新课标人教A版高中数学选修2-2多媒体教学优质课件1.1.3 导数的几何意义


1.1.3 导数的几何意义 1.平均变化率 函数y=f(x)从x1到x2平均变化率为: ?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ?x 2.平均变化率的几何意义: 割线的斜率 y f(x2) y=f(x) B f(x2)-f(x1)=△y f(x1) A x2-x1=△x x x1 x2 ?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) k? ? x2 ? x1 ?x O 3.导数的概念 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ?( x0 ) 或 y ? | x ? x0 , 即 f (x ? Δ x ) ? f ( x ) 0 0 f ?( x ) ? lim 0 ?x ? 0 ?x 4.求函数y=f(x)在x=x0处的导数的一般步骤是: (1)求 函 数 的 增 量 ? y ? f ( x 0 ? ? x ) ? f ( x 0 ); f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y ( 2 )求平均变化率 ? ; ?x ?x ?y ( 3)取极限,得导数 f ?( x 0 ) ? lim . ?x ? 0 ? x 1.根据导数的几何意义描述实际问题. 2.求曲线上某点处的切线方程.(重点) 3.导函数的概念及对导数的几何意义的理解. (难点) 探究点1 切线 平面几何中我们是怎样判断直线是否是 圆的割线或切线的呢? 切线 割线 如图直线l1是曲线C的切线吗? l2呢? y l1 l2 A B 0 x l1不是曲线C的切线,l2是曲线C的切线. 观察图形你能得到什么结论? 切线的定义: y y=f(x) 当点 Pn 沿着曲线趋近于 点 P,即 ? x ? 0时,割线 PP n 趋近于一个确定的位置, 这个确定位置的直线PT 称为点P处的切线. o x 注:曲线的切线,并不一定与曲线只有一 个交点, 可以有多个,甚至可以有无穷多个. 探究点2 导数的几何意义 在上面的研究过程中,某点的割线斜率和切线 斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率 有何联系? 平均变化率 ?x ? 0 瞬时变化率(导数) 切线的斜率 割线的斜率 ?x ? 0 导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数就是曲线 在点(x0,f(x0))处的切线的斜率 k , 即: f ? x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) k ? lim ? f ?( x0 ) ?x ?0 ?x 曲线在点(x0,f(x0))处的切线的方程为: y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ). 例1 求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. y Q f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) 解: k ? lim ?x ? 0 ?x (1 ? ?x )2 ? 1 ? (1 ? 1) y = x 2 +1 ? lim ?x ? 0 ?x 2?x ? ( ?x )2 ? lim ? 2. ?x ? 0 ?x ?y P ?x M 因此,切线方程为y-2=2(x-1), 1 -1 O j x 即y=2x. 1 【总结提升】 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出切点P的坐标; ②求切线的斜率,即函数y=f(x)在x=x0处的 导数; ③利用点斜式求切线方程. 例2 如图, 它表示

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