【优化方案】2014届高考数学二轮复习 专题6第1讲直线与圆课件 新人教版


专题六

解析几何

第1讲

直线与圆

要点知识整合
1.两直线平行、垂直的判定 (1)①l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2(两直线斜率存在,
? ? 且不重合),则有l1∥l2? k1=k2,l1⊥l2? k1·2=-1. k

②若两直线的斜率都不存在,并且两直线不重合时,

则两直线平行;
若两直线中,一条直线的斜率为0,另一条直线斜率 不存在,则两直线垂直.

(2) l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,
则有l1∥l2?A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0, l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. 2.直线与圆的位置关系 直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆:(x-a)2 +(y-b)2=r2(r>0)的位置关系如下表.

3.圆与圆的位置关系 设⊙O1:(x-a)2+(y-b)2=r2(r1>0); 1
2 ⊙O2:(x-c)2+(y-d)2=r2(r2>0).

热点突破探究
典例精析 题型一 例1 两直线的位置关系

“a=-1”是“直线ax+(2a-1)y+1=0
)

和直线3x+ay+3=0垂直”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】若直线ax+(2a-1)y+1=0和直线3x +ay+3=0垂直,则a×3+(2a-1)×a=0,

解得a=0或a=-1.
故a=-1是两直线垂直的充分而不必要条件. 【答案】 A

【题后点评】两条直线a1x+b1y+c1=0和a2x+

b2y+c2=0平行的充要条件为a1b2-a2b1=0且
a1c2≠a2c1或b1c2≠b2c1.垂直的充要条件为a1a2+b1b2 =0,要熟练掌握这一条件.判定两直线平行与 垂直的关系时,如果给出的直线方程中存在字母 系数,不仅要考虑斜率存在的情况,还要考虑斜

率不存在的情况.

变式训练 1.(2009年高考上海卷)已知直线l1:(k-3)x+(4

-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k
的值是( A.1或3 ) B.1或5 C.3或5 D.1或2

解析:选C.∵l1∥l2,
∴-2(k-3)-2(k-3)(4-k)=0, 化简得(k-3)(k-5)=0, ∴k=3或5.

题型二 例2

对称问题

光线从A(-3,4)点出发,到x轴上的

B点后,被x轴反射到y轴上的C点,又被y
轴反射,这时反射线恰好过D(-1,6)点,求 直线BC的方程.

【解】如图所示,作点 A(-3,4)关于 x 轴的对称点 A′(-3, -4), 作点 D(- 1,6)关于 y 轴的对称点 D′(1,6),由物 理及平面几何知识知道 A′, C, B, D′ 四点共线. y+4 x+3 因为直线 A′D′的方程为 = , 6+4 1+3 即 5x-2y+7=0, 所以,直线 BC 的方程为 5x-2y+7 =0.

【名师点评】在解决入射光线与反射光线问

题时往往转化为对称问题,即“入射光线所
在直线和反射光线所在直线关于反射面所在 直线对称,也关于法线所在直线对称”.

变式训练 2.已知点A(-3,5)、B(2,15),试在直线l:3x-4y+4 =0上找一点P,使|PA|+|PB|最小,并求出最小值.
解:设点 A 关于直线 l 的对称点为 A′(x′,y′). ?y′-5 4 ? =-3, ?x′+3 由? y′+5 ? x′-3 ?3× 2 -4× 2 +4=0, ? 即 A′(3,-3).
?x′=3, ? 解得? ?y′=-3, ?

y+3 x-3 ∴A′B 所在直线的方程为 = , 15+3 2-3 即 18x+y-51=0.
?18x+y-51=0, ? 解方程组? ?3x-4y+4=0, ?

? 8 ?x= , 得? 3 ?y=3. ?

∴所求点 P

?8 ? 的坐标为? ,3?. ?3 ?

此 时 |PA| + |PB| = |PA′| + |PB| = |A′B| = (3-2)2+(-3-15)2=5 13,此即为所求的 最小值.

题型三 例3

圆的方程 已知圆C经过点A(1,3)、B(2,2),并且直线m:

3x-2y=0平分圆的面积.则圆C的方程为

____________________.
3-2 3 5 【解析】 由已知得, 线段 AB 的中点 E(2, ), AB= = 2 k 1-2 5 3 -1,故线段 AB 的中垂线方程为 y-2=x-2,即 x-y+1 =0. 因为圆 C 经过 A、B 两点,故圆心在线段 AB 的中垂线上. 又因为直线 m:3x-2y=0 平分圆的面积,所以直线 m 经过 圆心.

?x-y+1=0 ? 由? ?3x-2y=0 ?

?x=2 ? ,解得? ?y=3 ?

,即圆心的坐标为 r = |CB| =

C(2,3) , 而 圆 -2)2+(y-3)2=1.

的 半 径

(2-2)2+(2-3)2=1,所以圆 C 的方程为:(x

【答案】(x-2)2+(y-3)2=1

【题后点评】求圆的方程一般有两类方法:(1) 几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、圆与

圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程;
(2)代数法,即用待定系数法先设出圆的方程, 再由条件求得各系数.

变式训练 3.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切, 圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为( )

A.(x+1)2+(y-1)2=2
B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2

解析:选 B.由题意设圆 C 的方程为 (x-a)2+(y+a)2=r2(r>0). ?|a-(-a)| ? =r, ? 2 则? ?|a-(-a)-4| =r, ? ? 2
?a=1, ? 解得? ?r= 2, ?

∴圆 C 的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.

题型四 例4

直线与圆的位置关系 (本题满分12分)如图,平面直角坐标系xOy

中,△AOB和△COD为两等腰直角三角形,

A(-2,0),C(a,0)(a>0).设△AOB和△COD的外接
圆圆心分别为M,N.

(1)若⊙M 与直线 CD 相切,求直线 CD 的方程; (2)若直线 AB 截⊙N 所得弦长为 4, 求⊙N 的标准方程; (3)是否存在这样的⊙N, 使得⊙N 上有且只有三个点到 直线 AB 的距离为 2?若存在, 求此时⊙N 的标准方程; 若不存在,说明理由.

变式训练
【规范解答】(1)∵△AOB 为等腰直角三角形,A 点 坐标为(-2,0), ∴圆心 M 的坐标为(-1,1). ∴圆 M 方程为(x+1)2+(y-1)2=2, 又△ COD 为等腰直角三角形,C 点坐标为(a,0), ∴直线 CD 的方程为 x+y-a=0. |-a| 离 d= = 2,解得 a=2 或 a=-2(舍), 2 ∴直线 CD 的方程为 x+y-2=0. 4分 2分 ∵⊙M 与直线 CD 相切,∴圆心 M 到直线 CD 的距

(2)由已知得,直线 AB 的方程为 x-y+2=0, a a 圆心 N 的坐标为(2,2). a a |2-2+2| ∴圆心 N 到直线 AB 的距离为 = 2. 2 ∵直线 AB 截⊙N 所得的弦长为 4, a2 ∴22+( 2)2= 2 . 解得 a=2 3或 a=-2 3(舍), ∴⊙N 的标准方程为(x- 3)2+(y- 3)2=6.……8 分

(3)存在. 由(2)知, 圆心 N 到直线 AB 的距离恒为 2, AB⊥CD 且 始终成立, 2a ∴当且仅当圆 N 的半径 2 =2 2,即 a=4 时,⊙N 上有且只有三个点到直线 AB 的距离为 2. 此时⊙N 的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=8.… 12 分

【题后点评】研究直线与圆、圆与圆的位置关系 要紧紧抓住圆心到直线、圆心到圆心的距离与圆 的半径的大小关系这一关键点,在讨论有关直线 与圆的相交弦问题时,如能充分利用好平面几何 中的垂径定理,并在相应的直角三角形中计算, 往往能事半功倍.

变式训练 4.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若不过原点的直线l与圆C相切,且在x轴,y轴 上的截距相等,求直线l的方程; (2)从圆C外一点P(x,y)向圆引一条切线,切点为 M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求点P的轨

迹方程.

解:(1)由圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0,得圆心坐标 为 C(-1,2),半径 r= 2, ∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零, ∴设直线 l 的方程为 x+y=a(a≠0). ∵直线 l 与圆 C 相切, |-1+2-a| ∴ = 2, 2 ∴a=-1,或 a=3. 所以所求直线 l 的方程为 x+y+1=0 或 x+y-3=0.

(2)∵切线 PM 与半径 CM 垂直,设 P(x,y), 又∵|PM|2=|PC|2-|CM|2,|PM|=|PO|, ∴(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2, ∴2x-4y+3=0. 即所求点 P 的轨迹方程为 2x-4y+3=0.

方法突破 数形结合 例

已 知

x + y + 1 = 0 , 则 ) 2 3 D. 3

(x-1)2+(y-1)2的最小值是( A.3 2 3 2 B. 2 C.2 3

【解析】 点(1,1)到 x+y+1=0 的距离即为所 |Ax+By+C| 3 2 求.由距离公式 d= 2 2 可得 d= 2 . A +B

【答案】

B

【 题 后 归 纳 】 本 题 首 先 把 (x-1) 2+(y-1)2转化为直线 x+y+1= 0 上的动点(x, y)与定点(1,1)的距离, 求最小值, 就是求点到直线的距离.

高考动态聚焦
考情分析 从近几年高考来看,本讲高考命题具有以下特点: 1.直线与方程是解析几何的基础知识,在每年的高考中 均有涉及,它是解析几何综合题的纽带.直接命题时通常 考查基本概念(倾斜角、斜率、平行与垂直、截距的变化范 围等)的有关问题. 2.圆是解析几何的重要内容,曲线模型相对独立,命题 形式多样,常以选择题或填空题的形式考查圆的基本构成 要素、圆的方程以及直线与圆的位置关系、圆与圆的位置 关系,难度中等偏易,对通性通法和基础知识的熟练掌握 是解题的关键.

真题聚焦 1.(2010年高考安徽卷)过点(1,0)且与直线x-2y- 2=0平行的直线方程是( )

A.x-2y-1=0
C.2x+y-2=0

B.x-2y+1=0
D.x+2y-1=0

解析:选 A.∵所求直线与直线 x-2y-2=0 平行,∴ 1 所求直线斜率 k=2,排除 C、D.又直线过点(1,0),排 除 B,故选 A.

2.(2010年高考天津卷)已知圆C的圆心是直线x-y +1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相

切,则圆C的方程为________________.
解析:直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点为(-1,0), 即圆 C 的圆心坐标为(-1,0).又圆 C 与直线 x+y |-1+0+3| +3=0 相切, ∴圆 C 的半径为 r= = 2, 2 ∴圆 C 的方程为(x+1)2+y2=2.

答案:(x+1)2+y2=2

3. (2010 年高考山东卷)已知圆 C 过点(1,0), 且圆心在 x 轴的正半轴上.直线 l:y=x-1 被圆 C 所截得的弦 长为 2 2,则过圆心且与直线 l 垂直的直线的方程为 ____________________.

解析:设圆心坐标为(x0,0)(x0>0),由于圆过点(1,0), |x0-1| 则半径 r=|x0-1|.圆心到直线 l 的距离为 d= . 2 |x0-1| 2 由弦长为 2 2可知( ) =|x0-1|2-2,整理得(x0 2 -1)2=4,

∴x0-1=±2,
∴x0=3或x0=-1(舍去). 因此圆心为(3,0),由此可求得过圆心且与直 线y=x-1垂直的直线方程为y=-(x-3), 即x+y-3=0.

答案:x+y-3=0

4.(2010年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,已

知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c
=0的距离为1,则实数c的取值范围是__________.

解析:由题设得,若圆上有四个点到直线的距离为 1, 则需圆心(0,0)到直线的距离 d 满足 0≤d<1. |c| |c| ∵d= 2 2=13, 12 +(-5) ∴0≤|c|<13, 即 c∈(-13,13).
答案:(-13,13)


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