黑龙江省大庆实验中学2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案


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大庆实验中学 2012—2013 学年度上学期期中考 试

高一数学试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一.选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题只有一项是正确的) 1.已知 f ? x ? ? ? ? x ? R ? ,则 f ? 2 ? ( A. ? 2 B. ? C. ? )

? ?

) D.不确定

2.下列函数中值域为 ? 0, ?? ? 的是(

1 A. y ? 2? x

?1? B. y ? ? ? ?3?

1? x

?1? C. y ? ? ? ? 1 ?2?

x

D. y ? 1 ? 2 x )

x 1 ? ? ? ? ? ? ?1? 3 3.若集合 A ? ? y | y ? x , ?1 ? x ? 1? , B ? ? y | y ? ? ? , x ? 0 ? ,则 A ? B ? ( ?2? ? ? ? ? ? ?

A. ? ??,1?

B. ? ?1,1?

C. ?

D. ?1?

? 2 ? 4.函数 f ? x ? ? lg ? ) ? 1? 的图象关于( ?1? x ? A. y 轴对称 B.直线 x ? 1 对称
C.点 ?1,0 ? 对称
2

D.原点对称 )

5.已知 f ? x ? ? ax ? bx 是定义在 ? a ? 1, 2a ? 上的偶函数,那么 a ? b 的值是( A. ?

1 3

B.

1 3

C.

1 2

D. ?

1 2
)

6.函数 y ?

xa x ? 0 ? a ? 1? 的图象的大致形状是( x

?1? 7.已知偶函数 f ? x ? 在区间 ?0,?? ? 单调递增,则满足 f ? 2 x ? 1? ? f ? ? 的 x 取值范围是 ?3?
( )

?1 2? A. ? , ? ?3 3?
A. a ? b ? c

?1 2 ? B. ? , ? ?3 3 ?
B. a ? c ? b

?1 2 ? C. ? , ? ?3 3?
C. b ? a ? c

? 1 2? D. ? , ? ? 3 3?
) D. c ? a ? b

8. 已知三个函数 f ? x ? ? 2 x ? x, g ? x ? ? x ? 2, h ? x ? ? log 2 x ? x 的零点依次为 a, b, c , 则(

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1

9.设 a ? log3 2, b ? ln 2, c ? 5 2 ,则( A. a ? b ? c B. b ? c ? a

?

) D. c ? b ? a

C. c ? a ? b

10.已知函数 f ? x? ? log2 x ,正实数 m, n 满足 m ? n ,且 f ? m? ? f ? n? ,若 f ? x ? 在区间

? m 2 , n ? 上的最大值为 2 ,则 m, n 的值分别为( ? ?

)

1 A. ,2 2

B.

1 ,4 2

C.

2 , 2 2

1 D. ,4 4

11.函数 y ? 22 x ? 2x ?1 ? 2 的定义域为 M ,值域 P ? ?1, 2? ,则下列结论一定正确的个数是 ( ) ② M ? ? ??,1? ; ⑤ 1? M ; ③ ?0,1? ? M ; ⑥ ?1? M

① M ? ? 0,1? ; ④ M ? ? ??,1? ;

A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 12.下图展示了一个由区间 (0, 4) 到实数集 R 的映射过程:区间 (0, 4) 中的实数 m 对应数轴 上的点 M (如图 1) ,将线段 AB 围成一个正方形,使两端点 A、B 恰好重合(如图 2) , 再将这个正方形放在平面直角坐标系中,使其中两个顶点在 y 轴上,点 A 的坐标为 (0, 4) (如图 3) 若图 3 中直线 AM 与 x 轴交于点 N (n,0) , m 的象就是 n , , 则 记作 f (m) ? n .

现给出以下命题: ① f (2) ? 0 ; ③ f ( x) 在区间 (3, 4) 上为常数函数; 其中正确命题的个数有( A. 1 B. 2 ) C. 3 D. 4 ② f ( x) 的图象关于点 (2, 0) 对称; ④ f ( x) 为偶函数.

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分
二.填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案写在答题卡上)

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13.若函数 f ? x ? ? log 2

1 ,则函数的单调递减区间为________; x

3? 1 ? ? ? 14.设数集 M ? ? x | m ? x ? m ? ? , N ? ? x | n ? ? x ? n ? ,且 M , N 都是集合 ? x | 0 ? x ? 1? 4? 3 ? ? ? 的子集,
如果把 b ? a 叫做集合 ? x | a ? x ? b? 的“长度”,那么集合 M ? N 的“长度”的最小值是 _____; 15.存在 x ? ? ?1,1? 使不等式 ax ? a ? a ? 1? ? 0 成立,则 a 的取值范围为 16.若函数 f ? x ? ?

_;

3 ? ax 在区间(0, 上是减函数,则实数 a 的取值范围是________. 1] a ?1 三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出必要的文字说明,证明过程或演算 步骤) 17. (本题满分 10 分) 已知 f ? x ? 是 R 上的奇函数,且当 x ? ?? ?,0? 时, f ?x ? ? ? x lg ?2 ? x ? ,求 f ? x ? 的解
析式. 18. (本题满分 12 分) 1 1 已知函数 f ? x ? ? ? ? a ? 0, x ? 0 ? . a x (1)求证: f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数;

?1 ? ?1 ? (2)若 f ? x ? 在 ? , 2 ? 上的值域是 ? , 2 ? ,求 a 的值. ?2 ? ?2 ?
19. (本题满分 12 分) 已知集合 A ? ? x | x ? 1 ? 2? , B ? x | x 2 ? ax ? 6 ? 0 , C ? x | x 2 ? 2 x ? 15 ? 0 . (1)若 A ? B ? B ,求 a 的取值范围; (2)是否存在 a 的值使得 A ? B ? B ? C ?若存在, 求出 a 的值; 若不存在, 请说明理由. 20. (本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? e x ? e ? x , g ?x ? ? e ? e
x ?x

?

?

?

?

( x ? R 且 e 为自然对数的底数).

(1) 求 ? f ?x ?? ? ?g ?x ?? 的值;
2 2

(2)若 f ?x ? f ? y ? ? 4 , g ?x ?g ? y ? ? 8 ,求

g ?x ? y ? 的值. g ?x ? y ?

21. (本题满分 12 分)

a 已知函数 f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ,且 f ?1? ? ? , 3a ? 2c ? 2b . 2

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(1)求证: a ? 0 且 ?3 ?

b 3 ?? ; a 4

(2)求证:函数 f ? x ? 在区间 ? 0, 2 ? 内至少有一个零点; (3)设 x1 , x2 是函数 f ? x ? 的两个零点,求 x1 ? x2 的范围.

22. (本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x 2 ?

a (常数 a ? R ). x

(1)讨论函数 f ? x ? 的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f ? x ? 在 ? 2,?? ? 上为增函数,求 a 的取值范围.

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参考答案 一.选择题 BBDDB DABCA AC 14.

二.填空题 13. ? 0, ?? ? 三.解答题

1 12

15.

?x | x ? 0?

16. ?? ?,0? ? ?1,3?

17.解 ∵f(x)是 R 上的奇函数,可得 f(0)=0. 当 x>0 时,-x<0,由已知 f(-x)=xlg(2+x), ∴-f(x)=xlg(2+x),即 f(x)=-xlg(2+x)(x>0). ∴f(x)= ?

?? x lg ?2 ? x ? x ? 0 ?? x lg ?2 ? x ? x ? 0

即 f(x)=-xlg(2+|x|)(x∈R). 18.解:(1)证明:设 x2>x1>0,则 x2-x1>0,x1x2>0. ?1 1 ? ?1 1 ? 1 1 x2-x1>0, ∵f(x2)-f(x1)=? - ?-? - ?= - =

?a x2? ?a x1? x1 x2

x1x2

∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. ?1 ? ?1 ? ?1 ? (2)∵f(x)在? ,2?上的值域是? ,2?,又 f(x)在? ,2?上单调递增, 2 ? 2 ? ? ? ?2 ? 2 ?1? 1 ∴f? ?= ,f(2)=2,∴a= . 5 ?2? 2 19.解: A={x|-1<x<3},C={x|-3<x<5}.

? f ?? 1? ? ?? 1?2 ? a ? 6 ? 0 ? (1)由 A∪B=B 知,A?B,令 f(x)=x +ax-6,则 ? ? f ?3? ? 3 2 ? 3a ? 6 ? 0 ?
2

解得-5≤a≤-1,即 a 的取值范围是[-5,-1]. (2)假设存在 a 的值使得 A∪B=B∩C,由 A∪B=B∩C?B 知 A?B, 由 A∪B=B∩C?C 知 B?C,于是 A?B?C, 由(1)知若 A?B,则 a∈[-5,-1], 2 当 B?C 时,由 Δ =a +24>0,知 B 不可能是空集,

? 2 ? f ?? 3? ? ?? 3? ? 3a ? 6 ? 0 ? ? 19 ? 2 于是 ? f ?5? ? 5 ? 5a ? 6 ? 0 解得 a∈?- ,1?, ? 5 ? ? a ?? 3 ? ? ? 5 2 ? ? 19 ? 综合 a∈[-5,-1]知存在 a∈?- ,-1?满足条件. ? 5 ? -x 2 -x 2 2 2 x x 20.解(1) [f(x)] -[g(x)] =(e -e ) -(e +e )
[Z]

= (e2x-2+e-2x)-(e2x+2+e-2x)=-4.
(2) f(x)f(y)=(e -e )(e -e )
x
-x

y

-y

=ex+y+e-x-y-ex-y-e-x+y =[ex+y+e-(x+y)]-[ex-y+e-(x-y)]=g(x+y)-g(x-y)
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∴g(x+y)-g(x-y)=4



同理,由 g(x)g(y)=8,可得 g(x+y)+g(x-y)=8, ② 由①②解得 g(x+y)=6,g(x-y)=2,∴ g?x+y? =3. g?x-y?

a 21.解: (1)由 f ?1? ? ? 得 3a ? 2b ? 2c ? 0 ,又 3a ? 2c ? 2b ,则 a ? 0, b ? 0 . 2 b 3 又 2c ? ?3a ? 2b ,则 3a. ? ?3a ? 2b ? 2b ,得 ?3 ? ? ? a 4
(2)由于 f ?0? ? c , f ?2? ? a ? c , f ?1? ? ?

a ?0 2 a 讨论:当 c ? 0 时, f ?0? ? c ? 0 , f ?1? ? ? ? 0 ,在区间 ?0,1? 内至少有一个零点 2
当 c ? 0 时, f ?2? ? a ? c ? 0 , f ?1? ? ? 因此在区间 ?0,2 ? 内至少有一个零点 (3)由条件知 x1 ? x2 ? ? 所以 x1 ? x2
2

a ? 0 ,在区间 ?1,2 ? 内至少有一个零点 2

b 3 b , x1 x2 ? ? ? a 2 a
2

? ? x1 ? x2 ?

2

b 3 ?b ? ? 4 x1 x2 ? ? ? 2 ? ? 2 ,而 ?3 ? ? ? a 4 ?a ?

? 57 ? 则 x1 ? x2 ? ? 2, ? 4 ? ? ?
22. 解:(1)当 a=0 时,f(x)=x ,对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
2

f(-x)=(-x)2=x2=f(x),∴f(x)为偶函数.
当 a≠0 时,f(x)=x + (a≠0,x≠0). 取 x=±1,得 f(-1)+f(1)=2≠0,f(-1)-f(1)=-2a≠0. ∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1). ∴函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (2)设 2≤x1<x2,
2

a x

a a f(x1)-f(x2)=x2+ -x2- 1 2 x1 x2
= ?

x1-x2? [x1x2(x1+x2)-a]. x1x2

要使函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数, 必有 f(x1)-f(x2)<0 恒成立. ∵x1-x2<0,即 a<x1x2(x1+x2)恒成立,
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又∵x1+x2>4,x1x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16. ∴a 的取值范围是(-∞,16].

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