2016静安高三二模


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峰行数学

上海市静安区 2016 届高三二模数学试卷
2016.04 一. 填空题 1.(文)已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 4) ? 0} ,则 CU A ? (理)计算: lim

n 2 (n ? 6) ? n ?? 12n 3 ? 7

2.(文)指数方程 4 x ? 6 ? 2 x ? 16 ? 0 的解是 (理)设复数 z 满足 (3 ? 4i) z ? 5 ( i 为虚数单位) ,则 z ? 3.(文)已知无穷等比数列 {an } 的首项 a1 ? 18 ,公比 q ? ? 的和是 (理)若原点 (0, 0) 和点 (1,1) 在直线 x ? y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是 4. 函数 y ? cos 2 x , x ? [0, ? ] 的递增区间为 5. 算法流程图如图所示,则输出的 k 值是 6. 抛物线 y ? x 上一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的横坐标是 7.(文)设函数 f ( x ) ? | 2 x ? 3 | ,则不等式 f ( x) ? 5 的 解集为 (理)一盒中装有 12 个同样大小的球,其中 5 个红球, 4 个黑球,2 个白球,1 个绿球,从中随机取出 1 个球, 则取出的 1 个球是红球或黑球或白球的概率为 8. 关于 ? 的函数 f (? ) ? cos 2 ? ? 2 x cos ? ? 1 的最大值记为 M ( x) ,则 M ( x) 的解析式为
2

1 ,则无穷等比数列 {an } 各项 2

9.(文)如图所示,是一个由圆柱和球组成的几何体的三视图,若 a ? 2 , b ? 3 ,则该几 何体的体积等于

(理)如图,正四棱锥 P ? ABCD 的底面边长为 2 3cm ,侧面积为 8 3cm ,则它的体积 为 资料整理 sh-maths

2

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C 的方程为
(理)已知双曲线 x ?
2

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10.(文)圆心在直线 2 x ? y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 y 轴交于 A(0, ?4) 、 B(0, ?2) 两点,则圆

y2 ? 1 ( m ? 0 )的渐近线与圆 x 2 ? ( y ? 2)2 ? 1 没有公共点,则该 2 m
??? ? ???? ????
??? ? ????

双曲线的焦距的取值范围为 11. 已知 ?ABC 外接圆的半径为 2 ,圆心为 O ,且 AB ? AC ? 2 AO , | AB |?| AO | ,则

??? ? ??? ? CA ? CB ?
?x ? 0 4 ? 12.(文)若不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 分为面积相等的两部 3 ?3 x ? y ? 4 ? 分,则 k ?
(理)若以过 (0, 0) 点的直线的倾斜角 ? 为参数, 则圆 x 2 ? y 2 ? x ? 0 的参数方程为 13.(文)掷两颗均匀的骰子,得到其向上的点数 分别为 m 和 n ,则复数 (m ? ni )(n ? mi ) ( i 为虚 数单位)为实数的概率为 (理)已知数列 {an } 满足 a1 ? 81 , an ? ? 的前 n 项和 S n 的最大值为 14. 设 x 的实系数不等式 ( ax ? 3)( x ? b) ? 0 对任意 x ? [0, ??) 恒成立,则 a b ?
2

??1 ? log 3 an ?1 , n ? 2k ?3
an?1

,

n ? 2k ? 1

(k?N ) ,则数列 {an }

*

2

二. 选择题 15.(文) (1 ? x ) 的展开式中 x 的系数为( A. 1 B. 4 ) B. sin x ? D. C. 6
4

2

) D. 12

(理)下列不等式一定成立的是( A. lg( x ? ) ? lg x ( x ? 0 ) C. x 2 ? 1 ? 2 | x | ( x ? R )
2

1 4

1 ? 2 ( x ? k? , k ? Z ) sin x

1 ? 1( x ? R ) x ?1
2

16.(文) 在 ?ABC 中,∠ A 、∠ B 、∠ C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 ?ABC 的面积

1 S ? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) ,∠ A 的弧度数为( 4 ? ? A. B. 3 6

) C.

? 2

D.

? 4


(理)在极坐标系中,圆 ? =2cos ? 的垂直于极轴的两条切线方程分别为(

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B. ? ?

A. ? ? 0 ( ? ? R )和 ? cos ? ? 2 C. ? ?

? ( ? ? R )和 ? cos ? ? 2 2

? ( ? ? R )和 ? cos ? ? 1 2

D. ? ? 0 ( ? ? R )和 ? cos? =1

17. 若函数 F ( x ) ? f ( x) ? x 2 为奇函数,且 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 ,已知 f (1) ? 1 ,则 g (?1) 的 值为( A. ?1 ) B. 1 C. ?2 D. 2

?x ? y ? 2 ? 0 ? 18.(文)已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0 则 z ? | x ? 4 y | 的最大值为( ? x ? ?3 ?
A. 17 B. 15 C. 9 D. 5



(理)袋中装有 5 个同样大小的球,编号为 1、2、3、4、5,现从该袋内随机取出 3 个球, 记被取出的球的最大号码数为 ? ,则 E? 等于( A. 4 三. 解答题 19.(文)如图,半径为 2 的半球内有一个内接正六棱锥 P ? ABCDEF (底面正六边形 ,求正六棱锥 P ? ABCDEF 的体积和侧面积; ABCDEF 的中心为球心) B. 4.5 C. 4.75 ) D. 5

(理)已知 F1 、 F2 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(其中 a ? b ? 0 )的左、右焦点,椭圆 C 过 a2 b2

点 ( ? 3,1) 且与抛物线 y 2 ? ?8 x 有一个公共的焦点; (1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的右焦点且斜率为 1 的直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两点,求线段 AB 的长度;

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20.(文)已知 F1 、 F2 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(其中 a ? b ? 0 )的左、右焦点,椭圆 C a2 b2

过点 ( ? 3,1) 且与抛物线 y 2 ? ?8 x 有一个公共的焦点; (1)求椭圆 C 的方程; (2)过椭圆 C 的右焦点且斜率为 1 的直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两点,求线段 AB 的长度;

(理)设点 F1 、 F2 分别是棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱 AB 、 AA1 的中点,如 图,以 C 为坐标原点,射线 CD 、 CB 、 CC1 分别是 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建立空间 直角坐标系; (1)求向量 D1 E 与 C1 F 的数量积; (2)若点 M 、 N 分别是线段 D1 E 与线段 C1 F 上的 点,问是否存在直线 MN , MN ? 平面 ABCD ?若 存在,求点 M 、 N 的坐标;若不存在,请说明理由;

???? ?

???? ?

21. 如图,A 、B 是海岸线 OM 、ON 上两个码头, 海中小岛有码头 Q 到海岸线 OM 、ON

7 10 km ,测得 tan ?MON ? ?3 ,OA ? 6km ,以点 O 为坐标原点, 5 射线 OM 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系,一艘游轮以18 2km / 小时的平均
的距离分别为 2km 、 速度在水上旅游线 AB 航行(将航线 AB 看作直线,码头 Q 在第一象限,航线 AB 经过 Q ) ; (1)问游轮自码头 A 沿 AB 方向开往码头 B 共需多少分钟? (2)海中有一处景点 P (设点 P 在 xOy 平面内, PQ ? OM ,且 PQ ? 6km ) ,游轮无法 靠近,求游轮在水上旅游线 AB 航行时离景点 P 最近的点 C 的坐标;

??? ?

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22. 已知函数 y ? f ( x ) ,若在区间 I 内有且只有一个实数 c ( c ? I ) ,使得 f (c) ? 0 成立, 则称函数 y ? f ( x ) 在区间 I 内具有唯一零点; ( 1) (文)判断函数 f ( x ) ? log 2 | x | 在定义域内是否具有唯一零点,并说明理由; (理)判断函数 f ( x ) ? ? (2)已知向量 m ? (

? x2 ? 1 0 ? x ? 1 ?log 2 x x ?1

在区间 (0, ??) 内是否具有唯一零点,说明理由;

?? ?

?? ? ?? ? 3 1 , ) , n ? (sin 2 x, cos 2 x) , x ? (0, ? ) ,证明 f ( x) ? m ? n ? 1 在 2 2
2

区间 (0, ? ) 内具有唯一零点; (3)若函数 f ( x) ? x ? 2mx ? 2m 在区间 ( ?2, 2) 内具有唯一零点,求实数 m 的取值范围;

23.(文)已知各项为正的数列 {an } 是等比数列,且 a1 ? 2 , a5 ? 32 ;数列 {bn } 满足:对 于任意 n ? N ? ,有 a1b1 ? a2b2 ? ... ? an bn ? (n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2 ; (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {bn } 的通项公式; (3)在数列 {an } 的任意相邻两项 ak 与 ak ?1 之间插入 k 个 ( ?1) bk ( k ? N )后,得到一个 新的数列 {cn } ,求数列 {cn } 的前 2016 项之和;
k

?

(理)已知数列 {an } 满足 an ? 3an ?1 ? 3n ( n ? 2 , k ? N ? ) ,首项 a1 ? 3 ; (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {an } 的前 n 项和 S n ; (3)数列 {an } 满足 bn ? log3 若 sin A cos A ?

an 1 ,记数列 { } 的前 n 项和为 Tn , A 是 ?ABC 的内角, n bn ? bn ?1

3 Tn 对于任意 n ? N ? 恒成立,求角 A 的取值范围; 4

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参考答案
一. 填空题 1.(文) (??,1) ? (4, ??) (理) 3.(文)12 (理) (0, 2) 7.(文) {x | ?1 ? x ? 4} (理) 9.(文)

1 12

2.(文) x ? 3 (理)

4. [

? ,? ] 2

5. 5 8. M ( x) ? ?
2

11 12

?2 x ? ?2 x x ? 0
2

3 4 ? i 5 5 3 6. 4 x?0

13? (理) 4 3

10.(文) ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 5 (理) (2, 4) 13.(文)

11. 12 14. 9

12.(文)

? x ? cos 2 ? 7 (理) ? 3 ? y ? cos ? ? sin ?

1 (理)127 6

二. 选择题 15.(文)C(理)C 16.(文)D(理)B 17. A 18.(文)B(理)B

三. 解答题 19.(文) V ? 4 3 , S ? 6 7 ;

x2 y2 ? ? 1; (2) AB ? 6 ; 6 2 x2 y2 20.(文) (1)椭圆 C 的方程为 ? ? 1; (2) AB ? 6 ; 6 2 ???? ? ???? ? 4 4 2 4 4 4 (理) (1) D1 E ? C1 F ? 4 ; (2)存在, M ( , , ) , N ( , , ) ; 3 3 3 3 3 3
(理) (1)椭圆 C 的方程为 21.(1)航行 30 分钟时间; (2) C (1,5) ; 22.(1) (文)函数 f ( x ) ? log 2 | x | 在定义域内不具有唯一零点;

? x 2 ? 1, 0 ? x ? 1 (理)函数 f ? x ? ? ? 在区间 (0, ?? ) 内具有唯一零点; ?log 2 x, x ? 1
(2)证明略; (3)实数 m 的取值范围是 m ? ?

2 或 m ? 0或 m ? 2 ; 3
64

23.(文) (1) an ? 2n ; (2) bn ? n ; (3) S 2016 ? 2 ? 1951 ; (理) (1) an ? n ? 3 ; (2) S n ? n ? 3
n

n ?1

?

3n?1 3 ? ? ? ; (3) A ? [ , ] ; 2 2 6 3

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