解答题专项训练(三角函数与解三角形)


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解答题专项训练(三角函数与解三 角形)

1.已知向量 m=,n=.记 f(x)=m· n. (1)若 f(x)=,求 cos 的值; (2)在△ABC 中,角 A ,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cos B=bcos C,若 f(A)=,试判断△ABC 的 形状. 2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a,b,c 成等比数列,且 sin Asin C=. (1)求角 B 的大小; (2)若 x∈[0,π),求函数 f(x)=sin(x-B)+sin x 的值域. 3.已知锐角△ABC 的三个内角为 A,B,C,向量 p=(cos A-sin A,1+sin A),向量 q=(cos A+sin A,2-2sin A),且 p⊥q. (1)求角 A; (2)设 AC=,sin2A+sin2B=sin2C,求△ABC 的面积. 4.已知函数 f(x)=sinωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,且满足. (1)证明:b+c=2a; (2)如图,点 O 是△ABC 外一点,设∠AOB=θ(0<θ<π),OA=2OB=2,当 b=c 时,求平面四边形 OACB 面 积的最大值.

5.设函数 f(x)=sin+2cos2. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,当 x∈时,求函数 y=g(x)的最小值与相应自变 量 x 的值. 6.已知函数 f(x)=(cos x+sin x)(cos x-sin x). (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 0<α<,0<β<,且 f,f,求 sin(α-β)的值. 7.(2013·江苏,15)已知 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<β<α<π. (1)若|a-b|=,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值. ## 1.解:(1)f(x)=m·n=sincos+cos2 =sincos =sin. ∵f(x)=,∴sin=1. ∴cos=1-2sin2=-1, cos=-cos=1. (2)∵(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, ∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C. ∴2sin Acos B=sin(B+C). ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin A,且 sin A≠0.∴cos B=. 又∵B∈(0,π),∴B=. 由 f(x)=sin,且 f(A)=, ∴sin,A=或 A=π(舍 去),∴A=,C=,∴△ABC 为正三角形. 2.解:(1)因为 a,b,c 2 成等比 数列,则 b2=ac. 由正弦定理得 sin B=sin Asin C. 又 sin Asin C=,所以 sin2B=. 因为 sin B>0,则 sin B=.因为 B∈(0,π),所以 B=.
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又 b2=ac,则 b≤a 或 b≤c,即 b 不是△ABC 的最大边,故 B=. (2)因为 B=,则 f(x)=sin+sin x=sin xcos-cos xsin+sin x=sin x-cos x=sin. 因为 x∈[0,π),则-≤x-, 所以 sin.故函数 f(x)的值域是. 3.解:(1)∵p⊥q, ∴(cos A+sin A)(cos A-sin A)+(2-2sin A)(1+sin A)=0, ∴sin2A =. 而 A 为锐角,∴sin A=?A=. (2)由正弦定理得 a2+b2=c2, ∴△ABC 是直角三角形,且 C=. ∴BC=AC× tan=3. ∴S△ABC=AC·BC=×3=. 4.(1)证明: 由题意知:,解得 ω=. ∵, ∴sin Bcos A+sin Ccos A=2sin A-cos Bsin A-cos Csin A, ∴sin Bcos A+cos Bsin A+sin Ccos A+cos Csin A=2sin A, ∴sin(A+B)+sin(A+C)=2sin A, ∴sin C+sin B=2sin A,∴b+c=2a. (2)解:∵b+c=2a,b=c,∴a=b=c, ∴△ABC 为等边三角形. SOACB=S△OAB+S△ABC =OA·OBsinθ+AB2 =sinθ+(OA2+OB2-2OA·OBcosθ) =sinθ-cosθ+ =2sin. ∵θ∈(0,π),∴θ-. 当且仅当 θ-,即 θ=时取最大值,SOACB 的最大值为 2+. 5.解:(1)f (x)=sin+2cos2 =sincos-cossin =sincoscos =sincos=sin, ∴T==12. (2)方法一:由题意知: g(x)=f(2-x)=sin =sin=-sin. ∵x∈,∴-. ∴g(x)min=- , 此时,即 x=. 方法二:可以求 x∈关于 x=1 的对称区间 x∈上函数 f(x)的最值. 6.解:(1)∵f(x)=(co s x+sin x)(cos x-sin x)=cos2x-sin2x=cos 2x, ∴函数 f (x)的最小正周期为 T==π. (2)由(1)得 f(x)=cos 2x. ∵f,f, ∴cosα=,cosβ=. ∵0<α<,0< β<, ∴sinα=,sinβ=. ∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ =. 7.(1)证明 :由题意得 |a-b |2=2, 2 2 2 即(a-b) = a -2a·b+b =2. 又因为 a2=b2=|a|2=|b|2=1, 所以 2-2a·b=2,即 a·b=0.故 a⊥b. (2)解:因为 a+ b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1),所以 由此得 cosα=cos(π-β).由 0<β<π,得 0<π-β<π, 又 0<α<π,故 α=π-β. 代入 sinα+sinβ=1,得 sinα=sinβ=,而 α>β,所以 α=,β=.
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