解析几何中的定值问题解法探究


教 学实践 
求证 : } ( 图 3 .  > 如   )  

2 1—7 01 D  


,  

、 、   、

、  

、 


, , 

,  
,   , 

C  

圈 4  

图3  

由于 LPP = tC 所 以 B、 、 、 线 , B = P P 'PE- ' LPr , C P  E共 且 E B + P+ ':  

证 明 : AA P绕 A点按 逆时针方 向旋转  ̄B 将 B AC的度数 , B + P A 对于平面上 任一点 Q, △AQ   则  P C = P, 令 c
AAB pR( LB )AAC ' A, AC P
.  

二  

△印 , 则  c,

Q  Q Q E Q .于是 Q Q + C QE Q + Q >B = P C + Q = C,   = A a+ B Q =   + B Q   E B + P    ̄
A P 

连结 p '因 AP A , 以  A =   p, =  , P所   厶4
由已知条件易知 , P >LA ' ,故 LC t>LP ' ,从而  LA C PC Pr PC
P < ' , P > C  CPC 即 B P .

故 P是 到 三 顶 点距 离 之 和 最 小 的 点 .  

注 : 例称为三角形 的费尔马问题 , 本 此题有多种证法 , 比较简 
洁的方法是运用旋转变换 , 将从一点 出发的三线段适当变位 , 使它  们首尾相连 , 于同一条直线( 处 或折线 ) , 上 再进行 比较 .   参考文献 :  

注: 一般说来 , 题设 中如果 有正多边形 或定角 等边 的条件 , 在  

那么可以用旋转 变换 的方法移动部分元 素 , 问题易于解答 , 使 有时 
会收到事半 功倍之效.  

例 4在 AA C内有一点 P, 足条件 /AP /B C /C A: . B 满 B= P = P   10 , 2  ̄求证 P是到三顶点距 离之 和最小 的点.  

[] 1 朱德 祥 , 朱维 宗. 等几何 研 究[ . 初 M]北京 : 高等教 育 出版 
社 .0 3  20.

[] 2 陈传 理 , 同君. 张 竞赛 数 学教 程 [ . M]南京 : 苏教 育出版  江
. 0 5  20.

证明: LC A LB C 10 , △A C施行变换 R( ,6 o, 社 因 P = P = 2  ̄故对 P C’0)  

则△   A



AP ( 4 E' q ) C ̄
. 

( 作者单位

西华师 范大学数 学与信息 学院)  

解析 几何 中的定值 问题解法探 究 
文/ 秀 英  张

在圆锥 曲线 中某些几何量在特定的关 系结构 中不受相关变元 

的制约而恒定不变 , 则称该几何量具有定值特征 , 这类 问题称之为  丽 定值问题 。 定值 问题是备受关注的焦点之一 , 它体现了动与静 的完  美统一 , 其内容丰富, 综合性强 , 难度较大 , 因此不少 同学常常 因解  题策略选择不 当而导致解答 过程繁难 , 运算量大 , 甚至半途而废 。   鉴于此 , 下面举例谈谈这类问题的常见类 型及求解策略 。  


  丽

一 研

一 丽

。  

即: = 为值 。 证 槲 定  料  
点评 : 题对椭 圆、 本 抛物线也有 同样 结论 。具体地 ,1 对于椭  ()

圆  : 有 6+  ,  

. 

等;)于 曲 6舻   (对 双 线  2



弦长比值型 

例 1 为过双 曲线 6 :。 a 2 .   ‰ 一 = 2 的一个焦点 F的弦 , : b   为 

有 + = ;对 抛 线 却( )    南   ( 于 物 户  >, 23 a) p有 0
2  

焦距 为曲的心。证 + 为值 准,双线离率求: 槲 定。 e 料  
£  

1  



一 。    
二 、 点 轨迹 型   动

M 

P 

例 2已知双 曲线 6    = ,Q为过焦点 F的弦 ,Q的中  . ‰一   P 尸

垂线交 F所在 的曲线 的对称轴 于 R, 直线 R F交 F所对应 的准线 
于 K, 证 : 、 Q、 四点 共 圆 。 求 P K、 R  

Ⅳ    /
| Q  
证 明 : 上  , P Q分 别 作 l 垂 线 , 足 分 别 力 M、 , 如 过 、 的 垂   连  V


证 : -: 明 例得 槲 由 书
南 融例  


=‘ ,     即  
于  是

。  
:?   

接  交  于 E 。由双曲线第二定义知: M I IFI Q = I   P = p   IⅣ1  ,
- -





P ? P   IFII  。r  。  ̄I F1 Q   F lI I 因而,、 、 、 AI 。 =R K P  Q R四点共圆。  

L   1 IFI fN  Q   Q


]  

=  

ltI   e  =

=  

点评 : 本题 对椭 圆 、 物线 也有 同样 结论 , 为有趣 的是 若  抛 更 p = ,, )  n 12 … 为过 圆锥 曲线 的一个 焦点 ,的 弦 ,n  中垂线  PQ 的

EI  lM (P 1


= =   』交 F所在 的曲线的对称轴于 R 则过 只、 R n l,, 的圆必    槲 =   , Q 、 (= 2 …)
故 IE 1IFll lrl     E  : = K  。同理 Q 交 于同一点 。    
三 、 索 存 在 型  探

J  
也 过 

=  』


是,  

+  

=  

+  

.’ 1  

例 3已知抛物 线  =p ( > ) 抛物 线  =p ( > ) . 2  p 0 , 在 2  p 0 外任 取 

201 1-0   7

教 学 实践 



,   于 。 为圆心 ,  _ 于 N, A   B D 0NAl 在 A 上选一点 M, D   使 4= 点 尸 。b , ( , )求证 : 在抛物线上必存在 一点 Q, 使得过 P点作的抛 A, B 上f 曰 , 。

物线的任意一条弦 MN都有 K K r  ? o为常数 。  
解: 抛物 线上 取一 点 Q(   ,0 , Q作 弦  y) 过 、 Ⅳ。令 肘  Q

0  ̄ M ,Q  IA lB。 1   N 1。 IA , I I 2 N=   +B   


u   c 8l I    a ,
t , A    

即I。 <  Ⅳl Q 上 上= 所以圆必与准线相交,   = 设  r f Ⅳl r, 口  

( yN芳, 则  盏 芳,,(   有 1 )
L 。令  。 o r K = 为常数 , 则 
。  

  ,理  ̄S ==( I 同  [( 2 I p ]} e}定 C/ ,   O船 . -
='ro r  r y+  ̄
,0    + 

_   42

 ̄I   -Ya -

\ )lr      -y0 ,\,

1 和1 。() , , = r . 1设直线 M 0 N的方  ̄ :=y m, jxk+ 代人 f 2xp O  =p (> )
消去 有 : 2 k -p O 2 NN y 弛 是方程 ( )  一p y 2 m= 。( ) l 2 的两根 , 以  所

A 1   ?  
Ⅳ 
D 

/  
、  

)  =p}y 一 p 代入 ( ) , : g 2 ky一 pn -p = , , 2 J  = 2 m l , 1 式 得 r + p ro2 rr4  0 即  y

秀  (0 , 直  y 通 定 : 卟 ,) D ’+因 线-+ 过 点(     ,   ym 此 km r )    


/  
l  

;  

{   j: p 2外L。 )  ; { , = 在 p ,2 o  ≥(   6p 。 ≠ 
【 6     l ~    b
因此 , 在抛 物线上 必存在一 点 Q(  
z p 

点评 : 利用平 面几何性 质结合 圆锥 曲线 的统 一定义是求 解焦 
半径( 焦点弦 ) 定值问题的常见方法 。  

,b , 一 )使得 过 P点作 的 

定值 问题 是高考考查 的热点, 由于计算量大 , 不难发 现学生对  此部分 内容的学习是困惑点。在圆锥 曲线这一章节 的教学和高考  复习 中要强调识图 、 图能力 以及相关量的几何意义和关系。 作 学生  即使能轻松地作 出对应方程 的圆锥 曲线, 也未必 能高效 、 准确地解  决题 目所设 置的问题 的完 整答案 。通常可采取特殊的点与方程, 即 
特殊法。 也可采取一般的推理办法 。  

抛物线的任意 弦M 一条 N都有 ?    

等 为常数。 _ -  

点评 : 本题 变换角度 从反 面进 行思考 , 在抛 物线上 过点 Q任 

作两弦 , 然后假定 伽? o r K , 为常数的情况 , 到直 线过定点使 问  v = 找 题获解。这 种反其道而行之 的方法是探索型命题中最为常用 的方 
法 之一 。  

四 、 质 探 求 型  性

总之 ,探索圆锥 曲线 的定值问题可 以发 现圆锥 曲线的内在规 

从而加强对圆锥曲线定义统一性 的正确理解 , 助于数学解题  有 例 4求证 : . 以双 曲线一 焦点的弦为直径 的圆必与对应 的准线  律 , 能力的提高 。   相交, 且圆被准线截取 的圆弧所对 的圆心角必为定值 。  
证明 : 图, F为双 曲线 6 如下 设   铲  6 的右焦点 , A。 z : A j 于  _

( 作者 单位

河 南省 淅 川县 第一 高级 中学 )  

三 角 恒 等 变 形 的 学 习策 略 
摘 要 : 中阶段三角 函数 的学 习一直 以来是 学生感 觉较难学的部 分 , 高 同时也是高考得分较差 的考 点, 究其原 因是 三角函数式的 

转化掌握不好 。 由于 三角 函数公式的灵活多变, 往往使得三角函数式的转化结果 具有一定 的多样性 , 给解题带来一定的障碍 , 从而使 学 
生感到畏惧。因此 , 掌握 几种 常见的变形策略 , 对于有针对性地学 习三角 函数知识 , 而解决 一些三角 函数 问题是非常必要的。 进   高 中阶段 三角 函数 的学习一直 以来是 学生感 觉较难 学 的部 :   分, 同时也是高考得分较差的考点 , 究其原 因是三角 函数式 的转化 :   掌握不好。 由于三角函数 公式 的灵 活多变 , 往往使得 三角 函数式 的 :   2含有 s a、oO t 0; . i cSt a 【 n 、n   3含有  n 、。2  n0   。   i2 。  、i2、。 ; . 4含 有  nt sts ±o 。 ic oc i  s   c , 



擘   甍 差解带一的碍 而学  、 变方  篓萼具_  种 譬 定障, 使生 三 住形向   , 给 从地习   : 抓
三角函数知识


进 而解 决 一 些 三 角 函数 问题 是 非 常 必要 的 。  

1 . 转化为只含有一个三角函数 y A i(   ) 6的形式 。 ;s 伽岬 + n   …… … … …   一 一  ~ …     。   例 1 函 . 数  )cs  , ) s 2。 设  =o( . +i x  i f - n ( ) 函数  ) 1求 的最大值和最小正周期 一 ~ 一 … … ~ … ~…   … … 
. 

通过近几年的教学 , 我把三角 函数式的恒等变形概括为 “ 统一 :  

名 ’: 称统  




形成 了下面几种变形策略 :   熟 记 如 下 的 变 形公 式 
, 

,  

1 . 二倍角公式:  


:  

() ,, 为A B 的三个内角, c B  2设A BC A C 若 o =  s 1

) 一},  

2cs:0、2c — 2 1—i。 : c。一角求i。 s =ic c 仅。 s =。 一1s   ? 为 …,s   i      0 _ = i c =2    !2    s n s   n 且 锐 ’n A 和角公式  
s (【1)s e ol cstn ,o(tl : 。 。p s q ip  i 0 3=i t s _ oe i[ cse s c蛐  s ±i   。 n ± nc 3 + s ̄  ̄)   n 分析 : s  使用余弦二倍 角公 式降次扩角 , 一角度 ; 对 i n 统 然后 

3 . 同角三角 函数基本关系式 :  

使用 璐 眦拍 c 、  j 0 /  =

s( ) i 卅妒 统一名称。 n  

s2 cY 1a( S 。 ie o t 、l=Ot  nt s= t /C C + .  

  :

解:  ()c  +  +n =O  ̄ sT s2 i_+ (  : s( 孚 )sZ CS c 丁+n s 7   I o j ix 2 o7 ixn1 " 1
的最大值  —  … ' ’ 取  最 

二、 注意观察所给函数式的结构特点  点是 三角 函数 名称和  1 o 2   -c s x 角度    一2 。 2 s 2  以函数       …… i  n 丁 2 有席 1 . 含有 s ' 、02   i e c8 n t  ̄; - : 小正周期 耵   。


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