【2014朝阳一模】北京市朝阳区2014届高三第一次综合练习 数学理试题 Word版含答案


北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试(理工类)2014.3
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. (1)复数 z ? i(2 + i) 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

1 x (2)已知集合 A ? {x | ( ) ? 1} ,集合 B ? {x | lg x ? 0} ,则 A U B ? ( ) 2 A. {x | x ? 0} B. {x | x ? 1} C. {x | x ? 1} U{x | x ? 0} D. ?

(3)已知平面向量 a , b 满足 a ? b ? 2 , (a + 2b) ? (a ? b) = ?2 ,则 a 与 b 的夹角为( ? ? ?? ?? A. B. C. D. 6 3 3 6



(4)如图,设区域 D ? {(x, y) 0 ≤ x ≤1,0 ≤ y ≤1} ,向区域 D 内随机投一点,且投入到区域内任一点
3 都是等可能的,则点落入到阴影区域 M ? {( x, y) 0 ≤ x ≤1,0 ≤ y ≤ x } 的概率为( 1 1 A. B. y 4 3 1 2 2 C. D. 5 7



y=x3

(5)在 △ABC 中, A ?

π π , BC ? 2 ,则“ AC ? 3 ”是“ B ? ”的( 4 3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件



O
开始 i=1,S=10

1

x

(6)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( A. 2 B. ?2 C. 4 D. ?4 (7)已知函数 f ( x) ?



i=i+1

sin x .下列命题: x2 ? 1 ①函数 f ( x) 的图象关于原点对称; ②函数 f ( x) 是周期函数; ? ③当 x ? 时,函数 f ( x) 取最大值; 2 1 ④函数 f ( x) 的图象与函数 y ? 的图象没有公共点, x 其中正确命题的序号是( ) A. ①③ B.②③ C. ①④

S=S ?2

i

i<4?




输出 S 结束

D.②④

(第 6 题图)

uuur uuur uuu r (8)直线 y ? x ? m 与圆 x 2 ? y 2 ? 16 交于不同的两点 M , N ,且 MN ? 3 OM ? ON ,其中 O 是坐

标原点,则实数 m 的取值范围是( ? A. ?2 2, ? 2 ? ? U ? 2, 2 2 C. [?2, 2]

?

?



? B. ?4 2, ?2 2 ? ? U ? 2 2, 4 2 D. [?2 2, 2 2]

?

?

1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. (9)在各项均为正数的等比数列 ?a n ?中, a1 ? 2 , a2 ? a3 ? 12 ,则该数列的前 4 项和为



(10)在极坐标系中, A 为曲线 ? ? 2cos? 上的点, B 为曲线 ? cos? ? 4 上的点,则线段 AB 长度的最小 值是 . ( 11 ) 某 三 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 这 个 三 棱 锥 的 体 积 为 ; 表面积为 . (12)双曲线 x2 ? 则b ?
1 1 正视图 1 1 侧视图

y2 ? 1(b ? 0) 的一个焦点到其渐近线的距离是 2 , b2 ;此双曲线的离心率为 .
俯视图

(13)有标号分别为 1,2,3 的红色卡片 3 张,标号分别为 1,2,3 的蓝色卡片 3 张,现将全部的 6 张卡片放在 2 行 3 列的格内(如 图) .若颜色相同的卡片在同一行, 则不同的放法种数为 . (用数字作答)
S

(14)如图,在四棱锥 S ? ABCD 中, SB ? 底面 ABCD .底面 ABCD 为梯形, AB ? AD , AB ∥ CD , AB ? 1, AD ? 3 , CD ? 2 .若点 E 是线段 AD 上的 动点,则满足 ?SEC ? 90? 的点 E 的个数是 .
B

A E

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或 证明过程. (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) ? cos x ? sin 2 x ? cos 2 x , x ? R . ? (Ⅰ)求 f ( ) 的值及函数 f ( x) 的最小正周期; 2 (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 ? 0, π ? 上的单调减区间.

C

D

2

(16) (本小题满分 13 分) 某单位从一所学校招收某类特殊人才.对 20 位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力 的测试,其测试结果如下表:
运动 协调能力 逻辑思维 能力

一般

良好

优秀

一般 良好 优秀

2 4 1

2
b
3

1 1
a

例如,表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有 4 人.由于部分数据丢失,只知道从这 20 2 位参加测试的学生中随机抽取一位,抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为 . 5 (I)求 a , ? 的值; (II) 从参加测试的 20 位学生中任意抽取 2 位, 求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的 学生的概率; (III)从参加测试的 20 位学生中任意抽取 2 位,设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为 ? , 求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E? .

3

(17) (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面为正方形,侧面 PAD ? 底面 ABCD . △PAD 为等腰直角三角形, 且 PA ? AD . E , F 分别为底边 AB 和侧棱 PC 的中点. (Ⅰ)求证: EF ∥平面 PAD ; (Ⅱ)求证: EF ? 平面 PCD ; P (Ⅲ)求二面角 E ? PD ? C 的余弦值.

F

A E B C D

4

(18) (本小题满分 13 分) 1 2 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x , a ? R . 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 [1,e] 的最小值为 1 ,求 a 的值.

5

(19) (本小题满分 14 分) x2 y 2 3 3 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 (1, ) ,离心率为 . a b 2 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)直线 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) 与椭圆 C 交于 A, B 两点,点 M 是椭圆 C 的右顶点.直线 AM 与直线 BM 分别与 y 轴交于点 P, Q ,试问以线段 PQ 为直径的圆是否过 x 轴上的定点?若是,求出定点坐标; 若不是,说明理由.

6

(20) (本小题满分 13 分) 从 1,2,3,L , n 中这 n 个数中取 m ( m, n ? N? , 3 ? m ? n )个数组成递增等差数列,所有可能的递增 等差数列的个数记为 f (n, m) . (Ⅰ)当 n ? 5, m ? 3 时,写出所有可能的递增等差数列及 f (5,3) 的值; (Ⅱ)求 f (100,10) ; (n ? m)(n ? 1) (Ⅲ)求证: f (n, m) ? . 2(m ? 1)

7

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学答案(理工类)
一、选择题 1 题号 B 答案 二、填空题 题号 答案 9
30

2 A 10 2

3 B

4 A 11
1 3

5 B

6 D 12

7 C

8 D 13
5

14

2+ 3

2

72

2

三、解答题 15. (本小题满分 13 分) 解: f ( x) ? sin 2x ? cos2x ? ? 2 sin(2 x ? ) . 4 ? ? ? 2 (Ⅰ) f ( ) ? 2 sin(2 ? ? ) ? 2 ? ?1. 2 2 4 2 显然,函数 f ( x) 的最小正周期为 π . π π 3π (Ⅱ)令 2kπ ? ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? 得 2 4 2 3 7 kπ ? π ≤ x ≤ kπ ? π , k ? Z . 8 8 ? 3π 7π ? 又因为 x ? ? 0, π ? ,所以 x ? ? , ? . ?8 8? ? 3π 7π ? 函数 f ( x) 在 ? 0, π ? 上的单调减区间为 ? , ? . ?8 8?

………………………… 8 分

……………………… 13 分

16. (本小题满分 13 分) 解: (I)设事件 A :从 20 位学生中随机抽取一位,抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生. 由题意可知,运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有 (6 ? a) 人. 6?a 2 ? . 则 P( A) ? 20 5 解得 a ? 2 . ………………………… 4 分 所以 b ? 4 . (II)设事件 B :从 20 人中任意抽取 2 人,至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生. 由题意可知,至少有一项能力测试优秀的学生共有 8 人. 2 C12 62 ………………………… 7 分 则 P( B) ? 1 ? P( B) ? 1 ? 2 ? . C20 95 (III) ? 的可能取值为 0 , 1 , 2 . 20 位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为 8 人. 2 C12 33 所以 P(? ? 0) ? 2 ? , C20 95
P(? ? 1) ? P(? ? 2) ?
1 1 C12 C8 48 ? , 2 C20 95

C82 14 ? . 2 C20 95
8

所以 ? 的分布列为

?
P

0 33 95

1 48 95

2 14 95

所以, E? ? 0 ?

33 48 14 76 4 ? 1? ? 2 ? ? ? 95 95 95 95 5

………………………… 13 分

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:取 PD 的中点 G ,连接 FG , AG . 因为 F , G 分别是 PC , PD 的中点, 所以 FG 是△ PCD 的中位线. 1 所以 FG ∥ CD ,且 FG ? CD . 2 又因为 E 是 AB 的中点,且底面 ABCD 为正方形, 1 1 所以 AE ? AB ? CD ,且 AE ∥ CD . 2 2 所以 AE ∥ FG ,且 AE ? FG . 所以四边形 AEFG 是平行四边形. 所以 EF ∥ AG . 又 EF ? 平面 PAD , AG ? 平面 PAD , …………………………4 分 所以 EF ? 平面 PAD . (Ⅱ)证明: 因为平面 PAD ? 平面 ABCD , z PA ? AD ,且平面 PAD I 平面 ABCD ? AD , A 所以 PA ? 平面 ABCD . P 所以 PA ? AB , PA ? AD . 又因为 ABCD 为正方形,所以 AB ? AD , 所以 AB, AD, AP 两两垂直. 以点 A 为原点,分别以 AB, AD, AP 为 x, y, z 轴, F 建立空间直角坐标系(如图) . 由题意易知 AB ? AD ? AP , 设 AB ? AD ? AP ? 2 ,则 A A(0,0,0) , B(2,0,0) , C (2, 2,0) , D(0, 2,0) , P(0,0, 2) , E (1,0,0) , E F (1,1,1) . uuu r uuu r uuu r 因为 EF ? (0,11) , , PD ? (0, 2, ? 2) , CD ? (?2, 0, 0) , B C uuu r uuu r uuu r uuu r x 且 EF ? PD ? (0,11) , ? (0, 2, ?2) ? 0 , EF ? CD ? (0,11) , ? (?2,0, 0) ? 0 A 所以 EF ? PD , EF ? CD . ………………………… 9 分 又因为 PD , CD 相交于 D ,所以 EF ? 平面 PCD . uur uuu r (Ⅲ)易得 EP ? (?1, 0, 2) , PD ? (0, 2,? 2) . P uur ? n ? EP ? 0, ? r 设平面 EPD 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ? uuu ? ? n ? PD ? 0.
? ? x ? 2 z ? 0, ? x ? 2 z, 所以 ? 即? ?2 y ? 2 z ? 0. ? y ? z. 令 z ? 1 ,则 n ? (2,1,1) .

D

y A

F

G

uuu r 由(Ⅱ)可知平面 PCD 的法向量是 EF ? (0,11) ,, uuu r uuu r n ? EF 2 3 ? uuu r ? 所以 cos? n, EF ? ? 3 . 2? 6 n ? EF

A E B C D

9

由图可知,二面角 E ? PD ? C 的大小为锐角, 3 …………………………14 分 所以二面角 E ? PD ? C 的余弦值为 . 3 18. (本小题满分 13 分) 1 ax 2 ? 1 解:函数 f ( x) 的定义域是 (0, ??) , f ?( x) ? ax ? ? . x x 1 (Ⅰ) (1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? ? ? 0 ,故函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减. x (2)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,所以函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减.
1 (3)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,又因为 x ? 0 ,解得 x ? . a

①当 x ? (0, ②当 x ? (

1 1 ) 单调递减. ) 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 (0, a a

1 1 , ??) 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 ( , ??) 单调递增. a a 综上所述,当 a ≤ 0 时,函数 f ( x) 的单调减区间是 (0, ??) ,
1 1 ) ,单调增区间为 ( , ??) .……7 分 a a (Ⅱ) (1)当 a ? 0 时,由(Ⅰ)可知, f ( x) 在 [1,e] 上单调递减, 1 2 4 所以 f ( x) 的最小值为 f (e) ? ae ? 1 ? 1 ,解得 a ? 2 ? 0 ,舍去. 2 e (2)当 a ? 0 时,由(Ⅰ)可知, 1 ≤1 ,即 a ≥1 时,函数 f ( x) 在 [1,e] 上单调递增, ①当 a 1 所以函数 f ( x) 的最小值为 f (1) ? a ? 1 ,解得 a ? 2 . 2 1 1 1 1 ) 上单调递减,在 ( ,e) 上单调递增, ? e ,即 2 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 在 (1, ②当 1 ? e a a a

当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单调减区间是 (0,

所以函数 f ( x) 的最小值为 f ( ③当

1 1 1 ) ? ? ln a ? 1 ,解得 a ? e ,舍去. a 2 2

1 1 ≥ e ,即 0 ? a ≤ 2 时,函数 f ( x) 在 [1,e] 上单调递减, e a 1 2 4 所以函数 f ( x) 的最小值为 f (e) ? ae ? 1 ? 1 ,得 a ? 2 ,舍去. 2 e …………………………13 分 综上所述, a ? 2 . 19. (本小题满分 14 分) ? c 3 = ? ? a 2 解: (Ⅰ)由题意得 ? ,解得 a=2 , b ? 1 . ? 1 ? 3 ?1 ? ? a 2 4b2 x2 ………………………… 4 分 所以椭圆 C 的方程是 ? y 2 ? 1 . 4 (Ⅱ)以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点. ? y ? k ( x ? 1) ? 由 ? x2 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 . 2 ? y ? 1 ? ? 4

10

8k 2 4k 2 ? 4 x x ? , . 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 又因为点 M 是椭圆 C 的右顶点,所以点 M (2,0) . y1 2 y1 ( x ? 2) ,故点 P(0, ? ). 由题意可知直线 AM 的方程为 y ? x1 ? 2 x1 ? 2 y2 2 y2 ( x ? 2) ,故点 Q(0, ? ). 直线 BM 的方程为 y ? x2 ? 2 x2 ? 2 uuu r uuu r 若以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点 N ( x0 , 0) ,则等价于 PN ? QN ? 0 恒成立. uuu r uuu r 2 y2 2 y1 ) , QN ? ( x0 , ), 又因为 PN ? ( x0 , x2 ? 2 x1 ? 2 uuu r uuu r 2 y1 2 y2 4 y1 y2 2 ? ? x02 ? ? 0 恒成立. 所以 PN ? QN ? x0 ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 又因为 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x2 ?

4k 2 ? 4 8k 2 ? 2 ?4 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 4k 2 ? , 1 ? 4k 2 y1 y2 ? k ( x1 ? 1)k ( x2 ? 1) ? k 2 [ x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1] ?

4k 2 ? 4 8k 2 ? ? 1) 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2 ?3k 2 ? , 1 ? 4k 2 ?12k 2 4 y1 y2 2 k2 ? x 2 ? 3 ? 0 ? x0 2 ? 1 ? 42 所以 x0 ? . 0 4k ( x1 ? 2)( x2 ? 2) 1 ? 4k 2 解得 x0 ? ? 3 . ? k2(
故以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点 (? 3, 0) . ………………………… 14 分

20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)符合要求的递增等差数列为 1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5,共 4 个. ………………………… 3 分 所以 f (5,3) ? 4 . ? (Ⅱ)设满足条件的一个等差数列首项为 a1 ,公差为 d , d ? N . a ? a1 100 ? 1 a10 ? a1 ? 9d , d ? 10 ≤ ? 11 , d 的可能取值为 1, 2,L ,11 . 9 9 对于给定的 d , a1 ? a10 ? 9d ≤100 ? 9d , 当 a1 分别取 1,2,3,L ,100 ? 9d 时,可得递增等差数列 100 ? 9d 个(如: d ? 1 时, a1 ≤ 91 ,当 a1 分别取 1,2,3,L ,91 时,可得递增等差数列 91 个: 1,2,3,L ,11 ; 2,3, 4,L ,12 ; L ; 91,92,93,L ,100 ,其它同理) . 1, 2, L ,11 d 所以当 取 时,可得符合要求的等差数列的个数为: f (100,10) ? 100 ?11 ? 9 ? (1 ? 2 ? L ? 11) ? 1100 ? 9 ? 66 ? 506 .………………………… 8 分 (Ⅲ)设等差数列首项为 a1 ,公差为 d , a ? a1 n ?1 am ? a1 ? (m ? 1)d , d ? m ≤ , m ?1 m ?1 n ?1 n ?1 n ?1 n?m n ?1 ?1 ? t ≤ ?t≤ 记 的整数部分是 t ,则 ,即 . m ?1 m ?1 m ?1 m ?1 m ?1 d 的可能取值为 1,2,L , t , 对于给定的 d , a1 ? am ? (m ? 1)d ≤ n ? (m ? 1)d ,当 a1 分别取 1,2,3,L , n ? (m ? 1)d 时,可得递增等差
11

数列 n ? (m ? 1)d 个. 所以当 d 取 1,2,L , t 时,得符合要求的等差数列的个数 t (t ? 1) m ? 1 2 2n ? m ? 1 f (n, m) ? nt ? (m ? 1) ? ?? t ? t 2 2 2 m ?1 2n ? m ? 1 2 (2n ? m ? 1)2 ?? (t ? ) ? 2 2(m ? 1) 8(m ? 1) n ? m 2n ? m ? 1 n ? 1 ? ≤ 易证 . m ?1 2(m ? 1) m ?1 n ? m 2n ? m ? 1 m ?1 2n ? m ? 1 n ? 1 m?3 ? |? ? |? 又因为 | ,| , m ? 1 2(m ? 1) 2(m ? 1) 2(m ? 1) m ? 1 2(m ? 1) n ? m 2n ? m ? 1 2n ? m ? 1 n ? 1 ? |? | ? |. 所以 | m ? 1 2(m ? 1) 2(m ? 1) m ? 1 t (t ? 1) 所以 f (n, m) ? nt ? (m ? 1) ? 2 n?m n?m ( ? 1) n?m (n ? m)(n ? 1) . ? n? ? (m ? 1) ? m ? 1 m ? 1 ? m ?1 2 2(m ? 1) (n ? m)(n ? 1) ………………………… 13 分 即 f (n, m) ? . 2(m ? 1)

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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学(理工类)选填解析
一、 选择题 1.【答案】B 【解析】解: z ? i(2 + i) = 2i ? i 2 ? ?1 ? 2i 对应的点为 (?1, 2) 所以对应的点在第二象限. 故选 B. 2.【答案】A
1 x 【解析】解: A ? {x | ( ) ? 1} ? {x | x ? 0} , B ? {x | lg x ? 0} ? {x | x ? 1} 2 A U B ? { x | x ? 0} 所以 . 故选 A

3.【答案】B 【解析】解:因为 (a + 2b) ? (a ? b) = ?2 , 所以 a 2 ? a ? b ? 2b2 ? ?2 2 2 所以 a ? a b cos ? a, b ? ?2 b ? ?2 又 a ? b ?2, 所以 4 ? 4cos ? a, b ? ?8 ? ?2 1 所以 cos ? a, b ?? 2 π 所以 ? a, b ?? . 3 故选 B

4.【答案】A
3 【解析】解:阴影部分面积为 ?0 x dx ? 1

1 4 1 1 1 x |0 ? ? 0 ? ;区域 D 的面积为 1?1 ? 1 ; 4 4 4

1 由几何概型知识,得概率为 4 = 1 . 1 4 故选 A.

5.【答案】B
2 π 3? AC ? sin A , BC ? 2 ,由正弦定理得 2 ? 3 sin B ? ? 4 BC 2 2 π 2π π 又 B ? (0, π) ,则 B ? 或 .所以“ AC ? 3 ”推不出“ B ? ”; 3 3 3 3 2? BC ? sin B π π π 2 ? ? 3 ,所以 “ B ? ” 能推出 另一方面,若 A ? , BC ? 2 , B ? ,则 AC ? sin A 4 3 3 2 2 “ AC ? 3 ” . π 所以“ AC ? 3 ”是“ B ? ”的必要不充分条件. 3

【解析】解:若 AC ? 3 , A ?

13

故选 B 6.【答案】D 【解析】解:列表 S 10 i 1 所以输出的 S 为 ?4 . 故答案为 D. 7.【答案】C 【解析】解:对于①,因为 f (? x) ? ①正确; 对于②,因为 y ? sin x 是周期函数, y ?
1 sin x 不是周期函数,所以 f ( x) ? 2 不是周期函数,故②不 x2 ? 1 x ?1

8 2

4 3

?4 4

循环结束

sin(? x) sin x ?? 2 ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 为奇函数,图象关于原点对称, 2 ( ? x) ? 1 x ?1

正确; 对 于 ③ , 因 为 f ( x) 图 象 连 续 不 断 且 定 义 域 为 R , 所 以 f ( x) 的 最 大 值 一 定 是 f ( x) 的 极 值 ; 而 π ?π cos x( x 2 ? 1) ? sin x ? 2 x f '( ) ? 2 ?0 ? f '( x) ? , ,所以当 x ? 时,函数 f ( x) 不取极值,故③错; π 2 2 2 2 ( x ? 1) ( ? 1) 2 4
1 sin x 1 1 ? 2 ? , 均关于原点对称,所以只需考虑 x ? 0 部分,因为 f ( x) ? 2 x x ?1 x ?1 x 1 故函数 f ( x) 的图象与函数 y ? 的图象没有公共点,④正确. x 故答案选 C

对于④,由于 f ( x) 与 y ?

8.【答案】D 【解析】如图,设圆心 (0,0) 到直线 y ? x ? m 的距离 d ?
uuur m2 所以 MN ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 16 ? , 2 uuur uuu r uur 如图, OM ? ON ? OA ? 2d ? 2 m uuur uuur uuu r 又 MN ? 3 OM ? ON , m2 ? 6 m ,解得 ?2 2 ? m ? 2 2 . 2 故答案选 D.
m 2



则 2 16 ?

二、 填空题 9.【答案】 30 【解析】解:设 {an } 的公比为 q ,因为 a1 ? 2 , a2 ? a3 ? 12 , 所以 a1q ? a1q 2 ? 12 ,即 q 2 ? q ? 6 ? 0 , (q ? 3)(q ? 2) ? 0 , 所以 q ? ?3 (舍) ,q ? 2 3 所以 a4 ? a1q ? 16 , S4 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 30 ; 故答案为 30 .

14

10.【答案】 2 【解析】解:由 ? ? 2cos? ,得 ? 2 ? 2? cos? , x 2 ? y 2 ? 2 x , ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ; 由 ? cos? ? 4 ,得 x ? 4 ;圆心 (1, 0) 到 x ? 4 的距离的为 3 . 所以线段 AB 长度的最小值为 3 ? 1 ? 2 ; 故答案为 2 .
1 11.【答案】 , 2 ? 3 3 【解析】由三视图知,几何体为地面为等腰直角三角形,高为 1 的三棱锥; 1 1 1 所以体积 V ? ? ? 2 ? 1? 1 ? ; 3 2 3 2 2 1 1 3 3 表面积 S ? ? 2 ? 1 ? ? 2 ? 1 ? ? 2 ? ? 2 ? 2? 3 . 2 2 4 4 1 故答案为 , 2 ? 3 3

12.【答案】 2, 5 【解析】解:因为双曲线 x2 ?

y2 ? 1(b ? 0) ,所以焦点 (? 1 ? b 2 , 0) ,准线为 y ? ?bx ; b2
1+b 2 b 1+b 2 ? 2 ,即 b ? 2 .

又焦点到其渐近线的距离是 2 ,所以 离心率为
c ? 1+b2 ? 5 a

故答案为 2, 5 13.【答案】 72
3 3 2 ? A3 ? A2 ? 72 . 【解析】解:分步计数原理, A3 故答案为 72 .

14.【答案】 2 【解析】 解: 如图建立空间直角坐标系, 设 SB ? a ,AE ? b(0 ? b ? 3) 则 S (0,0, a) ,C (3, ?1,0) ,E (b,1,0) uur uuu r 所以 ES ? (?b, ?1, a) , EC ? (3 ? b, ?2,0) uur uuu r 因为 ?SEC ? 90? , ES ? EC ? ?3b ? b2 ? 2 ? 0 ,解得 b ? 1 或 2 . 故答案为 2 .

15


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