数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系检测题


第二章
一、选择题

点、直线、平面之间的位置关系

1.垂直于同一条直线的两条直线一定( A.平行 B.相交

). C.异面 D.以上都有可能

=2 AB ,则异面直线 A1B与AD1 所成角的余弦值为 2.正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA 1

(

). A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

3.经过平面外两点与这个平面平行的平面( A.可能没有 B.至少有一个

). C.只有一个 D.有无数个

4.点 E,F,G,H 分别为空间四边形 ABCD 中 AB,BC,CD,AD 的中点,若 AC= BD,且 AC 与 BD 所成角的大小为 90° ,则四边形 EFGH 是( A.菱形 B.梯形 C.正方形 ,n ? 平面 ?, ∩ ) . D.空间四边形 =l,则( ).

5.已知 m,n 为异面直线,m ? 平面 A.l 与 m,n 都相交 C.l 与 m,n 都不相交

B.l 与 m,n 中至少一条相交 D.l 只与 m,n 中一条相交

6.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=2 3 ,CC1= 2 ,则二面角 C1-BD-C 的 大小为( A.30° 7. 如果平面 的位置关系一定是( A.平行 ). B.45° 外有两点 A, B, 它们到平面 ). B.相交 C.平行或相交 D.AB ? ). C.60° D.90°

的距离都是 a, 则直线 AB 和平面

8. 设 m, n 是两条不同的直线, , A. ⊥ ,m⊥ ,n∥ C.m⊥ ,n ? ⊥ 9.平面 ∥平面

是两个不同的平面. 下列命题中正确的是( B. ∥ ,m⊥ ,n∥ D. ⊥ , ∩

? m⊥n


? m⊥n

,m⊥n ?

=m,n⊥m ? n

,AB,CD 是夹在 的关系是(

和 ). C.垂直

之间的两条线段,E,F 分别为

AB,CD 的中点,则 EF 与 A.平行

B.相交

D.不能确定

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10.平面 角分别为

⊥平面

,A∈α,B∈β,AB 与两平面

,β 所成的

π π 和 ,过 A,B 分别作两平面交线的垂线,垂足为 A′,B′,则 4 6
). B.3∶1 D.4∶3
(第 10 题)

AB∶A′B′ 等于( A.2∶1 C.3∶2 二、填空题

11 .下图是无盖正方体纸盒的展开图,在原正方体中直线 AB , CD 所成角的大小 为 . C A B
(第 11 题)

D

12.正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长均为 2,E,F 分别是 AB,A1C1 的中点,则 EF 的长是 . B1 C1 F A1

B C E
(第 12 题)

A

13.如图,AC 是平面

的斜线,且 AO=a,AO 与

成 60? 角,OC??,AA′⊥ .

于 A′,∠A′OC=45? ,则点 A 到直线 OC 的距离是

(第 13 题)

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14.已知正四棱锥的底面边长为 2,侧棱长为 5 ,则侧面与底面所成二面角的大小 为 . 15.已知 a,b 为直线, 结论: ①平行;②垂直不相交;③垂直相交;④相交;⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有 三、解答题 16.正方体 AC1 的棱长为 a. (1)求证:BD⊥平面 ACC1A1; (2)设 P 为 D1D 中点,求点 P 到平面 ACC1A1 的距离. 个. 为平面,a∥ ,b∥ ,对于 a,b 的位置关系有下面五个

17.如图,ABCD 是正方形,O 是该正方形的中心,P 是平面 ABCD 外一点,PO ? 底 面 ABCD,E 是 PC 的中点. 求证:(1)PA∥平面 BDE ; (2)BD⊥平面 PAC. A D O
(第 17 题)

P E C B

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18.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD =DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90° . (1)求证:PC⊥BC; (2)求点 A 到平面 PBC 的距离.
(第 18 题)

19.如图,棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, (1)求证:AC⊥平面 B1D1DB; (2)求证:BD1⊥平面 ACB1; (3)求三棱锥 B-ACB1 体积. A1 A

D B D1
(第 19 题)

C

C1 B1

20. 已知△ BCD 中,∠BCD=90° ,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD,∠ADB=60° ,E,F 分别是 AC,AD 上的动点,且 (1)求证:不论 (2)当

AE AF = = (0< <1). AC AD

为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC;

为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD?

(第 20 题)

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参考答案
一、选择题 1.D 解析:当垂直于直线 l 的两条直线与 l 共面时,两条直线平行;当这两条直线与 l 不共 面时,两条直线平行或相交或异面. 2.D 解析:当将 AD1 平移至 BC1,连接 A1C1,∴∠A1BC1 是异面直线 A1B 与 AD1 所成的角. 在△A1BC1 中,容易计算 A1B=BC1= 5 ,A1C1= 2 . ∴由余弦定理得 cos∠A1BC1= 3.A 解析: 当平面外两点的连线与此平面垂直时, 经过这两点与这个平面平行的平面不存在. 4.C

4 . 5

∥ 1 AC,GH = ∥ 1 AC,∴ EF = ∥GH. 解析:依条件得 EF = 2 2 ∥ 又 EH =
1 ∥ 1 BD,∴ EH = ∥FG. BD,FG = 2 2

∵AB=BC,∴EF=EH. ∵ AC 与 BD 所成角的大小为 90° ,∴ EF 与 EH 所成角的大小为 90° . ∴四边形 EFGH 是正方形. 5.B 解析:对于 A,满足条件的直线 l 可以与 m,n 中一条相交;对于 C,若 l 与 m,n 都不 相交,∵ l 分别与 m,n 共面,∴ l∥m,l∥n.∴ m∥n.矛盾;对于 D,满足条件的直线 可以与 m,n 都相交. 6.A 解析:若设 AC,BD 交于点 O,连接 C1O,则 BD⊥CO,BD⊥C1O. ∴ ∠COC1 是二面角 C1-BD-C 的平面角.tan∠COC1= ∴ ∠COC1=30° .
3 CC1 = . 3 BC

7.C
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解析:当 A,B 两点在 侧时,直线 AB 和平面 8.B

同侧时,直线 AB 和平面 相交.

平行;当 A,B 两点在



解析:对于 A, ⊥ ,m⊥

,n∥ ,m,n 可以不垂直; 可以不垂直; 可以不垂直.

对于 C,m⊥ ,n∥ ,m⊥n, ,

对于 D, ⊥ , ∩ =m,n⊥m , n, 9.A 解析:设 A,C∈ ,B,D∈ , ① 若 AB,CD 共面,∵ ∥ ,∴ AC∥BD. ∵ E,F 分别为 AB,CD 的中点, ∴ EF∥AC,且 EF ? ,AC ?

,∴ EF∥ . 于 M,交 于 N,

②若 AB,CD 为异面直线,则过点 F 做直线 MN∥AB,MN 交 则 MC∥ND.∴ F 为的 MN 中点.∴EF∥AM,且 EF ? 10.A 解析:连接 AB′,A′B,于是∠ABA′= ,AM ?

,∴ EF∥ .

π π ,∠BAB′= . 6 4

设 AB=a,∴ A′B=acos ∴ A′B′=

3 2 π π = a,BB′=acos = a. 6 4 2 2

1 a.∴ AB∶A′B′=2∶1. 2

(第 10 题)

二、填空题 11.60° . 解析:将展开图恢复为正方体时,点 B,D 重合,∴ AB,CD,AC 三条面对角线构成 等边三角形,∴ 直线 AB,CD 所成角的大小为 60° . 12. 5 . 如图,取 A1B1 的中点 G,连接 FG,EG, ∵FG=1,EG =2,∴ EF= 5 . C 13.
14 a. 4

B1 C1 F G A1

B E A A

(第 12 题)

解析: 如图过点 A 作 AB⊥OC, 垂足为 B, 连接 A′B, A′
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C

B
(第 13 题)

O

点 A 到直线 OC 距离是 AB. 依条件得 AA′=
3 2 1 a,A′O= a,A′B= a. 2 4 2

∴ AB= 14.60° .

3 2 14 a. ? a = 4 4 16

解析:依条件可知正四棱锥底面中心到一边的距离为 1,侧面等腰三角形底边上的高为 2,∴ 侧面与底面所成的二面角的余弦值是

1 . 2

∴ 侧面与底面所成的二面角的大小是 60° . 15.5. 解析:依条件可知当 a∥ ,b∥ 有可能成立. 三、解答题 16. 证明:(1)∵ AA1⊥AB,AA1⊥AD,且 AB∩AD=A, ∴ AA1⊥平面 ABCD. 又 BD ? 平面 ABCD,∴ AA1⊥BD. 又 AC⊥BD,AA1∩AC=A,∴ BD⊥平面 ACC1A1. (2)∵ DD1∥AA1,AA1 ? 平面 ACC1A1, ∴ DD1∥平面 ACC1A1. A A1 P· D O
(第 16 题)

时,以上五种情况都有可能出现,因此五个结论都

D1 B1

C1

C B

∴ 点 P 到平面 ACC1A1 的距离即为直线 DD1 到面 ACC1A1 的距离. 也就是点 D 到平面 ACC1A1 的距离,设 AC ∩BD=O,则 DO 的长度是点 D 到平面 ACC1A1 的距离. 容易求出 DO=
2 2 a.∴ P 到平面 ACC1A1 的距离为 a. 2 2

17.证明:(1)连接 EO,∵ 四边形 ABCD 为正方形, ∴ O 为 AC 的中点. ∵ E 是 PC 的中点,∴ OE 是△APC 的中位线. ∴ EO∥PA.∵ EO ? 平面 BDE,PA ? 平面 BDE, ∴ PA∥平面 BDE. (2)∵ PO⊥平面 ABCD,BD ? 平面 ABCD, ∴ PO⊥BD. ∵ 四边形 ABCD 是正方形,
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P E D A O B
(第 17 题)

C

∴ AC⊥BD. ∵ PO∩AC=O,AC ? 平面 PAC,PO ? 平面 PAC, ∴ BD⊥平面 PAC. 18.(1)证明:∵ PD⊥平面 ABCD,BC ? 平面 ABCD,∴ PD⊥BC. 由∠BCD=90° ,得 CD⊥BC. 又 PD∩DC=D, PD,DC ? 平面 PCD, ∴ BC⊥平面 PCD. ∵ PC ? 平面 PCD,故 PC⊥BC. (2)解:(方法一)分别取 AB,PC 的中点 E,F,连 DE,DF, 则易证 DE∥CB,DE∥平面 PBC,点 D,E 到平面 PBC 的距离相等. 又点 A 到平面 PBC 的距离等于点 E 到平面 PBC 的 距离的 2 倍, 由(1)知,BC⊥平面 PCD, ∴平面 PBC⊥平面 PCD. ∵ PD=DC,PF=FC,∴ DF⊥PC. 又 ∴ 平面 PBC∩平面 PCD=PC, ∴ DF⊥平面 PBC 于 F. 易知 DF=
2 ,故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 . 2
(第 18 题)

(方法二): 连接 AC, 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h. ∵ AB∥DC,∠BCD=90° ,∴ ∠ABC=90° . 由 AB=2,BC=1,得△ABC 的面积 S△ABC=1. 由 PD⊥平面 ABCD,及 PD=1,得三棱锥 P-ABC 的体积

1 1 V= S△ABC·PD= . 3 3
∵ PD⊥平面 ABCD,DC ? 平面 ABCD,∴ PD⊥DC. 又 ∴ PD=DC=1,∴ PC= PD2 ? DC 2 = 2 . 由 PC⊥BC,BC=1,得△PBC 的面积 S△PBC=
2 . 2

(第 18 题)

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∵ VA - PBC=VP - ABC,∴

1 1 S△PBC·h=V= ,得 h= 2 . 3 3

故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 . 19.(1)证明:∵ AC⊥BD,又 BB1⊥平面 ABCD,且 AC ? 平面 ABCD, ∴ BB1⊥AC. BD∩BB1=B,∴ AC⊥平面 B1 D1DB. (2)证明:由(1)知 AC⊥平面 B1D1DB, ∵ BD1 ? 平面 B1D1DB,∴ AC⊥BD1. ∵ A1D1⊥平面 A1B1BA,AB1 ? 平面 A1B1BA, ∴ A1D1⊥AB1. 又 ∵ A1B⊥AB1 且 A1B∩A1D1 于 A1, ∴ AB1⊥平面 A1D1B. ∵ BD1 ? 平面 A1D1B, ∴ BD1⊥AB1, 又 ∴ AC∩AB1=A, ∴ BD1⊥平面 ACB1.

1 1 1 (3)解:(方法 1) VB ? ACB1=VA? BB1C = ×1×( ×1×1)= . 2 6 3
(方法 2) VB ? ACB1 =

1 1 1 ( V 正方体)= . 2 3 6

20.(1)证明:∵ AB⊥平面 BCD,∴ AB⊥CD. ∵ CD⊥BC,且 AB∩BC=B,∴ CD⊥平面 ABC. 又

AE AF = = (0< <1), AC AD
为何值,恒有 EF∥CD, ∴ EF⊥平面 ABC. 为何值总有平面 BEF⊥平面

∴ 不论

∵ EF ? 平面 BEF, ∴不论 ABC.

(2)解:由(1)知,BE⊥EF,又平面 BEF⊥平面 ACD,∴ BE⊥平 面 ACD. ∴ BE⊥AC.

(第 20 题)

∵ BC=CD=1,∠BCD=90° ,∠ADB=60° ,∴ BD= 2 ,AB= 6 ,AC= 7 . 由△ABC∽△AEB,有 AB2=AE·AC,从而 AE=
6 .∴ 7



6 AE = . 7 AC

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故当



6 时,平面 BEF⊥平面 ACD. 7

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