12.福建省厦门市2013届高三3月质量检查理科数学试题(word版)


厦门市 2013 届高三质量检查 数学(理科)试卷
第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分) 一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题所给的四个答案中有且只 有一个答案是正确的. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x x ? 3 , B ? x x ? 2 ? 0 ,则 A ? CU B 等于(
A. (??,3] B. (??,3) C. [2,3) D. (?3, 2]

?

?

?

?



2. 双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的渐近线方程为( 4
B.y ? ?4 x



A.y ? ?2 x

C.y ? ?

1 x 2

D.y ? ?

1 x 4

3. 某雷达测速区规定:凡车速大于或等于 80 km/h 的汽车视为“超速”, 并将受到处罚. 如图是某路段的一个检测点对 200 辆汽车的车速进行检 测所得结果的频率分布直方图, 则从图中可以看出被处罚的汽车大约有 ( ) A.20 辆
a b

B.40 辆

C.60 辆 )

D.80 辆

4. “ e ? e ”是 log 2 a ? log 2 b ”的(

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

开始

i=0
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
输入正整数n n为奇数?



5.函数 f ( x) ? x ? sin x ( x ? R) ( A.是偶函数且为减函数 C.是奇函数且为减函数





n = 3n+1
B. 是偶函数且为增函数 D. 是奇函数且为增函数


n = n/2

i=i+1 n = 1?


? y ? x, ? 2 6.若不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域为 M ,不等式 y ? x 表示的平面 ?x ? 1 ?

输出i 结束

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区域为 N ,现随机向区域 M 内投掷一粒豆子,则豆子落在区域 N 内的概率为( A.



1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3


7.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局则比赛结束, 2 假定甲每局比赛获胜的概率均为 ,则甲以 3∶1 的比分获胜的概率为( 3 A. 8 27 B. 64 81 C. 4 9 D. 8 9 )

8. 在右侧程序框图中,输入 n ? 5 ,按程序运行后输出的结果是( A.3 B.4
3

C .5
2

D.6 )

9.若函数 f ( x) ? x ? 3x 在 (a, 6 ? a ) 上有最小值,则实数 a 的取值范围是( A. ( ? 5,1) B. [ ? 5,1)
?

C. ? ?2,1?

D. (?2,1)

10. ?ABC 中, BC ? 2, A ? 45 , B 为锐角,点 O 是 ?ABC 外接圆的圆心,则 OA ? BC 的 取值范围是( ) B. (?2 2, 2] C. [?2 2, 2 2] D. (?2, 2)

??? ? ??? ?

A. (?2, 2 2]

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分。 11.若 (a ? i) 为纯虚数( i 为虚数单位) ,则实数 a =
2

.

12.已知 sin(

π 3 ? x) ? , 则 cos 2x = 2 5

.

13.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,俯视图 是半圆 。现有一只蚂蚁从点 A 出发沿该几何体的侧面环绕一周回到 .. A 点,则蚂蚁所经过路程的最小值为________. 14.在含有 3 件次品的 10 件产品中,取出 n(n ? 10, n ? N ) 件产品,
*
A 2 正视图 B 侧视图

记 ? n 表示取出的次品数,算得如下一组期望值 E?n : 当 n=1 时, E?1 ? 0 ?
1 1 0 C30C7 C3 C7 3 ? 1 ? ? ; 1 1 C10 C10 10

俯视图

2 1 1 0 C30C7 C3 C7 C32C7 6 ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ; 当 n=2 时, E? 2 ? 0 ? 2 C10 C10 C10 10

当 n=3 时, E?3 ? 0 ? ……
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3 1 2 1 3 0 C30C7 C3 C7 C32C7 C3 C7 9 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? ; 3 3 3 3 C10 C10 C10 C10 10

观察以上结果,可以推测:若在含有 M 件次品的 N 件产品中,取出
* 件产品,记 ξ n 表示取出的次品数,则 Eξn = n( n? N, n ? N )



15.某同学在研究函数 f ( x) ?

x 2 ? 1 ? x 2 ? 6 x ? 10 的性质时,受到两点间距离公式的
( x ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? ( x ? 3) 2 ? (0 ? 1) 2 , 则 f ( x) 表示
. (填上所有正
y A(0,1)

启发, 将 f ( x) 变形为 f ( x) ?

,下列关于函数 f ( x) 的描述正确的是 | PA | ? | PB | (如图) 确结论的序号) ① f ( x) 的图象是中心对称图形; ③函数 f ( x) 的值域为 [ 13, ??) ;

② f ( x) 的图象是轴对称图形;
O P x B(3,-1)

④方程 f [ f ( x)] ? 1 ? 10 有两个解.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?
y P

3 3 sin ? x ? cos ? x ( ? ? 0 )的周期为 4。 2 2
O x

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)将 f ( x) 的图象沿 x 轴向右平移

2 个单位得到函数 g ( x) 的图象, 3
P

Q

,求 ?OQP 的大小。 P 、 Q 分别为函数 g ( x) 图象的最高点和最低点(如图) 17. (本小题满分 13 分) 如图,PA,QC 都与正方形 ABCD 所在平面垂直,AB=PA=2QC=2,AC∩BD=O (Ⅰ)求证:OP⊥平面 QBD; (Ⅱ)求二面角 P-BQ-D 平面角的余弦值;

Q A D O B C

PE (Ⅲ)过点 C 与平面 PBQ 平行的平面交 PD 于点 E,求 的值. ED
18. (本小题满分 13 分)

某城市 2002 年有人口 200 万,该年医疗费用投入 10 亿元。此后该城市每年新增人口 10 万,医疗费用投入每年新增 x 亿元。已知 2012 年该城市医疗费用人均投入 1000 元。 (Ⅰ)求 x 的值; (Ⅱ)预计该城市从 2013 年起,每年人口增长率为 10%。为加大医疗改革力度,要求
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将来 10 年医疗费用总投入 达到 690 亿元, 若医疗费用人均投入每年新增 y 元, 求 ...

y 的值。
(参考数据: 1.1 ? 2.85 )
11

19. (本小题满分 13 分) 已 知 函 数 f ( x) ? x? al n x 在 x ? 1 处 的 切 线 l 与 直 线 x ? 2y ? 0 垂 直 , 函 数

g ( x) ? f ( x)?

1 2 x ? b. x 2

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) 存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ( x) 的两个极值点,若 b ? 值. 20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 :

7 ,求 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最大 2

x2 ? y2 ? 1 . 2
2 2 2

(Ⅰ)我们知道圆具有性质:若 E 为圆 O: x ? y ? r (r ? 0) 的弦 AB 的中点,则直 线 AB 的斜率 k AB 与直线 OE 的斜率 kOE 的乘积 k AB ? kOE 为定值。类比圆的这个性 质,写出椭圆 C1 的类似性质,并加以证明; (Ⅱ)如图(1) ,点 B 为 C1 在第一象限中的任意一点,过 B 作 C1 的切线 l , l 分别与 x 轴和 y 轴的正半轴交于 C,D 两点,求三角形 OCD 面积的最小值; (Ⅲ)如图(2) ,过椭圆 C2 :

x2 y 2 ? ? 1 上任意一点 P 作 C1 的两条切线 PM 和 PN, 8 2

切点分别为 M, N.当点 P 在椭圆 C2 上运动时, 是否存在定圆恒与直线 MN 相切? 若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.
y
D B

y P M
C

N
O

O

x

x

图(1)

图(2)

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21.本题设有(1) (2) (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果 多做,则按所做的前两题计分. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

?1 1? ? , B ? ?1 2 ? . 已知矩阵 A ? ? ? ? ? 2 3? 2 3? ? ? ?
(Ⅰ)求矩阵 A 的逆矩阵 A?1 ; (Ⅱ)求直线 x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 A?1 B 对应的线性变换作用下所得曲线的方程. (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程是 ? (Ⅰ)将 C 1 的方程化为普通方程; (Ⅱ)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . 设曲线 C 2 的极坐标方程是

? x ? 2 ? 2 cos θ , ( ? 为参数). ? y ? 2sin θ

θ?

π ( ρ ? R) , 3
求曲线 C 1 与 C 2 交点的极坐标 . ...

(3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知正数 x , y , z 满足 x ? y ? z ? 6 .
2 2 2

(Ⅰ)求 x ? 2 y ? z 的最大值; (Ⅱ)若不等式 a ? 1 ? 2a ? x ? 2 y ? z 对满足条件的 x , y , z 恒成立,求实数 a 的 取值范围.

厦门市 2013 届高三质量检查 数学(理科)评分标准 一.选择题;

BCABD

BACCA
0

10.分析 1:BC=2, ?A ? 45 ,所以 2 R ?

a ? R ? 2 ,如图建系, sin A

B(?1,0), C (1,0) O(0,1) , 求 得 圆 O : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 , 设 A( x, y ), 则
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y

??? ? ??? ? OA ? BC ? ?
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 分析 2: OA ? BC ?| OA | ? | BC | cos ? OA, BC ?? 4cos ? OA, BC ? …
分 析 3

A1

O

A

B

D

C :

x

??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ???? ??? ? 1 1 ???? ??? OA ? BC ? (OD ? DA) ? BC ? DA ? BC ? ? ( AC ? AB) ? ( AC ? AB) ? (c 2 ? b 2 ) 2 2
又 所

b c 2 , ? ? sin B sin C sin 450

2

1 2 1 1 (c ? b ) ? [(2 2 sin C ) ? (2 2 sin B) ] = (c 2 ? b2 ) ? 4(sin 2 C ? sin 2 B) ? ... 2 2 2
二.填空题: 15.②③ 15.分析:如图设 P( x1 ,0), Q( x2 ,0) ,当 P,Q 关于 ( ,0) 对称时,即 11. ?1 12. ?

7 25

13.

2 ? 6 (或 2 2 ? 3 )

14.

mn N

3 2

x1 ? x2 3 ? 2 2
A

y

3 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以 f(x)关于 x ? 对称. 2
④设 f ( x) ? t ,则 f (t ) ? 1 ? 10 ,观察出 t1 ? 0 ,则 t2 ? 3 ,由③知无解. 三.解答题:

Q O P M B x

16.本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图像周期、对称、平移等基本性质,考 查运用有关勾股定理、 余弦定理求解三角形的能力, 考查了运用数形结合的数学思想解 决问题的能力.满分 13 分. 解:(1) f ( x) ?

3 3 sin ? x ? cos ? x 2 2
----------------------------------------------1 分

1 3 ? 3( sin ? x ? cos ? x) 2 2

? 3(sin ? x cos

?

? cos ? x sin ) ? 3 sin(? x ? ) --------------------3 分 3 3 3 2? ? = 4 2
------------------------------------5 分 ------------------6 分

?

?

因为?=4,? ? o, 所以? =
所以f ( x) ? 3 sin( x ? ) 2 3

?

?

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(2)将 f ( x) 的图像沿 x 轴向右平移

2 个单位得到函数 3

g ( x) ? 3 sin

?
2

x ---------------------------7 分

因为 P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点, 所以 P(1, 3), Q(3, ? 3) --------------------------------------------------------------------------9 分 所以 OP ? 2, PQ ? 4, ----------------------------------------------------------------------------10 分

OQ ? 12,? cos? ?
所以 ? ?

OQ 2 ? PQ 2 ? OP 2 3 ---------------------------------------------12 分 ? 2OQ ? QP 2

?
6

---------------------------------------------------------------------------------------13 分

法 2: 可以得?POx ? 60o , ?P ? 60o , ?QOx ? 30o 所以? =30o ??? ? ???? QP ? QO (?2, 2 3) ? (?3, 3) 3 ? 法 3:利用数量积公式 cos ? ? ??? , 所以? =30o ? ???? ? 2 4 ? 12 ? 9 ? 3 QP ? QO 17. 本题主要考查空间直线与平面垂直的判断、线面平行及二面角的判断及计算、空间向 量应用的基本方法, 考查空间想象、计算、推理论证等能力.满分 13 分. 解: (Ⅰ)连接 OQ,由题知 PA∥QC,∴P、A、Q、C 共面 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A, ∴BD⊥平面 PACQ, ∴BD⊥OP. --------------------------------------1 分 由题中数据得 PA=2,AO=OC= 2 ,OP= 6 ,QC=1,OQ= 3 ∴△ PAO∽ △ OCQ,∴∠POA=∠OQC, 又∵∠POA+∠OPA=90° ∴∠POA+∠COQ=90° ∴OP⊥OQ ( 或 计 算 PQ=3 , 由 勾 股 定 理 得 出 ∠POQ=90°, OP⊥OQ ) ------------------3 分 ∵OP⊥BD, OP⊥OQ,BD∩OQ=O,∴OP⊥平面 QBD--------------------------4 分 (Ⅱ)如图,以 A 为原点,分别以 AB,AD,AP 所在直线为 X,Y,Z 轴建立直角坐标系, ∴各点坐标分别为 A(0,0,0) , B(2,0,0) , C (2,2,0) , D (0,2,0) ,P (0,0,2) ,Q(2,2,1),O(1,1,0)------------------5 分 ∴ BP =(-2,0,2), BQ =(0,2,1),设平面 PBQ 的法向量 n ? ( x, y, z )

? ??? ? ? n ? BP ? ?2 x ? 2 z ? 0 ? x?z ? ∴ ? ? ??? ,得 ? , ? 2 y ? ? z ? n ? BQ ? 2 y ? z ? 0 ? ?
不妨设 y ? ?1 ,
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∴ n ? (2,?1,2) -------------------------------------------------------------------------------------------------6分 由(Ⅰ)知平面 BDQ 的法向量 OP ? (?1,?1,2) , ---------------------------------------------------------------------------7 分

??? ? ? OP ? n ?2 ? 1 ? 4 6 , cos ? OP , n >= ??? ? ? ? ? 6 6 ?3 OP ? n
∴二面角 P-BQ-D 平面角的余弦值为

6 .-------------------------------------------------------------------------------------9 分 6
??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 (Ⅲ)设 PE ? ? ED ,∴ PD ? PE ? ED ? (1 ? ? ) ED ? ? 0, 2, ?2 ? , ED ? ? 0,2, ?2? 1? ?

??? ? ??? ? ???? ? ?2 2 ? CE ? CD ? DE ? ? ?2, , ? ? 1? ? 1? ? ?
-------------------------------------------------------------------------------------------11 分 ??? ? ∵CE∥平面 PBQ,∴ CE 与平面 PBQ 的法向量 n ? (2,?1,2) 垂直。



? ??? ? 2 4 2 ? 4? n ? CE ? ?4 ? ? ? ? 0 ,------------------------------------------------12 分 1? ? 1? ? 1? ?
∴? ? ∴

1 . 2

PE 1 ? --------------------------------------------------------------------------------------------13 分 ED 2
(方法二)在平面 PAD 中,分别过 D 点、P 点作直线 PA、AD 的平行线相交于点 M, 连结 MC 交直线 DQ 与点 N,在平面 PQD 中过点 N 作直线 NE∥PQ 交 PQ 于点 E,

----------------------------11 分 由题可知 CN∥PB,NE∥PQ,CN∩NE=N ∴平面 CNE∥平面 PBQ,∴CE∥平面 PBQ----------------------------------12 分 ∵CQ=1,MD=PA=2,∴ ∵NE∥PQ,

QN 1 ? ND 2

PE 1 ? -------------------------------------------------13 分 ED 2

18.本题主要考查学生审题阅读、理解分析的能力,考查等差等比数列 的基本知识,考查数学建模及其应用与计算的能力,考查运用数学知识分析问题和

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解决实际问题问题的能力.满分 13 分. 解: (Ⅰ)依题意,从 2002 年起,该城市的人口数组成一个等差数列, 到 2012 年 , n ? 11 , 该 城 市 的 人 口 数 为 200 ? (11 ? 1) ?10 ? 300 万 人 , --------------------------------2 分 故 2012 年医疗费用投入为 300 ?10 ?1000 ? 3 ?10 元,即为 30 亿元,
4 9

由 于 从 2002 年 到 2012 年 医 疗 费 用 投 入 也 组 成 一 个 等 差 数 列 , ------------------------------------------4 分 所以 10 ? (11 ? 1) x ? 30 ,解得 x ? 2 ,---------------------------------------------5 分 (Ⅱ)依题意,从 2013 年起(记 2013 年为第一年) , 该城市的人口数组成一个等比数列 {an } , 其中 a1 ? 300 ? (1 ? 10%) ? 300 ?1.1 ,公比 q ? 1.1 ,

an ? 300 ?1.1n ----------------------------------------6 分
医疗费用人均投入组成一个等差数列 {bn } , 其中 b1 ? 1000 ? y ,公差为 y , bn ? 1000 ? ny ;----------------------------7 分 于是,从 2013 年起,将来 10 医疗费用总投入为:

S10 ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? a10b10 ,--------------------------------------------8 分
S10 ? 300(1000 ? y) ?1.1 ? 300(1000 ? 2 y) ?1.12 ? ? ? 300(1000 ? 10 y) ?1.110


1.1S10 ? 300(1000 ? y) ?1.12 ? 300(1000 ? 2 y) ?1.13 ? ? ? 300(1000 ? 10 y) ?1.111
, 相减得:?0.1S10 ? 300[1100 ? 1.1 y ? 1.1 y ? ? ? 1.1 y ? (1000 ? 10 y) ?1.1 ] ,
2 10 11

?0.1S10 ? 300[1100 ?

1.1 ? 1.111 y ? (1000 ? 10 y) ?1.111 ] ? ?300(11y ? 1750) , 1 ? 1.1

所以 Sn ? 3000(11y ? 1750) (万元) ,--------------------------------------------12 分 由题设, 3000(11y ? 1750) ? 6900000 ,解得 y ? 50 。---------------------13 分

19. 本题主要考查函数的导数的几何意义,导数知识的应用等基础知识,函数的单调性、 考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、数学建 模应用解决问题、分类与整合思想。满分 13 分. 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? x ? a ln x , f ?( x) ? 1 ?

a .-------------------------------1 分 x
x ?1

∵ l 与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,∴ k ? y?
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? 1? a ? 2 ,

∴ a ? 1 .---------------------------------3 分 ( ∴ g ?( x) ? Ⅱ ) ∵

1 g ( x) ? ln x ? x 2 ? (b ? 1) x 2



1 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 .---------------------------4 分 ? x ? (b ? 1) ? x x
由题知 g ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上有解,

∵ x ? 0 ,----------------------------------------------------------------5 分 设 u ( x) ? x ? (b ? 1) x ? 1 ,则 u (0) ? 1 ? 0 ∴只须
2

?b ?1 ?0 ? ------------------------------7 分 ? 2 ?? ? (b ? 1) 2 ? 4 ? 0 ?

? b ? 1     ?? ? b ? 3 ,故 b 的取值范围为 ?b ? 3或b ? ?1

(3, ??) .-------------------------------------------------8 分
( Ⅲ ) ∵ g ?( x) ?

1 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 , ∴ 令 g ?( x) ? 0 , 得 : ? x ? (b ? 1) ? x x

x2 ? ( b ? 1 ) x ? 1 ? 0
∴ x1 ? x2 ? b ? 1, x1 x2 ? 1 , 法 1:∵ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? [ln x1 ?

1 2 1 x1 ? (b ? 1) x1 ] ? [ln x2 ? x2 2 ? (b ? 1) x2 ] 2 2

? ln

x1 1 2 x 1 ? ( x1 ? x2 2 ) ? (b ? 1)( x1 ? x2 ) ? ln 1 ? ( x12 ? x2 2 ) ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x2 2 x2 2
? ln x1 1 2 x 1 x 2 ? x2 2 x 1 x x ? ( x1 ? x2 2 ) ? ln 1 ? ( 1 ) ? ln 1 ? ( 1 ? 2 ) --x2 2 x2 2 x1 x2 x2 2 x2 x1

-------------------------10 分 ∵ 0 ? x1 ? x2 ,∴设 t ?

x1 (0 ? t ? 1) ,令 x2

1 1 h(t ) ? ln t ? (t ? ),(0 ? t ? 1) -------------------------11 分 2 t

1 1 1 (t ? 1)2 则 h?(t ) ? ? (1 ? 2 ) ? ? ? 0 ,∴ h(t ) 在 (0,1) 上单调递减.----------2 分 t 2 t 2t 2
又∵ b ?

7 25 ( x ? x2 )2 1 25 2 ?t ? ?2? ,∴ (b ? 1) ? ,即 ( x1 ? x2 ) 2 ? 1 x1 x2 t 4 2 4

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∵ 0 ? t ? 1 ,∴ 4t 2 ? 17t ? 4 ? 0 ,∴ 0 ? t ? 值为

1 15 1 , h(t ) ? h( ) ? ? 2ln 2 ,故所求最小 4 8 4

15 ? 2ln 2 --13 分 8
法 2:同上得

g ( x1 ) ? g ( x 2 ) ?

x 1? b ( x1 ? x 2 ) ? ln 1 2 x2

?
?

b ?1 b ?1 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 ? ln x2 ? (b ? 1) 2 ? 4 ? 2 ln x2 2 2
(b ? 1) ? (b ? 1) 2 ? 4 b ?1 (b ? 1) 2 ? 4 ? 2 ln 2 2

?

b ?1 (b ? 1) 2 ? 4 ? 2 ln[(b ? 1) ? (b ? 1) 2 ? 4 ] ? 2 ln 2 ------------10 分 2 5 ) ,则 2

令 t ? b ? 1(t ?

h(t ) ?

t 2 t ? 4 ? 2ln(t ? t 2 ? 4) ? 2ln 2 ----------------------------------------11 分 2
h?(t ) ? 1 2 t2 2 t2 t ?4 ? ? ? ≥0--------------------12 分 2 2 t2 ? 4 t2 ? 4 t2 ? 4
5 2 5 15 时 , h(t ) ? ? 2ln 2. 故 所 求 最 小 值 为 8 2

h(t ) 在 ( , ??) 上 为 增 函 数 . 当 t ?
15 ? 2ln 2 ---------------------13 分 8

20.本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识,考查类比推理论证能力、运算求解能力,考 查一般到特殊的思想方法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。考查数 学综合分析问题的能力以及创新能力。满分 14 分. 解: (Ⅰ)若 A,B 为椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 上相异的两点, E ( x0 , y0 ) 为 A,B 中点,当直线 2
y
D B

AB 的斜率 k AB 与直线 OP 的斜率 kOP 的乘积 kOP ? k AB 必为定值;------------1 分

? x12 2 ? ? y1 ? 1 ? ?(1) 2 证 1:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? ? 2 ? x2 ? y 2 ? 1 ? ?(2) 2 ? ? 2
(2)-(1)得:

O

C

x

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? 0 ,-----------2 分 2

?仅考虑斜率存在的情况?:
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1 x0 ? 2 y0 ? k AB ? 0 ? kOE ? k AB ? ? ----------------------------------------4 分 2
证 2:设 AB: y ? kx ? b 与椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 联立得: 2

(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kbx ? 2b2 ? 2 ? 0

x1 ? x2 ? ?
所以

4kb ,-------------------------------------------------------2 分 1 ? 2k 2

x0 ? ?

y 2kb b 1 1 ? y0 ? ? kOE ? 0 ? ? ? kOE ? k AB ? ? ----------4 分 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k x0 2k 2

(Ⅱ) (ⅰ)当点 A 无限趋近于点 B 时,割线 AB 的斜率就等于椭圆上的 B 的切线的斜 率 k , 即 k? kOB ? ?

1 x ,k ? ? 2 2 y2 2
x2 x ( x ? x2 ) ? 2 x ? y2 y ? 1 ----------------6 分 2 y2 2

所以点 B 处的切线 QB: y ? y2 ? ? 令 x ? 0 , yD ?

1 2 2 ,令 y ? 0, xC ? ,所以 S ?OCD ? -----------------8 分 y2 x2 x2 y2
2

x 2 又点 B 在椭圆的第一象限上,所以 x2 ? 0, y2 ? 0, 2 ? y2 ? 1 2
x x 2 2 ?1 ? 2 ? y2 ? 2 2 y2 ? 2 x2 y2 2 2
2 2

? S ?OCD

x 2 2 2 ? ? ? 2 ,当且仅当 2 ? y2 ? x2 ? 2 y2 ? 1 2 x2 y 2 2

2

所以当 B (1, 扣 1 分)

2 ) 时,三角形 OCD 的面积的最小值为 2 -------10 分(没写等号成立 2

(ⅱ)设 P(m, n) ,由(ⅰ)知点 M ( x3 , y3 ) 处的切线为: 又 PM 过 点 P( m, n) , 所 以

x3 x ? y3 y ? 1 2

x3 m ? y3n ? 1 , 又 可 理 解 为 点 M ( x3 , y3 ) 在 直 线 2

x m ? yn ? 1 上 2
同理点 N ( x4 , y4 ) 在直线 --------------------------12 分
第 12 页 共 15 页

m x m ? yn ? 1 上,所以直线 MN 的方程为: x ? ny ? 1 2 2

所以原点 O 到直线 MN 的距离 d ?

1 m2 ? n2 4

?

2 ,----------13 分 2
M

y P N
O

所以直线 MN 始终与圆 x 2 ? y 2 ?

1 相切. 2

------------------------14 分

x

21. (1)选修 4-2:矩阵与变换 本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法等基础知识,考查书写表达能力、运算求解能力。 满分 7 分 解 : ( Ⅰ )
? det A ? 1 1 2 3 ?1? 0



?





A



逆. ---------------------------------------------------------------------1 分 且

A?1 ?

? 3 ? 1? ? ? ? ? ? 2 1 ? ? ? ?

-------------------------------------------------------------------------------------------3 分 ( Ⅱ )

A ?1 B

=

? 3 ? 1? ? ? ? ?? 2 1 ? ? ? ?

?1 2 ? ? ? ?2 3 ? ? ?

=

?1 3 ? ? ? ? ? ? 0 1? ? ?

---------------------------------------------------------------------------4 分 设直线 x ? y ? 1 ? 0 上任意一点 P( x, y ) 在矩阵 A B 对应的线性变换作用下得到
?1

P' ( x' , y ' ) ,


?1 ? ? ?0 ?

3? ? ? 1? ?

?x? ? ? ? ? ? y? ? ?

=

? x? ? ? ? ? ? ? y?? ? ?

----------------------------------------------------------------------------------------------------5 分 即 :

? x? ? x ? 3 y ? ? y? ? y







? x ? x? ? 3 y ? ------------------------------------------------------------------------------6 分 ? ? y ? y?
代 入 x ? y ? 1 ? 0 得 x? ? 2 y ? ? 1 ? 0 -------------------------------------7 分 (2)选修 4-4:坐标系与参数方程 本小题主要考查圆的参数方程、直线的极坐标方程、直线与圆的位置关系、极直互化 即 x ? 2y ?1 ? 0 为 所 求 的 曲 线 方 程 。

第 13 页 共 15 页

等基础知识,考查运算求解能力,数形结合思想。满分 7 分 解 : ( Ⅰ ) C
1















( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ---------------------------------------------------------------------------3 分
(Ⅱ)法一:如图,设圆心为 A,?原点 O 在圆上, 设 C 1 与 C 2 相交于 O、B,取线段 OB 中点 C,

y
B C O A

? ?直线 OB 倾斜角为 ,OA=2,-----------------------------------------------4 分 3
?OC=1 从而 OB=2,-------------------------------------------------------------5 分

x

? ?O、B 的极坐标分别为 O(0,0), B(2, ). ------------------------------------7 分 3
法二:C 2 的直角坐标方程为: y ?

3 x --------------------------------------4 分
2 2

代 入 圆 的 普 通 方 程 后 , 得 ( x ? 2) ? ( 3 x) ? 4 , 即 : x( x ? 1) ? 0 , 得 :

x1 ? 0, x2 ? 1

?

O



B

















O(0,0), B(1, 3 ). ---------------------------------------------------------------------5 分
从 而 O 、 B 的 极 坐 标 分 别 为

O(0,0), B(2, ). ---------------------------------------------------------------------7 分 3
(3)选修 4-5:不等式选讲 本小题主要考查柯西不等式、绝对值的意义、绝对值不等式、恒成立问题等基础知识, 考查运算求解能力,分类讨论思想。满分 7 分 解 :( Ⅰ ) 由 柯 西 不 等 式 , ( x ? y ? z )(1 ? 2 ? 1 ) ? ( x ? 2 y ? z )
2 2 2 2 2 2 2

?

----------------------------------------------1 分 即有 ( x ? 2 y ? z ) ? 36 ,
2

又 x 、 y 、 z 是 正 数 , ? x ? 2y ? z ? 6 即 x ? 2y ? z 的 最 大 值 为 6 , -------------------------------------2 分 当 且 仅 当

x y z ? ? , 即 当 x ? z ? 1, y ? 2 时 取 得 最 大 值 。 1 2 1
a ? 1 ? 2a ? ( x ? 2 y ? z ) max ? 6

-------------------------------------------------3 分 ( Ⅱ ) 由 题 意 及 ( Ⅰ ) 得 , ------------------------------------------------------4 分 即: ---------------------------------------------------------------------6 分

第 14 页 共 15 页

解得: a 无解 或

a??

7 3

综上,实数 a 的取值范围为 a ? ?

7 3

------------------------------------------7 分

第 15 页 共 15 页


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