一元二次方程的根的分布


一元二次方程根的分布
考虑:a>0的一元二次方程,当二次项 系数小于0时,先化为正。 强调:把一元二次方程化为标准形式: ax2+bx+c=0 (a>0)

情形1 : 方程根的零分布

情形2: 方程根的k分布
结论1? 一元二次方程ax2 ? bx ? c ? 0(a〉 0)有两个大于 k的根.
?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ? b x1 ? k ? ? ?k ? ? ? ? 2a x2 ? k ? f ( k ) ? 0 ? ?
y
a?0 ??0 x2 b ? ?k 2a a?0 ??0 x2 O b ? 0 ?k 2a

y

k x1 O

x

k x1

x

结论2? 一元二次方程ax2 ? bx ? c ? 0(a〉 0)有两个小于 k的根.

?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? x1 ? k ? ? b ?k ? ? ?? x2 ? k ? ? 2a f ( k ) ? 0 ? ?
a?0

y
??0 x1 O ? x2

k

x

b ?0 2a

结论3? 一元二次方程ax ? bx ? c ? 0(a〉 0)有两个根, 且.
2

x1 ? k ? x2

?a ? 0 ?? ? f (k ) ? 0
y
a?0 O

f (k ) ? 0

x1

k
x2
? f (k ) ? 0

x

结论4? 一元二次方程ax ? bx ? c ? 0(a〉的根满足 0) ?
2

k1 ? x1 ? x2 ? k2 ?
y
?

a?0

?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? f ( k1 ) ? 0 ? ? ? f (k 2 ) ? 0 ? ?k ? ? b ? k 1 2 ? 2a ?

f ( k1 ) ? 0 x1 x2

f (k 2 ) ? 0
?

O

k1

k2 x

x??

b 2a

结论5 4? 一元二次方程ax 2 ? bx ? c ? 0(a〉 0)的根满足?

x1 , x2有且 仅有一个 ? 在(m, n)内

f (m) ? f (n) ? 0 ? f (m) ? 0 ? 或? b m?n m?? ? ? 2a 2 ? ? f (n) ? 0 ? 或? m ? n b ?? ?n ? 2a ? 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

小结1:零分布 (1)有两正根 (2)有两负根 (3)一正一负 小结2:k分布 (1)有两个大于k的根 (2)有两个小于k的根 (3)一个大于k,一个小于k (4)有一个根在区间(k1,k2)内 (5)区间(k1,k2)内有两个根 小结3:数形结合思想

作业 1、 若一元二次方程 kx2+(2k-1)x+k-3=0 有一根为零, 则另一根是正根还是负根?

2.已知二次函数 y ? x ? 2(k ? 3) x ? 2k ? 14
2

的图象与x轴的两个交点分别位于 (0, 4)的 两侧, 求k的取值范围 .

3.已知方程: 4 ? (k ? 1)2 ? k ? 2 ? 0有
x x

一个正根和一个负根 , 求k的范围。
2 y ? m ? 2 x ? ? 2m ? 4? x ? ?3m ? 3? 与x轴轴有 ? ? 4、已知二次函数

两个交点,一个大于1,一个小于1,求实数的取值范围。

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