2013高三数学单元训练安财:不等式


一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.若 a>b,则下列不等式中恒成立的是( A. ) C. a >b
2 2

a >1 b

B.

1 1 > a b

D. a >b

3

3

【答案】D 2.下列结论正确的是( )

A.当 x>0 且 x≠1 时, lg x ? B.当 x≥2 时, x ?

1 ?2 lg x

1 的最小值为 2 x

C.当 x>0 时, x ? D.当 0<x≤2 时, x ? 【答案】C

1 ≥2 x
1 无最大值. x

?x ? y ? 5 ? 0 ? 3.已知 x, y 满足条件 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值为( ?x ? 3 ?
A.6 【答案】B 4.若不等式 ax +bx+2>0 的解集是{x| - A.A.-10 【答案】B 5.若 a ? b ? 0, 下列不等式成立的是(
2 2 A. a ? b 2 B. a ? ab
2

)

B.-6

C.5

D.-5

1 1 < x < },则 a + b 的值( 3 2
C. 10 D.14



B.-14

) C.

b ?1 a

D.

1 1 ? a b

【答案】C 6. 不等式

4 ? x ? 1 的解集是( x ?1

) B.[-1,1)∪[3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)

A.(-∞,-1]∪[3,+∞) C.[-1,3] 【答案】B 7.设 a, b ? R ,那么下列命题正确的是(

)

A. a ? b ? a 2 ? b 2 C. a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1 ? ab ? 【答案】B 8.设函数 f ( x) ? 2 x ? A.有最大值 【答案】A 9.下列命题中正确的是( )

B. a ?| b |? a 2 ? b 2

1 4

D.a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1 ?

1 1 ? ?4 a b

1 ? 1( x ? 0) 则 f ( x) ( x
B.有最小值

) D.是减函数

C.是增函数

A.若 a ? b ,则 ac 2 ? bc 2 B.若 ab ? 0 , a ? b ,则

1 1 ? a b

C.若 a ? b , c ? d ,则 a ? c ? b ? d D.若 a ? b , c ? d ,则 【答案】B 10.设 M=2a(a-2)+3,N=(a-1)(a-3),a∈R,则有( A.M>N C.M<N 【答案】B 11.若 a ? b ? 0 ,则下列不等关系中不一定成立的是( A. ac ? bc 【答案】A B. a ? c ? b ? c C. a 2 ? b 2 ) D. a ? B.M≥N D.M≤N )

a b ? c d

b

?x ? y ? 1 ? 12.设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 z ? 3x ? y 的最大值为( ? y ? ?2 ?
A. 5 【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) B. 3 C.7 D. -8

)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.函数 y ? x ? 【答案】3 14.某高校录取新生对语文、数学、英语的高考分数的要求是: (1)语文不低于 70 分; (2)数学应高于

1 ?x ? 1? 的最小值为 x ?1

.

80 分; (3)三科成绩之和不少于 230 分。若张三被录取到该校,则该同学的语、数、英成绩 x、y、z 应满足的约束条件是 .

x ? 70 ? ? y ? 80 【答案】 ? ? x ? y ? z ? 230 ?
15.不等式 x ?2x<0 的解集是 【答案】 x 0 ? x ? 2
2



?

?


2x 2 ? x ? 1 ? 0 的解集为 16.不等式 x( x ? 1)

【答案】 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知正数 a、b、c 满足 a ? b ? 2c ,求证: c ? c ? ab ? a ? c ? c ? ab .
2 2

【答案】要证 c ? c ? ab ? a ? c ? c ? ab ,
2 2

只需证 ? c ? ab ? a ? c ?
2

c 2 ? ab ,

即只要证 | a ? c |?

c 2 ? ab

?两边都是非负数,
? 只要证(a ? c)2 ? c 2 ? ab, 只要证a 2 ? 2ac ? ?ab 即只要证a(a ? b) ? 2ac, ? a ? 0, 只需证a ? b ? 2c,
这就是已知条件, 且以上各步都可逆,

? c ? c 2 ? ab ? a ? c ? c 2 ? ab .
18.设命题 P:关于 x 的不等式 a 域为 R。 如果 P 或 Q 为真,P 且 Q 为假,求 a 的取值范围 【答案】(1)依题得: y ? 50 ?12 x ?
x 2 ? ax ? 2 a 2

>1(a>0 且 a≠1)为{x|-a<x<2a};命题 Q:y=lg(ax 2 -x+a)的定义

? ?

x( x ? 1) ? ? 4? ? 98 ? ?2 x 2 ? 40 x ? 98. (x ? N*) 2 ?

(2)解不等式 ?2 x 2 ? 40 x ? 98 ? 0, 得 :10 ? 51 ? x ? 10 ? 51 ∵x ? N ,∴3≤x≤17,故从第 3 年开始盈利。
*

y 98 98 ? ?2 x ? 40 ? ? 40 ? (2 x ? ) ? 40 ? 2 2 ? 98 ? 12 x x x 98 当且仅当 2 x ? 时,即 x=7 时等号成立. x
(3) (Ⅰ)?

?到 2008 年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利 12×7+30=114 万元.
(Ⅱ)y=-2x +40x-98=-(x-10) +102,当 x=10 时,ymax=102 故到 2011 年,盈利额达到最大值,工厂获利 102+12=114 万元 盈利额达到的最大值相同,而方案Ⅰ所用的时间较短,故方案Ⅰ比较合理. 19.已知某工厂生产 x 件产品的成本为 C ? 25000 ? 200 x ?
1 2 ,问: (1)要使平均成本最低,应生 x (元) 40
2 2

产多少件产品?(2)若产品以每件 500 元售出,要使利润最大,应生产多少件产品?
25000 ? 200 x ? x 1 2 x 40 ? 25000 ? 200 ? x ,:当 x ? 1000 时,取得 x 40

【答案】 (1) 、设平均成本为 y 元,则 y ?

最小值,因此,要使平均成本最低,应生产 1000 件产品.
? x2 ? x2 (2) 、利润函数为 S ? 500 x ? ? 25000 ? 200 x ? ? ? 300 x ? 25000 ? , x ? 6000 ,要使利润最大,应生产 40 ? 40 ?

6000 件产品. 20.设 a、b、c 均为实数,求证: 【答案】∵a、b、c 均为实数. ∴
1 1 1 1 1 ( + )≥ ≥ ,当 a=b 时等号成立; 2 2a 2b a ?b 2 ab
1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + . b?c c?a a?b 2a 2b 2c

1 1 1 1 1 ( + )≥ ≥ ,当 b=c 时等号成立; 2 b?c 2b 2c 2 bc 1 1 1 1 1 ( + )≥ ≥ . 2 2c 2a c?a 2 ca

三个不等式相加即得

1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + , b?c c?a a?b 2a 2b 2c

当且仅当 a=b=c 时等号成立. 21.设函数 f ( x) ? (1 ? (1) 当 x ? 6 时,求 (1 ?

1 x ) (n ? N * , 且 n ? 1, x ? R) . n

1 x ) 的展开式中二项式系数最大的项; n f (2 x) ? f (2) (2) 对任意的实数 x ,证明: ? f / ( x)( f / ( x) 是 f ( x) 的导函数); 2

(提示: (a x ) / ? a x ln a ) 是否存在 a ? N ,使得 an ?

? (1 ? k )
k ?1

n

1

k

? (a ? 1)n 恒成立?若存在,试证明你的结论,并求出 a 的值。

3 3 【答案】(1) 展开式中二项式系数最大的项第 4 项,这项为 C 6 1 ( )3 ?

1 n

20 n3

(2) f (2 x) ? f (2) ? (1 ? = 2(1 ?

1 2x 1 1 1 ) ? (1 ? ) 2 ? 2 (1 ? ) 2 x (1 ? ) 2 n n n n

1 x 1 1 1 1 ) (1 ? ) ? 2(1 ? ) x ? 2(1 ? ) x ln(1 ? ) n n n n 2 1 x 1 ? 2(1 ? ) ln(1 ? ) ? 2 f / ( x) n n f (2 x) ? f (2) 所以 ? f / ( x) 对任意的实数 x 恒成立. 2 1 (3)先证 k ? 1时, 2 ? (1 ? ) k ? 3 (参见学案 89 号例 3) k
则 2n ?

? (1 ? k )
k ?1

n

1

k

? 3n

所以存在 a ? 2 ,使得 an ?

? (1 ? k )
k ?1

n

1

k

? (a ? 1)n 恒成立.

22.如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分) ,这两栏 的面积之和为 18000cm 四周空白的宽度为 10cm, 两栏之间的中缝空白的宽度为 5cm, 怎样确定广告的 高与宽的尺寸(单位:cm) ,能使矩形广告面积最小?
2,

【答案】解法 1:设矩形栏目的高为 a cm,宽为 b cm,则 ab=9000. 广告的高为 a+20,宽为 2b+25,其中 a>0,b>0. 广告的面积 S=(a+20)(2b+25) =2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b ≥18500+2 25 a ? 40b =18500+ 1000 ab ? 24500 .



当且仅当 25a=40b 时等号成立,此时 b= a ,代入①式得 a=120,从而 b=75. 即当 a=120,b=75 时,S 取得最小值 24500. 故广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小. 解法 2:设广告的高为宽分别为 x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为 x-20,

5 8

y ? 25 18000 ? 18000 ,由此得 y= ? 25, 2 x ? 20 18000 18000 广告的面积 S=xy=x( ? 25 )= ? 25 x, x ? 20 x ? 20 360000 整理得 S= ? 25( x ? 20) ? 18500 . x ? 20
两栏面积之和为 2(x-20) 因为 x-20>0,所以 S≥2

y ? 25 , 其中 x>20,y>25 2

360000 ? 25( x ? 20) ? 18500 ? 24500 . x ? 20

当且仅当

360000 ? 25( x ? 20) 时等号成立, x ? 20
2

此时有(x-20) =14400(x>20),解得 x=140,代入 y= 即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值 24500,

18000 +25,得 y=175, x ? 20

故当广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小.
葿螈 聿蒄葿袁羁莀 蒈羃膇芆蒇 蚃羀膂蒆螅 膅蒁薅袇羈莇 薄罿膄芃薃 虿羆艿薃袁节 膅薂羄肅蒃 薁蚃芀荿薀 螆肃芅蕿袈芈 膁蚈羀肁蒀 蚇蚀袄莆蚇螂 肀莂蚆羅袂 芈蚅蚄膈膄 蚄螇羁蒂蚃衿 膆莈蚂羁罿 芄螁蚁膄膀螁 螃羇葿螀袅 膃蒅蝿肈羆 莁螈螇芁芇莄 袀肄膃莄羂 艿蒂莃蚂肂莈 蒂螄芈芄蒁 袆肀膀蒀罿 袃薈葿螈聿蒄 葿袁羁莀蒈 羃膇芆蒇蚃羀 膂蒆螅膅蒁 薅袇羈莇薄 罿膄芃薃虿羆 艿薃袁节膅 薂羄肅蒃薁 蚃芀荿薀螆肃 芅蕿袈芈膁 蚈羀肁蒀蚇蚀 袄莆蚇螂肀 莂蚆羅袂芈 蚅蚄膈膄蚄螇 羁蒂蚃衿膆 莈蚂羁罿芄螁 蚁膄膀螁螃 羇葿螀袅膃 蒅蝿肈羆莁螈 螇芁芇莄袀 肄膃莄羂艿蒂 莃蚂肂莈蒂螄 芈芄蒁袆肀膀 蒀罿袃薈葿 螈聿蒄葿袁 羁莀蒈羃膇芆 蒇蚃羀膂蒆 螅膅蒁薅袇羈 莇薄罿膄芃 薃虿羆艿薃 袁节膅薂羄肅 蒃薁蚃芀荿 薀螆肃芅蕿袈 芈膁蚈羀肁 蒀蚇蚀袄莆 蚇螂肀莂蚆羅 袂芈蚅蚄膈 膄蚄螇羁蒂蚃 衿膆莈蚂羁 罿芄螁蚁膄膀 螁螃羇葿螀 袅膃蒅蝿肈羆 莁螈螇芁芇 莄袀肄膃莄羂 艿蒂莃蚂肂 莈蒂螄芈芄 蒁袆肀膀蒀罿 袃薈葿螈聿 蒄葿袁羁莀蒈 羃膇芆蒇蚃 羀膂蒆螅膅蒁 薅袇羈莇薄 罿膄芃薃虿羆 艿薃袁节膅 薂羄肅蒃薁蚃 芀荿薀螆肃 芅蕿袈芈膁蚈 羀肁蒀蚇蚀 袄莆蚇螂肀 莂蚆羅袂芈蚅 蚄膈膄蚄螇 羁蒂蚃衿膆莈 蚂羁罿芄螁 蚁膄膀螁螃羇 葿螀袅膃蒅 蝿肈羆莁螈螇 芁芇莄袀 肄膃莄羂艿蒂 莃蚂肂莈蒂 螄芈芄蒁袆肀 膀蒀罿袃薈 葿螈聿蒄葿袁 羁莀蒈羃膇 芆蒇蚃羀膂 蒆螅膅蒁薅袇 羈莇薄罿膄 芃薃虿羆艿薃 袁节膅薂羄 肅蒃薁蚃芀荿 薀螆肃芅蕿 袈芈膁蚈羀肁 蒀蚇蚀袄莆 蚇螂肀莂蚆羅 袂芈蚅蚄膈 膄蚄螇羁蒂 蚃衿膆莈蚂羁 罿芄螁蚁膄 膀螁螃羇葿螀 袅膃蒅蝿肈 羆莁螈螇芁芇 莄袀肄膃莄 羂艿蒂莃蚂肂 莈蒂螄芈芄 蒁袆肀膀蒀罿 袃薈葿螈聿 蒄葿袁羁莀 蒈羃膇芆蒇蚃 羀膂蒆螅膅 蒁薅袇羈莇薄 罿膄芃薃虿 羆艿薃袁节膅 薂羄肅蒃薁 蚃芀荿薀螆肃 芅蕿袈芈膁 蚈羀肁蒀蚇蚀 袄莆蚇螂肀 莂蚆羅袂芈 蚅蚄膈膄蚄螇 羁蒂蚃衿膆 莈蚂羁罿芄螁 蚁膄膀螁螃 羇葿螀袅 膃蒅蝿肈羆莁 螈螇芁芇莄 袀肄膃莄羂艿 蒂莃蚂肂莈 蒂螄芈芄蒁袆 肀膀蒀罿袃 薈葿螈聿蒄 葿袁羁莀蒈羃 膇芆蒇蚃羀 膂蒆螅膅蒁薅 袇羈莇薄罿 膄芃薃虿羆艿 薃袁节膅薂 羄肅蒃薁蚃芀 荿薀螆肃芅 蕿袈芈膁蚈羀 肁蒀蚇蚀袄 莆蚇螂肀莂 蚆羅袂芈蚅蚄 膈膄蚄螇羁 蒂蚃衿膆莈蚂 羁罿芄螁蚁 膄膀螁螃羇葿 螀袅膃蒅蝿 肈羆莁螈螇芁 芇莄袀肄膃 莄羂艿蒂莃蚂 肂莈蒂螄芈 芄蒁袆肀膀 蒀罿袃薈葿螈 聿蒄葿袁羁 莀蒈羃膇芆蒇 蚃羀膂蒆螅 膅蒁薅袇羈莇 薄罿膄芃薃 虿羆艿薃袁节 膅薂羄肅蒃 薁蚃芀荿薀螆 肃芅蕿袈芈 膁蚈羀肁蒀 蚇蚀袄莆蚇螂 肀莂

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