吉林省长春市十一中2014-2015学年高一数学下学期期中试题 理


长春市十一高中 2014-2015 学年度高一下学期期中考试 数 学 试 题(理 科)
一、选择题(每小题 4 分,共 48 分) 1. 下列不等式中成立的是( ) A.若 a ? b ,则 ac2 ? bc 2 C.若 a ? b ? 0 ,则 a 2 ? ab ? b 2 2.数列 1,3,6,10,? 的一个通项公式是( A. an ? n 2 ? (n ? 1) B. an ? n 2 ? 1 ) C. a n ? B.若 a ? b ,则 a 2 ? b 2 D.若 a ? b ? 0 ,则

1 1 ? a b

n(n ? 1) n(n ? 1) D. a n ? 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? 3.已知 A, B 是以 O 为圆心的单位圆上的动点,且 AB ? 2 ,则 OB ? AB ? (



2 2 ? ? ? ? ? 4.已知平面向量 a与b 的夹角为 , 且 b ? 1, a ? 2b ? 2 3, 则 a ? ( 3
A. ?1 B. 1 C. ?

2 2

D.



A. 1

B. 3

C. 2

D. 3 )

5.已知数列 ?an ? 为等比数列,若 a4 ? a6 ? 10 ,则 a7 ? a1 ? 2a3 ? ? a3a9 的值为( A. 10 B. 20 C. 100 D. 200

6.等差数列 {an } 中,已知 a1 ? ?12 ,S13 ? 0 ,则使得 an ? 0 的最大正整数 n 为(

)A. 7

B. 8 C. 9 D.6 7.给出下列图形:① 角;② 三角形;③ 平行四边形;④ 梯形;⑤ 四边形.其中表示平 面图形的个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8.若两个等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 An 、Bn,且满足 的值为( A. ) B.

An 4n ? 2 a ? a14 ? ,则 4 B n 5n ? 5 b8 ? b10

7 9

7 8

C.

19 20

D.

8 7

9. 设数列 {an } 错误!未找到引用源。是以 2 为首项,1 为公差的等差数列, {bn } 是以 1 为
1

首项,2 为公比的等比数列,则 ab1 ? ab2 ? ? ? ab10 ? ( A.1033 B.2057 C.1034

)错误!未找到引用源。

D.2058

10.在等比数列 ?an ? 中,若 a1 ? 2 , a2 ? a5 ? 0 , ?an ? 的 n 项和为 Sn ,则 S2015 ? S2016 ? ( ) B.2 C. ? 2 D. ?4030
2

A. 4032

11.已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项 am、an,使得 aman=16a1 ,则 的最小值为( A. ) B.

1 9 ? m n

8 3

C.

25 6

D.不存在

12.已知数列 ?an ? 中, an ? 0 , a1 ? 1 , an ? 2 ?

1 , a100 ? a96 ,则 a2014 ? a3 ? ( an ? 1
?1 ? 5 2



A.

5 2

B.

1? 5 2

C.

5 2

D.

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.在等差数列 ?an ? 中, a7 ? m, a14 ? n, 则 a28 ?
2

. . .

14.已知数列{an}为等比数列,且 a1a13 ? 2a7 ? 5? ,则 cos( a5 a9 )的值为 15.若函数 f ( x ) ? x ?

1 ( x ? 2) ,在 x ? a 处取最小值,则 a = x?2

16.数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a2 ? 7 , an ? 2 是 an an ?1 的个位数字, Sn 是 ?an ? 的前 n 项和,则

S 242 ? 10a6 =



三.解答题: (本大题共 6 小题,共 66 分) 17.( 本小题满分 10 分) 已知向量 a 、 b 满足 : a ? 1, b ? 4, 且 a 、 b 的夹角为 60 .
0

?

?

?

?

?

?

2

(1)求 ? 2 a ? b ? ? ? a ? b ? ;

? ?

?

?

? ?? ? ?

?

? ?

(2)若 ? a ? b ? ? ? ? a ? 2 b ? ,求 ? 的值. 18.( 本小题满分 10 分) 在△ABC 中, AB ? (1)求 sin A 的值; (2)求 BC ? CA 的值. 19.( 本小题满分 12 分) 在三角形 ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a、b、c 且 b2 ? c 2 ? bc ? a 2 (1)求∠A;
2 2 (2)若 a ? 3 ,求 b ? c 的取值范围.

?? ?

?

? ?

? ?

?

?

? ?

2, BC ? 1, cos C ?

3 . 4

??? ? ??? ?

20. (本小题满分 12 分) 已知单调递增的等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? an ? log 1 an , S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求 S n .
2

21. (本小题满分 12 分) 数列 { an } 的前 n 项和为 Sn , an 是 Sn 和 1 的等差中项,等差数列 { bn } 满足 b1 ? S4 ? 0 ,

b9 ? a1 .
(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)若 cn ?

1 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Wn . (bn ? 16) ? bn ? 18?

22.(附加题,本小题满分 10 分,该题计入总分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ?

(n ? 1)a n ,且 a1 ? 1 . 2

3

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? ln an ,是否存在 k (k ? 2, k ? N * ) ,使得 bk , bk ?1 , bk ?2 成等比数列.若存在, 求出所有符合条件的 k 值;若不存在,请说明理由. 2014—2015 学年高一下学期数学期中考试参考答案(理科) 一、DCACC DCBAB BC 二、13.3n-2m 14.1/2 15.3 16.909 三、17、解析:
? (1)由题意得 a ? b ? a ? b cos 60 ? 1? 4 ?

? ?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)∵ ? a ? b ? ? ? ? a ? 2b ? ,∴ ? a ? b ? ? ? ? a ? 2b ? ? 0 ,……7 分
∴ 2a ? b ? a ? b ? 2a ? a ? b ? b ? 2 ? 2 ? 16 ? ?12 ……5 分 ∴ ? a ? ? ? ? 2 ? a ? b ? 2b ? 0 ,∴ ? ? 2 ? ? ? 2? ? 32 ? 0 , ∴ ? ? 12 18、解析: (1)在△ABC 中,由 又由正弦定理: 得: ,得 ……10 分 ,……2 分 .……5 分

?

? ?

??

? ?

?2

? ? ?2

1 ? 2 ,……2 分 2

?2

? ?

?2

2 2 2 cos C 得: 2 ? b 2 ? 1 ? 2b ? (2)由余弦定理: AB ? AC ? BC ? 2 AC ?BC ?

3 , 4

2 即b ?

1 3 b ? 1 ? 0 ,解得 b ? 2 或 b ? ? (舍去) ,所以 AC ? 2 . 2 2

8分

所以, BC ? CA ? BC ? CA? cos ?? ? C ? ? 1? 2 ? ? ?

??? ? ??? ?

3 ? 3? ??? , 2 ? 4?

CA ? ? 即 BC ?

??? ? ??? ?

3 . 2

10 分
b2 ? c 2 ? a 2 1 ? 2bc 2

19、解析: (1)由余弦定理有 cos A ?
?0 ? A ? ? , ? A ?

……3 分

?
3

……5 分 ……7 分

2 2 2 (2)方法一:? a ? 3 且 b ? c ? bc ? a , ? b 2 ? c 2 ? bc ? 3

? 0 ? bc ?

b2 ? c 2 2 2 ,? b ? c ? 6 , (当且仅当 b ? c ? 2

3 时取等号)……10 分

?3 ? b2 ? c 2 ? 6

……12 分
4

方法二、由正弦定理
b ? 2sin B, c ? 2sin C

b c a 3 ? ? ? ?2 sin B sin C sin A sin ? 3

……7 分

?b2 ? c2 ? 4sin B sin C ? 3 ? 4sin B sin( B ? ) ? 3 ? 2sin 2 B ? 2 3 sin B cos B ? 3 3

?

? = 3 sin 2B ? cos 2B ? 4 ? 2sin(2B ? ) ? 4
6

……10 分

因为 0 ? B ?

? ? 7? 2? ,所以 ? ? 2B ? ? 6 6 6 3
6

1 ? 2 2 所以 ? ? sin(2B ? ) ? 1 即? 3 ? b ? c ? 6 . ……12 分 2

20、解析: (1)设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q , 依题意,有 2( a3 ? 2 )= a2 + a4 ,代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 , 得 a3 =8, ……2 分

∴ a2 + a4 =20

1 ? 3 ? ?q ? 2 ?q ? ?a1q ? a1q ? 20 ∴? 解之得 ? 或? 2 2 a ? 2 a ? a q ? 8 ? ? 1 ? 1 ? 3 ?a1 ? 32
n

……4 分

又 ?an ? 单调递增,∴ q =2, a1 =2,∴ an =2

……6 分 ①……

( 2) bn ? 2n ? log 1 2n ? ? n ? 2n , ∴ ? sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ... ? n ? 2 n
2

8分 ∴ ?2 sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ... ? ( n ? 1) ? 2 ? n2
2 3 4 n n ?1


n? 1





-





2(1? 2n ) n? 1 sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ...? 2 ? n ? 2 ? ? n? 2 1? 2
2 3 n



2n ?1 ? n ? 2n ?1 ? 2

……12 分

? S n ? 2a n ? 1 21. 解析: (1)∵ a n 是S n 和1的等差中项,
当 n ? 2时,a n ? S n ? S n ?1 ? (2a n ? 1) ? (2a n ?1 ? 1) ? 2a n ? 2a n ?1 ,

? an ? 2an ?1,
当 n ? 1时,a1 ? S1 ? 2a1 ? 1,? a1 ? 1 2分
5

∴ an ? 0(n ? N ? ), ?

an ?2 an ?1

4分

?数列?an?是以a1 ? 1为首项, 2为公比的等比数列, ?an ? 2n?1
Sn ? a1 ? a2 ???? an ? 2n ? 1
设 ?bn ? 的公差为 d , b1 ? ?S4 ? ?15, b9 ? ?15 ? 8d ? 1 ? d ? 2

6分

8分

?bn ? ?15 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 17
( 2) c n ?

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

10 分

? Wn ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 1 ? 1 . ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 2 4n ? 2
an ? Sn ? Sn?1 ?

12 分

22. 解析: (1)当 n ? 2 时,

? n ? 1? an ? nan?1
2

2 ,

an n ? a n ? 1 ? n ? 2? . ∴ n ?1 an ?

2分

?


an an?1 a a n n ?1 3 2 ? ??? 3 ? 2 ? a1 ? ? ? ?? ? ? 1 ? n an?1 an?2 a2 a1 n ?1 n ? 2 2 1
4分 5分

3分

a1 ? 1 ,符合 an 的表达式.

n ? N* ? an ? ? ? a ? n n ∴数列 的通项公式为 .

b b b (2)假设存在 k (k ? 2, k ? N ) ,使得 k 、 k ?1 、 k ? 2 成等比数列,
则 ∵

bk bk ?2 ? bk2?1 . bn ? ln an ? ln n ? n ? 2? ,
bk bk ? 2

6分



2 2 ? ln k ? ln ? k ? 2 ? ? ? ln ? k ? 2k ? ? ? ? ln k ? ln( k ? 2) ? ? ? ?? 2 2 ? ? ? ? ? ?

2

8分
6

? ln ? k ? 1?2 ? 2 ?? ln ? k ? 1?? ? bk2?1 ? ?? ? ? 2 ? ? ? ?

2

这与

bk bk ?2 ? bk2?1 矛盾.
10 分

b b b ∴不存在 k (k ? 2, k ? N ) ,使得 k 、 k ?1 、 k ? 2 成等比数列.

7


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