯

新疆

① 1 .7

2.5

, 1.7 ;

3

② 0.8

?0.1

, 0.8

?0.2



③ 1 .7

0.3

, 0 .9

3 .1

解:利用函数单调性 ① 1 .7
x 2.5

与 1.7 的底数是 1.7,它们可以看成

3

5





4.5

4

3.5

y= 1.7 ,当 x=2.5 和 3 时的函数值;因为 1.7>1,
x 数 y= 1.7 在 R 是增函数,而 2.5<3 ,所以,
-2

f?x? = 1.7x
2.5 2 1.5 1

3

所以函

0.5

-1

1

2

3

4

5

6

-0.5

1.7 2.5 < 1.7 3 ;
1.8

② 0.8

?0.1

与 0.8

?0.2

的底数是 0.8, 它们可以看

f?x? = 0.8x

1.6

成 为

1.4

1.2

函数 y= 0.8 ,当 x=-0.1 和-0.2 时的函数值;因 0<0.8<1 ,所以函数 y= 0.8 在 R 是减函数,而
-1.5 -1 -0.5

x

1

0.8

0.6

x

0.4

0.2

0.5

1

?0.1 ?0.2 -0.1>-0.2,所以, 0.8 < 0.8 ;

-0.2

③ 在 下 面 几 组 数 之 间 的 横 线 上 填 上 适 当 的 不 等 号 或 等 号 : 1 .7

0.3

>1 ; 0.9

3 .1

<1 ;

1.7 0.3 > 0.9 3.1

3.2
3.2

3
3

2.8
2.8

2.6
2.6

2.4
2.4

2.2

2.2

2

2

1.8

1.8

f?x? = 1.7x

f?x? = 0.9x

1.6

1.6

1.4

1.4

1.2

1.2

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

-2

-1.5

-1

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.4

-0.4

小结: 对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性, 必须要明确所给的两个值是哪 个指数函数的两个函数值;对不同底数的幂的大小的比较可以与中间值进行比较. 练习:⑴比较大小: (?2.5)
2 3

, (?2.5)

4 5

⑵已知下列不等式,试比较 m、n 的大小:

2 2 ( ) m ? ( ) n ?m < n; 1.1m ? 1.1n ? m < n. 3 3
⑶比较下列各数的大小: 10 ,

0.4 ?2.5 ,

2 ?0.2

, 2.5

1 .6

小结 本节课学习了以下内容:指数函数概念,指数函数的图象和性质 课后作业:

课 题: 3.2 指数函数的图像和性质 教学目的: 熟练掌握指数函数概念、图象、性质 掌握指数形式的函数定义域、值域,判断其单调 性;培养学生数学应用意识 教学重点:指数形式的函数定义域、值域 教学难点:判断单调性.
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

授课类型:新授课 教学过程: 一、复习引入:

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y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质
a>1
6

王新敞
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0<a<1
6

图 象
1

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

(1)定义域:R

性 质

(2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

二、新课讲授: 例 1 求下列函数的定义域、值域: ⑴ y ? 0.4
1 x ?1

⑵y ?3

5 x?1

⑶ y ? 2x ?1

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分析:此题要利用指数函数的定义域、值域,并结合指数函数的图象 注意向学生指出 函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量 x 的取值范围 解(1)由 x-1≠0 得 x≠1 所以,所求函数定义域为{x|x≠1} 1 由 ? 0 ,得 y≠1
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x ?1

王新敞
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所以,所求函数值域为{y|y>0 且 y≠1}

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说明:对于值域的求解,在向学生解释时,可以令 并结合图象直观地得到,以下两题可作类似处理 (2)由 5x-1≥0 得 x ?
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1 ? t ,考察指数函数 y= 0.4t , x ?1

1 5

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所以,所求函数定义域为{x| x ? 由

1 } 5

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5x ?1 ≥0 得 y≥1
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所以,所求函数值域为{y|y≥1} (3)所求函数定义域为 R
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由 2 >0 可得 2 +1>1

x

x

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所以,所求函数值域为{y|y>1} 通过此例题的训练, 学会利用指数函数的定义域、 值域去求解指数形式的复合函数的定 义域、值域,还应注意书写步骤与格式的规范性
王新敞
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王新敞
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?1? 例 2 求函数 y ? ? ? ?2?
解:设 x1 ? x2

x2 ?2 x

的单调区间,并证明

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?1? 2 ? ? x1 ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ? 2 ) 2 ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 y2 ? 2 ? ?1? ?1? ? ?? ? ?? ? 则 2 y1 ? 1 ? x1 ?2 x1 ? 2 ? ?2? ? ? ?2?
∵ x1 ? x2 ∴ x2 ? x1 ? 0

2 x2 ? 2 x2

当 x1 , x2 ? ?? ?,1? 时, x1 ? x2 ? 2 ? 0 这时 ( x2 ? x1 )(x2 ? x1 ? 2) ? 0



y2 ? 1 ∴ y2 ? y1 ,函数单调递增 y1

王新敞
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新疆

当 x1 , x2 ? ? 1, ? ?? 时, x1 ? x2 ? 2 ? 0 这时 ( x2 ? x1 )(x2 ? x1 ? 2) ? 0 即

y2 ? 1 ∴ y 2 ? y1 ,函数单调递减 y1

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∴函数 y 在 ?? ?,1?上单调递增,在 ?1, ? ? ? 上单调递减 解法二、 (用复合函数的单调性) : 设: u ? x 2 ? 2x 则: y ? ? ?
u

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?1? ? 2?

u

?1? 对任意的 1 ? x1 ? x2 ,有 u1 ? u 2 ,又∵ y ? ? ? 是减函数 ? 2?
∴ y1 ? y 2

?1? ∴y?? ? ?2?

x2 ?2 x

在 [1,??) 是减函数

王新敞
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新疆

对任意的 x1 ? x2 ? 1 ,有 u1 ? u 2 ,又∵ y ? ? ? 是减函数

?1? ? 2?

u

∴ y1 ? y 2

?1? ∴y?? ? ?2?

x2 ?2 x

在 [1,??) 是增函数

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?1? 引申:求函数 y ? ? ? ?2?

x2 ?2 x

的值域 ( 0 ? y ? 2 )

小结:复合函数单调性的判断 例 3 设 a 是实数, f ( x) ? a ?

2 ( x ? R) 2 ?1
x

试证明对于任意 a, f ( x) 为增函数; 分析:此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明 还应要求 学生注意不同题型的解答方法
王新敞
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(1)证明:设 x1 , x 2 ∈R,且 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a ?


2 2 ) ? (a ? x 2 1 ?1 2 2 ? 1)
x
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2 2 2(2 x1 ? 2 x 2 ) ? x ? ? 2 2 ? 1 2 x1 (2 x1 ? 1)(2 x 2 ? 1)
x

由于指数函数 y= 2 在 R 上是增函数,且 x1 ? x2 ,

所以

2 x1 ? 2 x2 即 2 x1 ? 2 x2 <0,
x x
x

又由 2 >0 得 2 1 +1>0, 2 2 +1>0 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) <0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 因为此结论与 a 取值无关,所以对于 a 取任意实数, f ( x) 为增函数
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评述:上述证明过程中,在对差式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性 练习: 求下列函数的定义域和值域: ⑴ y ? 1? ax
x

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⑵ y ? ( ) x ?3
x

1 2

1

解:⑴要使函数有意义,必须 1 ? a ? 0 , a ? 1 当 a ? 1时 ∵a ? 0
x

x ? 0 ; 当 0 ? a ? 1时 x ? 0
∴ 0 ? 1? a ? 1
x

∴值域为 0 ? y ? 1

⑵要使函数有意义,必须

x ? 3 ? 0 即 x ? ?3
1

1 ?0 ∵ x?3
又∵ y ? 0 小结

1 1 0 ∴ y ? ( ) x ?3 ? ( ) ? 1 2 2
∴值域为 (0,1) ? (1,??)

本节课学习了以下内容: 指数形式的函数定义域、值域的求法,判断其单调性方法 课后作业:

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课 题: 3.3 指数函数的图象和性质 教学目的: 了解函数图象的变换; 能运用指数函数的图象和性质解决一些简单问题.培养观察分析、 抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力;培养发现问题和提出问题的意识、善于独立 思考的习惯 教学重点:函数图象的变换;指数函数性质的运用 教学难点:函数图象的变换;指数函数性质的运用.
王新敞
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授课类型:新授课 教学过程:

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一、复习引入:指数函数 y ? a ?a ? 0, a ? 0? 的定义、图像、性质(定义域、值域、单调
x

性)

王新敞
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二:新课讲授 例 1 用计算机作出图像, 并在同一坐标系下作出下列函数的图象, 并指出它们与指数函 数 y= 2 的图象的关系, ⑴y= 2
x ?1 x

与 y= 2

x?2

.

⑵y= 2

x ?1

与 y= 2

x ?2

.

解:⑴作出图像,显示出函数数据表 x -3
x

-2 0.25 0.5 1
x ?1

-1 0.5 1 2
x?2 x

0 1 2 4

1 2 4 8

2 4 8 16
9

3 8 16 32 系:将 位 长 y= 2
x

2 2 x ?1 2 x?2

0.125 0.25 0.5 比较函数 y= 2
x

、y= 2

与 y= 2 的关
8 7 6 5 4 3 2 1
-6 -4 -2

8

7

指数函数 y= 2 的图象向左平行移动 1 个单 度, 就得到函数 y= 2
x ?1

6

5

4

的图象,将指数函数

3

2

的图象向左平行移动 2 个单位长度,就得到 y= 2 x
x?2

1

函 数
1 2 3
2 4 6 8

的图象 ⑵作出图像,显示出函数数
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-3 -2 -1 0

据表 3 8 4 2 将指数函 度,就得 的图象向

-3
x

-2 0.25 0.125 0.625
x ?2

-1 0.5 0.25 0.125
x

0 1 0.5 0.25

1 2 1 0.5
9

2 4 2 1

2 2 x ?1 2 x ?2

0.125 0.625 0.3125
x ?1

比较函数 y= 2
x

、 y= 2

与 y= 2 的关系:
8 7 6 5 4 3 2 1
-6 -4 -2

8

7

数 y= 2 的图象向右平行移动 1 个单位长 到函数 y= 2
x ?1

6

5

4

的图象,将指数函数 y= 2

x

3

2

1

右平行移动 2 个单位长度,就得到函数 图象
王新敞
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-3 -2 -1 0

1 2 3 4 5
2 4

6

8

y= 2

x ?2



小结:⑴ y= 2

x?m

与 y= 2 的关系:当 m>0 时,将指数函数 y= 2 的图象向右平行移动 m
x?m

x

x

个单位长度,就得到函数 y= 2

的图象;当 m<0 时,将指数函数 y= 2 的图象向左平行移
x?m
3.5

x

动 m 个单位长度, 就得到函数 y= 2 的图象
王新敞
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3

例 2 ⑴已知函数 y ? ? ? 用

?1? ? 2?

x
2.5

2

1.5

1

0.5

-3

-2

-1

D
-0.5

1

2

3

计算器或计算机作出函数图像,求定义域、值域,并探讨 y ? ? ? 与 y ? ? ? 图像的关 系
王新敞
奎屯 新疆

?1? ? 2?

x

?1? ? 2?

x

?? 1 ? x ? ? ,x ? 0 解: y ? ?? ?2? ? 2x , x ? 0 ?
x

定义域:x?R

值域: 0 ? y ? 1

?1? ?1? 关系:将 y ? ? ? 的图像 y 轴右侧的部分翻折到 y 轴左侧的到 y ? ? ? 的图像,关 ? 2? ? 2?
于 y 轴对称. ⑵已知函数 y ? ? ?

x

?1? ?2?
x ?1

x ?1

用计算器或计算机作出函数图像,求定义域、值域,并探讨

?1? y ?? ? ? 2?

x ?1

?1? 与 y ?? ? ?2?
x ?1

3.5

图像的关系

3
王新敞
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2.5

2

?? 1 ? ? ? , x ?1 解: y ? ?? 定义域:x?R ?2? x ? 1 ? 2 , x ?1 ?
0 ? y ?1

1.5

值域:
-3 -2 -1

1

1

0.5

D
-0.5

1

1

2

3

?1? 关系:将 y ? ? ? ? 2? ?1? y ?? ? ?2?
x ?1

x ?1

(x>1)的图像在直线 x=1 右侧的部分翻折到直线 x=1 左侧得到

的图像,是关于直线 x=1 对称

⑵推广:对于有些复合函数的图象,则常用基本函数图象+变换方法作出: 基本函数图象+变换:即把我们熟知的基本函数图象,通过平移、作其对称图等方法, 得到我们所要求作的复合函数的图象,如上例,这种方法我们遇到的有以下几种形式: 函 数 y=f(x+a) y=f(x)+a y=f(-x) y=-f(x) y=-f(-x) y=f(|x|) y=|f(x)| y=f(x) a>0 时,向左平移 a 个单位;a<0 时,向右平移|a|个单位. a>0 时,向上平移 a 个单位;a<0 时,向下平移|a|个单位. y=f(-x)与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称. y=-f(x)与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称. y=-f(-x)与 y=f(x)的图象关于原点轴对称. y=f(|x|)的图象关于 y 轴对称,x ? 0 时函数即 y=f(x),所以 x<0 时的图象与 x ? 0 时 y=f(x)的图象关于 y 轴对称. ∵ y ? f ( x) ? ?

? f ( x), f ( x) ? 0; , ∴ y=|f(x)| 的 图 象 是 ?? f ( x), f ( x) ? 0.

y=f(x) ? 0 与 y=f(x)<0 图象的组合. y= f
?1

( x)

y= f

?1

( x) 与 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称.

以上是在高一阶段我们看到的几种函数图象的变换, 但随着知识的增加, 还会有许多较 复杂的变换,以后再作研究.

2 x ? 2? x 例 3 已知函数 y ? 2
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求函数的定义域、

6

5

4

值域 解:作出函数图像,观察分析讨论,教师引导、整理 定义域为 R
王新敞
奎屯 新疆

3

2

1

-4

-2

2

4

由y?

2 x ? 2? x 得 2

22 x ? 2 y ? 2 x ? 1 ? 0

∵x?R, ∴△ ? 0, 即 4 y 2 ? 4 ? 0 , ∴ y 2 ? 1 , 又∵ y ? 0 ,∴ y ? 1 小结 本节课学习了以下内容:函数图像的变换 课后作业:
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4 对数 教学目标: 1、理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与 指数式的关系;通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握 化简求值的技能;运用对数运算性质决有关问题。培养学生分析、综合解决问题的能力;培 养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度。 2、通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质,让学生经历并推理出对数的运算性 质;让学生归纳整理本节所学的知识。 3、学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的 运算法则的学习,培养学生严谨的思维品质;在学习过程中培养学生探究的意识;让学生感 受对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性。 教学重点难点: 重点:对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用。 难点:对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用。 教学过程: 4.1 对数及其运算(第 1 课时) 一、引入: 在上一节,我们研究细胞分裂时,曾归纳出,第

x 次分裂后,细胞的个数

y ? 2x
给定细胞分裂次数

x ,可求出细胞个数 y 。在实际问题中,又常常需要由细胞分裂

若干次后的个数

y ,计算分裂的次数 x 。

2000 年我国国民经济生产总值为

a 亿元,如果按平均每年增长 8.2%估算,那么经过多

少年国民经济生产总值是 2000 年的 2 倍。 假设经过

x 年,国民经济生产总值是 2000 年 2 倍,依题意,有
a(1 ? 8.2%) x ? 2a

即 指数

1.082x ? 2

x 取何值时满足这个等式呢?

我们经常遇到这类已知底数和幂的值,求指数的问题。这就是我们接下来要学习的对 数问题。 二、讲授新课: 1 对数 (1)、定义: 一般地,如果 以

a(a ? 0, a ? 1) 的 b 次幂等于 N ,即 a b ? N

,那么数 b 叫作

a 为底 N 的对数,记作
loga N ? b

其中 a 叫作对数的底数, N 叫作真数。 实质上,对数表达式不过是指数函数式 例如,

y ? a x 的另一种表达形式。

34 ? 81 与4 ? log3 81

这两个式子表达的是同一关系。 (2)、说明: ①

a ? 0, a ? 0
loga 1 ? 0, loga a ? 1(a ? 0.a ? 0)

② 负数和零没有对数。 ③ ④

a loga N ? N (对数恒等式 ), loga a b ? b(a ? 0, a ? 1)
N ,简记作 lg N 。

2、常用对数、自然对数 通常将以 10 为底的对数叫作常用对数, N 的常用对数 log10

以 e 为底的对数称为自然对数, N 的自然对数 loge ? N ,简记作 ln N 。 例 1 将下列指数式写成对数式:

(1)

5 ? 625
4

(2)

3 ?3 ?

1 27

(3)

8 ? 16

4 3

(4)

5a ? 15

解 (1) log5

625 ? 4

(2) log 3

1 ? ?3 27

(3) log 8 16 ?

4 3
(2) log3

(4) log5 15 ?

a
1 ?3 27

例 2 将下列对数式写成指数式: (1)

log1 16 ? ?4
2

243 ? 5

(3) log 1
3

(4) lg 0.1 ?

?1

解 (1) (

1 ?4 ) ? 16 2

(2) 3

5

? 243

(3) (

1 3 1 ) ? 3 27
(4) ln 1

(4) 10

?1

? 0.1

例 3 求下列各式的值: (1) log5

25
5

(2) log1
2

32

(3) 3

log3 10

(5) log2.5

2.5

解 (1)因为 5 (2)因为 ( (3) 3

? 25 ,所以 log5 25 ? 2 ;

1 ?5 ) ? 32 ,所以 log1 32 ? ?5 ; 2 2

log3 10

? 10

(4) ln 1 ?

0

(5) log2.5

2.5 ? 1

三、课堂练习: 课本 P81 练习 1 , 1、2、3 四、课堂小结: 1 对数的定义;2 几种特殊数的对数;3 负数和零没有对数;4 对数恒等式;5 常用对 数和自然对数。 五、作业: 习题 3-4 A 组 P88 1、2、3 补充作业: 已知 loga 解 因为 loga 所以 a

2 ? m, loga 3 ? n ,求 a

2m?n

的值。

2 ? m, loga 3 ? n ,根据对数的定义有 a m ? 2, a n ? 3,
? (a m ) 2 ? a n ? 2 2 ? 3 ? 12

2 m? n

4.1 对数及其运算(第 2 课时) 一、复习回顾: 1 对数的定义 2 指数式与对数式的互化 3 重要公式 4 指数的运算法则 二、教授新课: 1 对数的运算性质 如果 a

? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,则

(1) loga (MN ) (2) loga (3) log a

? loga M ? loga N

M n ? n ? loga M (a ? R)
M ? log a M ? log a N N

证明:设 loga

M ? p, loga N ? q ,则由对数定义得

a p ? M , aq ? N
因为

MN ? a p a q ? a p ? q ,所以
p ? q ? loga (MN )



loga (MN ) ? loga M ? loga N
1 3

例 4 计算:

(1)

log3 (9 ? 3 )
2 5

(2) lg 100

解(1)

log3 (9 2 ? 35 ) ? log3 9 2 ? log3 35
? log3 34 ? 5 log3 3

? 4?5?9
(2)

lg 100 ?

1 3

1 1 2 lg10 2 ? ? 2 ? 5 5 5

例 5 用 loga

x, loga y, loga z 表示下列各式:

(1) loga ( x

2

yz)
2

x2 (2) loga yz

(3) loga

x y2 z

解 (1) loga ( x

yz) ? loga x 2 ? loga y ? loga z

? 2 loga x ? loga y ? loga z

x2 ? loga x 2 ? loga ( yz) (2) loga yz
? 2 loga x ? (loga y ? loga z)

? 2 loga x ? loga y ? loga z
(3) loga

x ? loga x ? loga ( y 2 z) y z
2

?

1 log a x ? 2 log a y ? log a z 2

例 6 科学家以里氏震级来度量地震的强度。若设 I 为地震时所散发出来的相对能量程度, 则里氏震级 r 可定义为 r ? 0.6 lg I ,试比较 6.9 级和 7.8 级地震的相对能量程度。 解 设 6.9 级和 7.8 级地震的相对能量程度分别为 I 1和I 2 ,由题意得

?6.9 ? 0.6 lg I 1 ? ?7.8 ? 0.6 lg I 2
因此

0.6(lg I 2 ? I1 ) ? 0.9
lg I2 ? 1.5 I1



所以

I2 ? 101.5 ? 32 I1

因此,7.8 级地震的相对能量程度约为 6.9 级地震的相对能量程度的 32 倍。 三、课堂练习: 课本 P84 练习 2 , 1、2、3 四、课堂小结: 1、对数的运算法则 2、对数的运算法则的综合应用,特别是公式的逆向使用 3、对数与指数形式比较 五、作业:

习题 3-4

A 组 6、7、8
a

补充作业:已知 a、b、c 均为正数, 3 证法一:设 3
a

2 1 2 ? 4 b ? 6 c ,求证: ? ? 。 a b c

? 4b ? 6 c ? k ,则 k ? 0 。

由对数的定义得 a 则 =

? log3 k , b ? log4 k , c ? log6 k ,
左 边

2 1 2 1 ? ? ? ? 2 logk 3 ? logk 4 ? logk 9 ? logk 4 ? logk 36 , a b log3 k log4 k

2 2 2 1 2 ? ? 2 log 6 ? log 36 , 所以 ? ? 。 右边= k k c log6 k a b c
证法二:

对3a ? 4b ? 6c同时两边取常用对数得 lg 3a ? lg 4b ? lg 6c , a lg 3 ? b lg 3 ? c lg 6.
所以

c lg 3 c lg 4 ? ? log6 3, ? ? log6 4. a lg 6 b lg 6



2c c ? ? log 6 (9 ? 4) ? 2 a b

所以

2 1 2 ? ? a b c

4.2 换底公式 一、引入: 在实际应用中,常常碰到底数不为 10 的对数,如何求这类对数呢?例如,如何求

log3 5 ?
我们可以根据对数的性质,利用常用对数来计算。 设

log3 5 ? x ,写成指数形式,得

3x ? 5
两边取常用对数,得

x lg 3 ? lg 5

所以

x?

lg 5 0.6990 ? ? 1.465 lg 3 0.4771

即 二、讲授新课: 1、换底公式

log3 5 ? 1.465

logb N ?
证明 设 x

loga N (a, b ? 0, a, b ? 1, N ? 0) loga b

? logb N ,根据对数定义,有

N ? bx
两边取以 a 为底的对数,得

loga N ? loga b x
而 loga

b x ? x loga b ,所以
loga N ? x loga b

由于 b

? 1 ,则 loga b ? 0 ,解出 x ,得
x? loga N loga b


因为 x

? logb N ,所以
logb N ? loga N loga b

很容易由换底公式得到

logb a ?
例 7 计算: (1)

1 loga b

log9 27
27 ?

(2)

log8 9 ? log27 32



(1) log9

log3 27 3 ? log3 9 2

(2) log8

9 ? log27 32 ?

lg 9 lg 32 2 lg 3 5 lg 2 10 ? ? ? ? lg 8 lg 27 3 lg 2 3 lg 3 9

例 8 用科学计算器计算下列对数(精确到 0.001):

log2 48 ; log3 10 ; log8 ? ; log5 50 ; log1.082 2


log2 48 ? 5.585

log3 10 ? 2.096 log8 ? ? 0.550

log5 50 ? 2.431

log1.082 2 ? 8.795
例 9 一种放射性物质不断变化为其他物质, 每经过一年剩留的质量约是原来的 84%, 估计经 过多少年,该物质的剩留量是原来的一半(结果保留 1 个有效数字)。 解 设最初的质量是 1,经过 经过 1 年,剩留量是 经过 2 年,剩留量是 ?? 经过

x 年,剩留量是 y ,则

y ? 0.84 ,

y ? 0.842 ,

x 年,剩留量是 y ? 0.84x 。
表 3-9 0 1 1 0.84 2 0.71 3 0.59 4 0.50 5 0.42 ?? ??

方法一 根据函数关系式列表 3-9

x
y ? 0.84x

观察表中数据,

y ? 0.5 时对应有 x ? 4
x

即约经过 4 年,该物质的剩留量是原来的一半。 方法二 依题意得 0.84

? 0.5 ,用科学计算器计算得

x ? log 0.84 0.5 ?

ln 0.5 ? 3.98 ln 0.84

即约经过 4 年,该物质的剩留量是原来的一半。 三、课堂练习: 课本 P86 l 练习 2,3 四、课堂小结: 1、对数换底公式; 2、换底公式可用于对数式的化简、求值或证明。

五、作业: 习题 3-4 A 组 4、5 补充作业: 已知 log 1
27

1 1 ? a, log1 ? b, 求 log81 175的值。 7 5 3

解:因为 log 1
27

1 1 ? log27 7 ? log3 7 , 7 3

所以 log3 7 又因为 log 1
3

? 3a

1 ? log3 5 ? b , 5




log 81 175 ?

1 1 log 3 25 ? 7 ? (log 3 25 ? l 4 4

3

7) ?

1 (2 l 4

3

5?l

3

7) ?

3a ? 2b 4

5 对数函数 教学目标: 1、理解对数函数的概念,掌握对数函数的性质,了解对数函数在生产实际中的简单应 用,培养学生数学交流能力和与人合作精神,用联系的观点分析问题,通过对对数函数的学 习,渗透数行结合、分类讨论等数学思想。 2、能根据对数函数的图像,画出含有对数式的函数的图像,并研究它们的有关性质, 使学生用联系的观点分析、解决问题。认识事物之间的相互转化,通过师生双边活动使学生 掌握比较同底对数大小的方法,培养学生的数学应用意识。 3、掌握对数函数的单调性及其判定,会进行同底数的对数和不同底数的对数的大小比 较,加深对对数函数和指数函数的性质的理解,深化学生对函数图像变化规律的理解,通过 对数函数有关性质的研究,培养学生观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力,增强 学习的积极性,同时培养学生倾听、接受别人意见的优秀品质,培养学生数学交流能力。 教学重点难点: 重点:对数函数的定义、图像和性质;对数函数性质的初步应用,利用对数函数单调性比较 同底数对数大小,对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用。 难点:底数 a 对对数函数性质的影响,不同底数的对数比较大小,单调性和奇偶性的判断和 证明。 教学过程: 5.1 对数函数的概念(第 1 课时) 一、引入:

根据对数式

b ? loga N (a ? 0, a ? 1)
对于

N

在正实数集内的每一个确定的值,在实数集 R 内都有唯一确定的 b 。

二、讲授新课: 1 对数函数 我们把函数 数。 特别地,我们称以 10 为底的对数函数 底的对数函数 例 1 计算: (1)计算对数函数

y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 叫作对数函数, a 叫作对数函数的底
y ? lg x 为常用对数函数;称以无理数 e 为

y ? ln x 为自然对数函数。
y ? log2 x 对应于 x 取 1,2,4 时的函数值;

(2)计算常用对数函数 解 (1)当 x 当x 当x (2) 当 x 当x 当x 当x 指数函数

y ? lg x 对应于 x 取 1,10,100,0.1 时的函数值。

? 1 时, y ? log2 x ? log2 1 ? 0 ? 2 时, y ? log2 x ? log2 2 ? 1 ? 4 时, y ? log2 x ? log2 4 ? 2 ; ? 1 时, y ? lg x ? lg1 ? 0 ? 10 时, y ? lg x ? lg10 ? 1 ? 100 时, y ? lg x ? lg100 ? 2 ? 0.1 时, y ? lg x ? lg 0.1 ? ?1

y ? a x (a ? 0, a ? 1) 和对数函数 y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 有什么关

系? 2 反函数 指数函数

y ? a x (a ? 0, a ? 1) , x 是自变量, y



x 的函数,其定义域是 R ,

值域是 (0,??) ;对数函数 x

? loga y(a ? 0, a ? 1) , y 是自变量, x 是 y 的函

数,其定义域是 (0,??) ,值域是 反函数的概念:一般地,函数

R 。像这样的两个函数叫做互为反函数。

y ? f ( x) 中 x 是自变量,y 是 x 的函数,设它的定义域

为 A, 值域为 C, 由 y ? f ( x) 可得 x ? ? ( y ) , 如果对于 y 在 C 中的任何一个值, 通过 x ? ? ( y ) , x 在 A 中都有唯一的值和它对应,那么 x ? ? ( y ) 就表示 x 是自变量 y 的函数。这样的函数
?1 x ? ? ( y ) y ? C 叫函数 y ? f ( x) 的反函数, 记作:x ? f ( y) 。 习惯上, 用 x 表示自变量,

y 表示函数,因此 y ? f ( x) 的反函数 x ? f 例 2 写出下列对数函数的反函数: (1)

?1

( y) 通常改写成: y ? f

?1

( x)

y ? log x

(2)

y ? log1 x
3

解(1)对数函数 y ? log x ,它的底数是 10,它的反函数是指数函数

y ? 10 x ;

?1? 1 y ? ? ? (2)对数函数 y ? log 1 x ,它的底数是 ,它的反函数是 3 ? 3? 3
例 3 写出下列指数函数的反函数:

x



(1)

y ?5

x

? 2? y ? ? ? ( 2) ? 3?

x

解:(1)指数函数

y ? 5 x ,它的底数是 5,它的反函数是 y ? log5 x ;
x

? 2? (2)指数函数 y ? ? ? ? 3?

,它的底数是,它的反函数是

y ? log 2 x 。
3

三、课堂小结: 1、对数函数的概念; 2、对数函数的反函数。 四、作业: 习题 3-5 A 组 1、2、3

5.2

y ? log2 x 的图像和性质

对数函数的图像和性质 一、复习回顾: 1、对数函数的定义; 2、对数函数的反函数。 二、讲授新课: 下面我们研究对数函数

y ? log2 x 的图像和性质。

可以用两种不同方法画出函数 方法一 描点法 方法二 画出函数 x

y ? log2 x 的图像。

? log2 y 的图像,再变换为 y ? log2 x 的图像

对数函数

y ? loga x?a ? 0, a ? 1?,在其底数 a ? 1 及 0 ? a ? 1 这两种情况下的图像
a ?1 0 ? a ?1

和性质可以总结如表 3-11

图 像

(1)定义域: ?0,??? (2)值域: R

(1)定义域: ?0,??? (2)值域: R (3)过点 ?1,0? ,即 x ? 1 时 y ? 0 (4)当 x ? 1 时 y ? 0

性 质

(3)过点 ?1,0? ,即 x ? 1 时 y ? 0 (4)当 x ? 1 时 y ? 0

0 ? x ? 1时 y ? 0
(5)是 ?0,??? 上的增函数

0 ? x ? 1时 y ? 0
(5)是 ?0,??? 上的减函数

例 4 求下列函数的定义域

(1)

y ? loga x 2 ;
2

(2)

y ? loga (4 ? x)

解:(1)因为 x

? 0 ,即 x ? 0 ,所以函数 y ? loga x 2 的定义域为

?x | x ? 0?;
(2)因为 4 ?

x ? 0 ,即 x ? 4 ,所以函数 y ? loga (4 ? x) 的定义域为

?x | x ? 4?。
例 5 比较下列各题中两个数的大小: (1) log2 5.3, log2 (3) log3 ? , log?

4.7

(2) log0.2 (

7, log0.2 9
4 )

3

loga 3.1, loga 5.2(a ? 0, a ? 1)
解:(1)因为 2

? 1 ,函数 y ? log2 x 是增函数, 5.3 ? 4.7 ,所以
log2 5.3 ? log2 4.7

(2)因为 0.2

? 1 ,函数 y ? log0.2 x 是减函数, 7 ? 9 ,所以
log0.2 7 ? log0.2 9

(3)因为函数

y ? log3 x 是增函数, ? ? 3 ,所以

log3 ? ? log3 3 ? 1
同理 1 ?

log? ? ? log? 3 ,所以
log3 ? ? log? 3

(4)对数函数的单调性取决于其底数是大于 1 还是小于 1。而已知条件中并未明确指出底 数 a 于 1 哪个大,因此需要对底数进行讨论。 当a

? 1 时,函数 loga x 在 ?0,??? 上是增函数,此时
loga 3.1 ? loga 5.2
? a ? 1 时,函数 loga x 在 ?0,??? 上是减函数,此时
loga 3.1 ? loga 5.2

当0

例 6 观察在同一坐标系内函数

y ? log2 x 与函数 y ? 2 x 的图像,分析它们之间的关系。

解: 从图 3-16(1)上可以看出, 点 P?a, b ? 与点 Q?b, a ? 关于直线 y ? x 对称。 函数 y ? log2 x 与函数 y ? 2 x 互为反函数,对应于函数 y ? log2 x 图像上的任意一点 P?a, b ? , P 点关于

y ? x 的对称点 Q?b, a ? 总在函数 y ? 2 x 的图像上,所以,函数 y ? log2 x 的图像与函数

y ? 2 x 的图像关于关于直线 y ? x 对称。(如图 3.16(2))

图 3-16(1)

图 3.16(2) 例 7 人们早就发现了放射性物质的衰减现象。在考古工作中,常用 物的年代。已知放射性物质的衰减服从指数规律:
14

C 的含量来确定有机

C(t ) ? C0 e ?rt ,
其中 t 表示衰减的时间, C 0 表示放射性物质的原始质量, C (t ) 表示经衰减了 t 年后剩余 的质量。

为计算衰减的年代,通常给出该物质质量衰减一半的时间,称其为该物质的半衰期,
14

C 的半衰期大约是

5730 年,由此可确定系数

r 。人们又知道,放射性物质的衰减速度
14

是与其质量成正比的。 1950 年在巴比伦发现一根可由 Hammurbi 王朝字样的木炭,当时测定,其 衰减速度为 4.09 个 /( g

C 分子的
6.68 个

? min),而新砍伐烧成的木炭中 14 C 的衰减速度为

/( g ? min)。请估算出 Hammurbi 王朝所在年代。
解:因为
14

C 的半衰期是 5739 年。所以建立方程

1 ? e ?5730 r 2
解得 r

? 0.000121 ,由此可知 14 C 的衰减规律服从指数型函数

C(t ) ? C0 e ?0.000121t
设发现 Hammurbi 王朝木炭的时间(1950 年)为 t 0 年。因为放射性物质的衰减速度是 与其质量成正比的,所以

C (t 0 ) 4.09 ? C0 6.68
于是

e ?0.00012 t0 ?

4.09 6.68

t0 两边取自然对数,得 ? 0.000121
解得

? ln 4.09 ? ln 6.68

t 0 ? 4054 (年)

即 Hammurbi 王朝大约存在于公元前 2100 年。 三、课堂练习: 课本 P97 练习 2、3 四、课堂小结: 对数函数的图像和性质 五、作业: 习题 3-5 A 组 4、5

6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 教学目标: 1、借助信息技术,利用函数图像及数据表格,比较指数函数、对数函数以及幂函数的 增长差异。 2、恰当运用函数的三种表示方法,并借助信息技术解决一些实际问题。 3、让学生体会数学在实际问题中的应用价值,培养学生学习兴趣。 教学重点难点: 重点:认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸 与对数增长的不同。 难点:应用函数模型解决简单问题。 一、 引入: 对数函数 y

? loga x(a ? 1) ,指数函数 y ? a x (a ? 1) ,幂函数 y ? x n (n ? 0) 在区

间 (0,??) 上都是增函数,但这三类函数的增长是有差异的。本节我们将讨论指数函数、 对数函数、幂函数的增长情况。 当 a ? 1 时,指数函数 y ? a x ,是增函数,并且当 a 越大时,其函数值的增长就越快。 当 a ? 1 时,对数函数 快。 当 x ? 0, n ? 1 时,幂函数 y ? x n 显然也是增函数,并且当 x ? 1 时,n 越大其函数值的 增长就越快。 二、 讲授新课 学生自己阅读完成 三、 课堂小结: 三类函数的增长快慢,及函数的简单应用。 四、 作业: 习题 3-6 A 组 1

y ? loga x 是增函数,并且当 a 越小时,其函数值的增长就越

第四章
§1.1 利用函数性质判定方程解的存在 教学目标: 知识与技能 理解函数 (结合二次函数) 零点的概念, 领会函数零点与相应方程要的关系, 掌握零点存在的判定条件. 过程与方法 零点存在性的判定. 情感、态度、价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值. 教学重点: 重点 零点的概念及存在性的判定. 难点 零点的确定. 教学程序与环节设计:

创设情境

结合二次函数引入课题.

组织探究

二次函数的零点及零点存在性的.

尝试练习

零点存在性为练习重点.

探索研究

进一步探索函数零点存在性的判定.

作业回馈

重点放在零点的存在性判断及零点的确定上.

课外活动

研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符 号,并尝试进行系统的总结.

教学过程与操作设计: 环节 教学内容设置 先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相 应的二次函数的图象: 创 设 情 境 1 方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2x ? 3 ○ 2 方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2 x ? 1 ○ 3 方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 与函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 ○ 师生双边互动 师:引导学生解方程, 画函数图象, 分析方程 的 根 与图 象和 x 轴 交 点坐标的关系, 引出零 点的概念. 生:独立思考完成解 答, 观察、 思考、 总结、 概括得出结论, 并进行 交流. 师: 上述结论推广到一 般的一元二次方程和 二次函数又怎样? 函数零点的概念: 对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成 立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点. 师: 引导学生仔细体会 左边的这段文字, 感悟 其中的思想方法.

函数零点的意义: 函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数 组 根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐 织 标. 即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的 探 图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点. 生: 认真理解函数零点 的意义, 并根据函数零 点的意义探索其求法: 1 代数法; ○ 2 几何法. ○



函数零点的求法: 求函数 y ? f ( x) 的零点: 1 (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ○ 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可 ○ 以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用函 数的性质找出零点.

二次函数的零点: 二次函数

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) .
1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等
2

师: 引导学生运用函数 零点的意义探索二次 函数零点的情况.

环节

教学内容设置 实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二 次函数有两个零点. 2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实
2

师生双边互动 生: 根据函数零点的意 义探索研究二次函数 的零点情况, 并进行交 流,总结概括形成结 论.

根(二重根),二次函数的图象与 x 轴有一个 交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二
2

次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点. 零点存在性的探索: (Ⅰ)观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的图 组 象: 1 在区间 [?2,1] 上有零点______; ○ 织 生:分析函数,按提示 探索,完成解答,并认 真思考.

f (?2) ? _______, f (1) ? _______,
f (?2) · f (1) _____0(<或>).

探 2 在区间 [2,4] 上有零点______; ○ 究

师: 引导学生结合函数 图象, 分析函数在区间 端点上的函数值的符 号情况, 与函数零点是 否存在之间的关系.

f (2) · f (4) ____0(<或>).
(Ⅱ)观察下面函数 y ? f ( x) 的图象

生:结合函数图象,思 考、讨论、总结归纳得 出函数零点存在的条 件, 并进行交流、 评析.

1 在区间 [ a, b] 上______(有/无)零点; ○

师: 引导学生理解函数 零点存在定理, 分析其 中各条件的作用.

f (a ) · f (b) _____0(<或>).
2 在区间 [b, c] 上______(有/无)零点; ○

f (b) · f (c) _____0(<或>).
3 在区间 [c, d ] 上______(有/无)零点; ○

f (c) · f ( d ) _____0(<或>).
由以上两步探索,你可以得出什么样的结论? 怎样利用函数零点存在性定理,断定函数在某 给定区间上是否存在零点.

环节

教学内容设置

师生互动设计

例 题 研 究

师: 引导学生探索判断 函数零点的方法, 指出 可以借助计算机或计 例 1. 求函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点个数. 算器来画函数的图象, 问题: 结合图象对函数有一 1) 你可以想到什么方法来判断函数零点个数? 个零点形成直观的认 2)判断函数的单调性,由单调性你能得该函数 识. 的单调性具有什么特性? 生: 借助计算机或计算 器画出函数的图象, 结 3 2 例 2.求函数 y ? x ? 2 x ? x ? 2 ,并画出它 合图象确定零点所在 的大致图象. 的区间, 然后利用函数 单调性判断零点的个 数.

1.利用函数图象判断下列方程有没有根,有几 个根: (1) ? x ? 3x ? 5 ? 0 ;
2

(2) 2 x( x ? 2) ? ?3 ; (3) x ? 4 x ? 4 ;
2

尝 试 练 习

(4) 5x ? 2 x ? 3x ? 5 .
2 2

师: 结合图象考察零点 所在的大致区间与个 数, 结合函数的单调性 说明零点的个数; 让学 生认识到函数的图象 及基本性质 (特别是单 调性) 在确定函数零点 中的重要作用.

2.利用函数的图象,指出下列函数零点所在的 大致区间: (1) f ( x) ? ? x 3 ? 3x ? 5 ; (2) f ( x) ? 2 x ln(x ? 2) ? 3 ; (3) f ( x) ? e x?1 ? 4x ? 4 ; (4) f ( x) ? 3( x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) ? x .

1. 已知 f ( x) ? 2x 4 ? 7 x 3 ? 17x 2 ? 58x ? 24 , 请探究方程 f ( x) ? 0 的根.如果方程有根,指出每 个根所在的区间(区间长度不超过 1). 探 究 与 发 现 2.设函数 f ( x) ? 2 ? ax ? 1 .
x

( 1 )利用计算机探求 a ? 2 和 a ? 3 时函数

f ( x) 的零点个数;
(2)当 a ? R 时,函数 f ( x) 的零点是怎样分 布的?

环节

教学内容设置

师生互动设计

1. 教材 P108 习题 3.1(A 组)第 1、2 题; 2. 求下列函数的零点: (1) y ? x 2 ? 5x ? 4 ; (2) y ? ? x 2 ? x ? 20 ; (3) y ? ( x ? 1)(x 2 ? 3x ? 1) ; (4) f ( x) ? ( x 2 ? 2)(x 2 ? 3x ? 2) . 3. 求下列函数的零点,图象顶点的坐标,画 出各自的简图,并指出函数值在哪些区间 上大于零,哪些区间上小于零: 作 业 回 馈 (1) y ?

1 2 x ? 2x ? 1; 3

(2) y ? ?2 x 2 ? 4 x ? 1 . 4. 已知 f ( x) ? 2(m ? 1) x 2 ? 4mx ? 2m ? 1 : (1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个 零点; (2)如果函数至少有一个零点在原点右侧,求 m 的值. 5. 求下列函数的定义域: (1) y ? (2) y ? (3) y ?

x2 ? 9 ; x 2 ? 3x ? 4 ; ? x 2 ? 4 x ? 12
2

课 外 活 动

2 研究 y ? ax ? bx ? c , ax ? bx ? c ? 0 ,

ax2 ? bx ? c ? 0 ,ax2 ? bx ? c ? 0 的相互关系, 以
零点作为研究出发点,并将研究结果尝试用一种系 统的、简洁的方式总结表达.

考虑列表, 建议画出图 象帮助分析.

收 获 与 体 会

说说方程的根与函数的零点的关系,并给出判 定方程在某个区产存在根的基本步骤.

§1.2 用二分法求方程的近似解 教学目标: 知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件, 了解二分法是求方程近似 解的常用方法,从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用. 过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解, 并了解这一数学思想, 为学习算 法做准备. 情感、态度、价值观 体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一. 教学重点: 重点 通过用二分法求方程的近似解,体会函数的零点与方程根之间的联系,初步 形成用函数观点处理问题的意识. 难点 恰当地使用信息技术工具,利用二分法求给定精确度的方程的近似解.

教学程序与环节设计:

创设情境

由二分查找及高次多项式方程的求问题引入.

组织探究

二分法的意义、算法思想及方法步骤.

探索发现

体会函数零点的意义,明确二分法的适用范围.

尝试练习

二分法的算法思想及方法步骤,初步应用二分法解 决简单问题. 二分法应用于实际.

作业回馈

课外活动

1. 二分法为什么可以逼近零点的再分析; 2. 追寻阿贝尔和伽罗瓦.

教学过程与操作设计: 环节 教学内容设计 材料一:二分查找(binary-search) (第六届全国青少年信息学(计算机)奥林匹 克分区联赛提高组初赛试题第 15 题) 某数列有 1000 个各不相同的单元,由低至高按序排列;现要对该 数列进行二分法检索(binary-search), 在最坏的情 况下,需检索( )个单元。 A.1000 B.10 C.100 D.500 二分法检索(二分查找或折半查找)演示. 材料二:高次多项式方程公式解的探索史料 由于实际问题的需要,我们经常需要寻求函数 师:从高次代数方程的解 一次或二次函数,我们有熟知的公式解法(二次时, 的探索历程,引导学生认 称为求根公式). 识引入二分法的意义. 在十六世纪,已找到了三次和四次函数的求根 公式,但对于高于 4 次的函数,类似的努力却一直 没有成功,到了十九世纪,根据阿贝尔(Abel)和 伽罗瓦(Galois)的研究,人们认识到高于 4 次的 代数方程不存在求根公式,亦即,不存在用四则运 算及根号表示的一般的公式解.同时,即使对于 3 次和 4 次的代数方程, 其公式解的表示也相当复杂, 一般来讲并不适宜作具体计算.因此对于高次多项 式函数及其它的一些函数,有必要寻求其零点的近 似解的方法,这是一个在计算数学中十分重要的课 题. 二分法及步骤: 对 于 在 区 间 [a , b] 上 连 续 不 断 , 且 满 足 师:阐述二分法的逼近原 理,引导学生理解二分法 的算法思想,明确二分法 求函数近似零点的具体 步骤. 师生双边互动 师:从学生感兴趣的计算 机编程问题,引导学生分 析二分法的算法思想与 方法,引入课题.

生:体会二分查找的思想 与方法.

创 设 情 境

y ? f ( x) 的零点 (即 f ( x) ? 0 的根) , 对于 f ( x) 为

组 织 探 究

f (a ) · f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断地把
函数 f ( x) 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两 个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法 叫做二分法.

分析条件

给定精度 ? , 用二分法求函数 f ( x) 的零点近似 “ f ( a ) · f (b) ? 0 ”、 值的步骤如下: “精度 ? ” 、 “区间中点”

1.确定区间 [a , b] ,验证 f ( a ) · f (b) ? 0 , 及 “ | a ? b |? ? ” 的意义. 给定精度 ? ;

2.求区间 (a , b) 的中点 x1 ; 3.计算 f ( x1 ) : 环节 呈现教学材料 1 若 f ( x1 ) = 0 ,则 x1 就是函数的零点; ○ 2 若 f ( a ) · f ( x1 ) < 0 ,则令 b = x1 (此时零 ○ 点 x0 ? (a, x1 ) ); 3 若 f ( x1 ) · f (b) < 0 ,则令 a = x1 (此时零 ○ 点 x0 ? ( x1 , b) ); 4.判断是否达到精度 ? ; 即若 | a ? b |? ? , 则得到零点零点值 a (或 b ) ; 否则重复步骤 2~4. 例题解析: 组 织 探 究 例 1.求函数 f ( x) ? x 3 ? x ? 2x ? 2 的一个 正数零点(精确到 0.1 ). 分析:首先利用函数性质或借助计算机、计算 器画出函数图象,确定函数零点大致所在的区间, 然后利用二分法逐步计算解答. 解:(略). 注意: 1 第一步确定零点所在的大致区间 (a , b) , ○ 可利用函数性质,也可借助计算机或计算器,但尽 量取端点为整数的区间,尽量缩短区间长度,通常 可确定一个长度为 1 的区间; 2 建议列表样式如下: ○ 零点所在区间 [1,2] [1,1.5] [1.25,1.5] 中点函数值 区间长度 1 0.5 0.25 师:引导学生利用二分法 逐步寻求函数零点的近 似值,注意规范方法、步 骤与书写格式. 师:引导学生分析理解求 区间 (a , b) 的中点的方 法 x1 ? 师生互动设计 生: 结合引例 “二分查找” 理解二分法的算法思想 与计算原理.

a?b . 2

生:根据二分法的思想与 步骤独立完成解答,并进 行交流、讨论、评析.

f (1.5) >0 f (1.25) <0

师:引导学生应用函数单 调性确定方程解的个数.

f (1.375) <0

如此列表的优势:计算步数明确,区间长度小 于精度时,即为计算的最后一步.

生:认真思考,运用所学 知识寻求确定方程解的 个数的方法,并进行、讨 论、交流、归纳、概括、 评析形成结论.

例 2.借助计算器或计算机用二分法求方程

2 x ? 3x ? 7 的近似解(精确到 0.1 ).
解:(略). 思考:本例除借助计算器或计算机确定方程解 所在的大致区间和解的个数外,你是否还可以想到 有什么方法确定方程的根的个数? 结论:图象在闭区间 [a , b] 上连续的单调函数

f ( x) ,在 (a , b) 上至多有一个零点.
环节 呈现教学材料 1) 函数零点的性质 师生互动设计 师:引导学生从“数”和

从“数”的角度看:即是使 f ( x) ? 0 的实数; “形”两个角度去体会函 从“形”的角度看:即是函数 f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标; 探 究 与 发 现 数零点的意义,掌握常见 函数零点的求法,明确二

若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相切, 则 分法的适用范围. 零点 x0 通常称为不变号零点; 若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相交, 则 零点 x0 通常称为变号零点. 2) 用二分法求函数的变号零点 二分法的条件 f ( a ) · f (b) ? 0 表明用二分法 求函数的近似零点都是指变号零点. 1) 教材 P106 练习 1、2 题; 2) 教材 P108 习题 3.1(A 组)第 1、2 题; 3) 求方程 log3 x ? x ? 3 的解的个数及其大致

尝 试 练 习

所在区间; 4) 求方程 0.9 ?
x

2 x ? 0 的实数解的个数; 21
x

5) 探究函数 y ? 0.3 与函数 y ? log0.3 x 的图 象有无交点,如有交点,求出交点,或给出 一个与交点距离不超过 0.1 的点.

1) 教材 P108 习题 3.1(A 组)第 3~6 题、(B 组)第 4 题; 2) 提高作业: 1 已知函数 ○

f ( x) ? 2(m ? 1) x 2 ? 4mx ? 2m ? 1 .
作 业 回 馈 (1)m 为何值时, 函数的图象与 x 轴有两个交 点? (2)如果函数的一个零点在原点,求 m 的值. 2 借助于计算机或计算器,用二分法求函数 ○

f ( x) ? x 3 ? 2 的零点(精确到 0.01 );

3 用二分法求 3 3 的近似值(精确到 0.01 ). ○ 环节 呈现教学材料 查找有关系资料或利用 internet 查找有关高 课 外 活 动 次代数方程的解的研究史料,追寻阿贝尔(Abel) 和伽罗瓦(Galois),增强探索精神,培养创新意 识. 说说方程的根与函数的零点的关系,并给出判 收 获 与 体 会 定方程在某个区间存在根的基本步骤,及方程根的 个数的判定方法; 谈谈通过学习求函数的零点和求方程的近似 解,对数学有了哪些新的认识? 师生互动设计

函数的应用举例 教学目标 (1)了解解实际应用题的一般步骤; (2)初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法; (3)向学生渗透建模思想,使学生初步具有建模的能力。 三.教学重、难点: 1.根据已知条件建立函数关系式; 2.用数学语言抽象概括实际问题。 教学过程 一、问题情境 1.情境: 写出等腰三角形顶角 y (单位:度)与底角 x 的函数关系。 解: y ? 180 ? 2 x

? 0 ? x ? 90 ? .
?

2.问题: 分析、说明函数的定义域是函数关系的重要组成部分。实际问题中的函数的定义域,不仅要 使函数表达式有意义,而且要使实际问题有意义。归纳上述各个实例的共同特征,归纳出集 合的含义. 二、数学运用 1.例题: 例 1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为 200 万元,生产每台计算机的可 变成本为 3000 元,每台计算机的售价为 5000 元.分别写出总成本 C(万元)、单位成本 P(万 元)、销售收入 R(万元)以及利润 L(万元)关于总产量 x (台)的函数关系式. 解 总成本与总产量的关系为 C=200+0.3 x , x ? N . 单位成本与总产量的关系为
?

P?

200 ? 0.3x, x ? N ? . x

销售收入与总产量的关系为

R ? 0.5x, x ? N ? .
利润与总产量的关系为

L ? R ? C ? 0.2x ? 200, x ? N ? .
例 2. 在经济学中,函数 f ( x ) 的边际函数 Mf ( x) 定义为 Mf ( x) = f ( x ? 1) ? f ( x) .某公司 每 月 最 多 生 产 100 台 报 警 系 统 装 置 , 生 产 x 台 ( x ? N ) 的 收 入 函 数 ( R( x)? 3 0 0? x0 2 2 x单位 0 :元),其成本函数为 C ( x) ? 500 x ? 4000 (单位:元),利润是收 入 与成本之差. (1) 求利润函数 P ( x) 及边际利润函数 MP( x) ; (2) 利润函数 P ( x) 与边际利润函数 MP( x) 是否具有相同的最大值? 解 由题意知, x ??1,100? ,切 x ? N .
? ?

2 (1) P ( x) = R( x) ? C( x) ? 3000 x ? 20 x ? (500 x ? 4000) = ?20 x ? 2500 x ? 4000 ,
2

2 MP( x) = P( x ? 1) ? P( x) ? ?20( x ? 1) 2 ? 2500( x ? 1) ? 4000 ? ? ? ?20 x ? 2500 x ? 4000 ? ?

? 2480 ? 40 x
(2) P ( x) = ?20 x ? 2500 x ? 4000 = ?20( x ?
2

125 2 ) ? 74125 , 当 x ? 62 或 x ? 63 时 , 2

P( x) 的最大值为 74120(元). 因为 MP( x) =2480 ?40 x 是减函数,所以当 x ? 1 时, MP( x) 的最大值为 2440(元). 因此,利润函数 P ( x) 与边际利润函数 MP( x) 不具有相同的最大值.
例 3.某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升 血液中的含药量 y (微克)与时间 t (小时)之间近似满足如图所示的曲线。(OA 为线段, AB 为某二次函数图象的一部分,O 为原点)。 (1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y ? f ( x) ; (2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 疗有效,求服药一次治疗疾病有效的时间。

4 微克时,对治 9

0 ? t ?1 ?4t ? 解:(1)由已知得 y ? ? 1 (t ? 5) 2 ,1 ? t ? 5 ? ?4 4 1 (2)当 0 ? t ? 1 时, 4t ? ,得 ? t ? 1 ; 9 9 1 4 19 11 11 2 , 或t ? , ∴ 1 ? t ? 当 0 ? t ? 1 时, (t ? 5) ? , 得 t ? 4 9 3 3 3


1 11 11 1 32 ?t ? , ∴ ? ? , 因此服药一次治疗疾病有效的时间约为 3.5 小时。 9 3 3 9 9

1 例 4.一辆汽车在某段路程中行驶速率与时间的关系如图所示。 (1) 求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义; (2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004 km , 试建立 skm h 行驶这段路程时汽车里程表读数 与时间 t 的函数解析式,并作出相应的图 象。

90 80 70 60 50 40 30 20 10

1

2 3 4

5

解:(1)阴影部分的面积为 50 ?1 ? 80 ?1 ? 90 ?1 ? 75 ?1 ? 65 ?1 ? 360 阴影部分的面积表示汽车在这 5 小时内行驶的路程为 360 km 。

?50t ? 2004 0 ? t ? 1 ?80(t ? 1) ? 2054 1 ? t ? 3 ? ? 2?t ?3 (2)根据图有 s ? ?90(t ? 2) ? 2134 ?75(t ? 3) ? 2224 3 ? t ? 4 ? 4?t ?5 ? ?65(t ? 4) ? 2299
图象(略) 小结:解决实际问题的一般步骤: 实际问题 ? 建立数学模型 ? 得到数学结果 ? 解决实际问题 其中建立数学模型是关键,同时还要结合实际问题研究函数的定义域。 三.练习:(1)今有一组实验数据如下:

t v

1.99 1.5

3.0 4.04

4.0 7.5

5.1 12

6.12 18.01

现准备用下列函数中的一个表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是 ( C ) ( A ) v ? log2 t ( B ) v ? log 1 t
2

(C )v ?

t 2 ?1 ( D ) v ? 2t ? 2 2
?

(2)大气温度 y( C ) 随着离开地面的高度 x(km) 增大而降低,到上空 11km 为止,大约每 上升 1km ,气温降低 6 C ,而在更高的上空气温却几乎没变(设地面温度为 22 C )。 求:(1) y 与 x 的函数关系; (2) x ? 3.5km 以及 x ? 12km 处的气温。 解: (1) 由题意,0 ? x ? 11 时,y ? 22 ? 6 x , 所以当 x ? 11 时,y ? 22 ? 6 ?11 ? ?44 , 从而当 x ? 11 时, y ? ?44 。综上,所求函数关系为 y ? ?
? ?

?

?22 ? 6 x, x ? ? 0,11? ? ; ? ??44, x ? (11, ??)

(2)由(1)知, x ? 3.5km 处的气温为 y ? 22 ? 6 ? 3.5 ? 1 C ,

x ? 12km 处的气温为 ?44 ?C .
四、课外作业: 课本第 84 页第 1、2、3、4、题、第 88 页第 3、4 题.


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