宁夏回族自治区银川一中2015-2016学年高二数学下学期寒假挑战赛试题 理


银川一中高二年级寒假学生自主学习挑战赛 数 学 试 题(理科)
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.在△ABC 中, a ? 3 , b ? 1, c ? 2 ,则 A 等于( A.30? B.45? C.60? D.75? ) )

2.已知等产左数列{an}中,a5=13,S5=35,则公差 d=( A.-2 B.-1 C.1 D.3

3.设数列{an}满足:2an=an+1(an≠0)(n∈N*),且前 n 项和为 Sn,则 A.
15 2

S4 的值为( a2

)

B.

15 4

C.4

D.2

?x ? 2y ? 2 ? 4.若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为( ?x ? 4 ?

)

A.2 5.若直线 A.2

B.5

C.8

D.10 )

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 过点(1,1),则 a+b 的最小值为( a b

B.3

C.4

D.5 )

6. “n i s ? ?o s c ? ”是“ cos 2? ? 0 ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 7.已知椭圆

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两顶点为 A(a,0),B(0,b),且左焦点为 F,△FAB 是以角 B 为直 a 2 b2

角的直角三角形,则椭圆离心率 e 为( A.
3 ?1 2

) D.
3 ?1 4

B.

5 ?1 2

C.

1? 5 4

8.已知双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点为(2,0),且双曲线的渐近线与圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 2 a b

相切,则双曲线的方程为( A.
x2 y2 ? ?1 9 13

) C.
x2 ? y2 ? 1 3

B.

x2 y2 ? ?1 13 9

D. x 2 ?

y2 ?1 3

BC ? ? FB , 9. 过抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、 B 两点, 交抛物线准线于 C, 若|AF|=6,

则 ? 的值为( A.
3 4

)
3 2

B.

C. 3

D.3

1

10.已知 a ? (2,?1,3), b ? (?1,4,?2), c ? (7,5, ? ) ,若 a , b, c 共面,则实数 ? 等于( A.
62 7

)

B.

63 7

C.

60 7

D.

65 7

11 . 已 知 某 生 产 厂 家 的 年 利 润 y( 单 位 : 万 元 ) 与 年 产 量 x( 单 位 : 万 件 ) 的 函 数 关 系 式 为
y?? 1 3 x ? 81x ? 234 ,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( 3

)

A.13 万件

B.11 万件

C.9 万件

D.7 万件 )

12.已知函数 f ( x) ? ax 3 ? 3 x 2 ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取值范围是( A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)

二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分) 13.已知函数 f ( x ) 的对应关系如下表所示,数列{an}满足
x
f ( x)

1 3

2 2

3 1

a1=3,an+1= f ( a n ) ,则 a2015=_______________。

14.已知函数 f ( x ) ? ax 2 ? bx ,且 1 ? f ( ?1) ? 2,2 ? f (1) ? 4 ,则 f(-2)的取值范围是________. 15.已知直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与抛物线 y 2 ? 8 x 相交于 A、B 两点,F 为抛物线焦点, 若|FA|=2|FB|,则 k 的值为___________. 16.已知函数 y ? f ( x) ? x 3 ? 3ax 2 ? 3bx ? c 在 x=2 处有极值,其图象有在 x=1 处的切线平行于直线
6 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,则 f ( x ) 极大值与极小值之差为__________.

三、解答题(共 70 分) 17.(本小题满分 10 分) 已知 c ? 0 ,且 c ? 1 ,设 p : 函数 y ? c x 在 R 上单调递减;q:函数 f ( x ) ? x 2 ? 2cx ? 1 在 ? ,? ?? 上为增函数,若“ p ? q ”为假, “ p ? q ”为真,求实数 C 的取值范围。
? ?1 ?2 ?

18.(本小题满分 12 分)

2

在 ?ABC 中,内角 A, B , C 所对边分别为 a , b , c ,已知 ?ABC 面积为 3 15 , b ? c ? 2 ,
cos A ? ? 1 . 4

(1)求 a 和 sinC 的值 (2)求 cos(2 A ?

?
6

) 的值

19.(本小题满分 12 分) 设数列 ?a n ?( n ? 1,2,3, ?) 的前 n 项和 S n 满足 S n ? 2a n ? a 1 ,且 a 1 , a 2 ? 1, a 3 成等差数列 (1)求数列 ?a n ?通项公式; (2)设数列 ?
? 1 ? ? 前 n 项和为 Tn ,求 Tn ? an ?

20.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,已知 PA ? 平面 ABCD ,且 四边形 ABCD 为直角梯形, ?ABC ? ?BAD ?
PA ? AD ? 2, AB ? BC ? 1

?
2

, PA ? AD ? 2 ,

(1)求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值; (2)点 Q 是线段 BP 上的动点,当直线 CQ 与 DP 所成的角最 小时,求线段 BQ 的长

21.(本小题满分 12 分)
4 已知函数 f ( x ) ? ax 3 ? x 2 ?a ? R? 在 x ? ? 处取得极值 3

(1)确定 a 的值; (2)若 g( x) ? f ( x )e x ,讨论 g? x ? 的单调性

3

22.(本小题满分 12 分) 已知椭圆
y ? mx ?

x2 ? y 2 ? 1 上两个不同的点 A, B 关于直线 2

1 对称 2

(1)求实数 m 的取值范围 (2)求 ?AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)

4


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