上海交通大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:直线与圆


上海交通大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:直线与圆 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.曲线|x―1|+|y―1|=1 所围成的图形的面积为( A.1 【答案】B A.x―2y―1=0 【答案】A B.2 C.4 ) D.x+2y―1=0 ) D. 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一

2

2.过点(1,0)且与直线 x―2y―2=0 平行的直线方程是( B.x―2y+1=0 C.2x+y―2=0

( 3 2 3 0 3.已知直线 l1 : (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0 ,与 l2 :2 k ?) x ? y ? ?
A.1 或 3 【答案】C 4.过点(1,2)且与原点的距离最大的直线方程是( A.2x+y-4=0 【答案】B 5.与直线 l 1: mx ? m A. x ? y ? 1 ? 0 【答案】D 6.若直线经过 A(0,1), B(3, 4) 两点,则直线 AB 的倾斜角为( A. 30 【答案】B
o

平行,则 k 的值是( D.1 或 2

)

B.1 或 5

C.3 或 5 )

B. x+2y-5=0
2

C.x+3y-7=0

D.3x+y-5=0

) y ? 1 ? 0 垂直于点 P(2,1)的直线 l2 的方程为( B. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 3 ? 0

) D . 120
o

B. 45

o

C. 60

o

7.以点(2,-1)为圆心且与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相切的圆的方程为( A. ( x ? 2) C. ( x ? 2)
2

)

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? ( y ? 1)2 ? 3 ? ( y ? 1)2 ? 9

B. ( x ? 2)

2

? ( y ?1)2 ? 3 ? ( y ?1)2 ? 3
) D. 2

2

D. ( x ? 2)

2

【答案】C 8.点 P( x, 2,1) 到 Q(1,1, 2), R(2,1,1) 的距离相等,则 x 的值为( A. 【答案】B A.1 【答案】A 10.方程 x
2

1 2

B.

1

C.

3 2

9.坐标原点 O 到直线 3x+4y-5=0 的距离为(
B. 3 C.2

)
D. 5

? y 2 ? x ? y ? m ? 0 表示一个圆,则 m 的取值范围是(

)

A. m 【答案】C

?2

B.m<2

C.m<

1 2

D. m

?

1 2

11.已知实数 x, y 满足 x A.5 【答案】B

2

? y 2 ? 2 y ? 0 ,那么 x 2 ? y 2 的最大值为(
C.2

) D. 1

B. 4

1 2.已知直线 m x ? 3 y ? 4 ? 0 与圆 ( x ? 2) 实数 m 的值为( A. ) B. 0 或 ?

2

? y 2 ? 5 相交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 2 ,则

5 2

5 4

C. ?

5 2

D.

5 4

【答案】D 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
2

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上)

13.设两条直线的方程分别为 x+y+a=0,x+y+b=0,已知 a,b 是方程 x +x+c=0 的 1 两个实根,且 0≤c≤ ,则这两 条直线之间的距离的最大值和最小值分别 8 是 . 2 1 【答案】 , 2 2
14.已知定点 A 为(2,0) ,圆 x 的轨迹是 【答案】以 (1,0) 为圆心,半径长为 15.已知圆 C 的圆心与点 P 交于 A 、 B 两点,且 【答案】 x
2 2

? y 2 ? 1 上有一个动点 Q,若线段 AQ 的中点为点 P,则动点 P
1 的圆 2

(?2,1) 关于直线 y ? x ? 1 对称,直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 与圆 C 相
,则圆 C 的方程为 .

AB ? 6

? ( y ? 1) 2 ? 18
.
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16.半径为 3 的圆与 y 轴相切,圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,则此圆方程为 【答案】 ( x ? 3)
2

? ( y ? 1) 2 ? 9 和 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9
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三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O: x
2

? y 2 ? 25 ,圆 O1 的圆心为 O1 (m,0) ,且与圆 O

交于点 P(3,4) ,过点 P 且斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 分别交圆 O,O1 于点 A,B. (1)若 k ? 1 ,且 BP ? 7 2 ,求圆 O1 的方程;

(2) 过点 P 作垂直于直线 l 的直线 l1 分别交圆 O, 1 于点 C, 当 m 为常数时, O D. 试判断 AB ? CD
2

2

是否是定值?若是定值,求出这个值;若不是定值,请说明理由. 【答案】 (1) k ? 1 时,直线 l: y ? 4 ? x ? 3 ,即 x ? y ? 1 ? 0 , 由题意得: (

| m ? 1| 2 7 2 2 ) ?( ) ? (m ? 3)2 ? 42 , 2 2
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2 整理得, m ? 14m ? 0 ,解得 m ? 14 或 m ? 0 (舍去) ,

所以圆 O1 的方程为 ( x ? 14) ? y ? 137 .
2 2

(2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) . 直线 l: y ? 4 ? k ( x ? 3) ,即 y ? kx ? (3k ? 4) ,

由?

? y ? kx ? (3k ? 4), 2 2 2 2 消去 y 得, (k ? 1) x ? (8k ? 6k ) x ? 9k ? 24k ? 9 ? 0 , x 2 ? y 2 ? 25, ?
9k 2 ? 24k ? 9 , k2 ?1
2

由韦达定理得 3 ? x1 ?

(法 2 即有 ( x ? 3)[(k ? 1) x ? (3k ? 8k ? 3)] ? 0 ) ,
2

得 x1 ?

3k 2 ? 8k ? 3 . k2 ?1

由?

y ? kx ? (3k ? 4), ? 2 2 2 2 ?( x ? m) ? y ? (m ? 3) ? 4 ,
2 2 2 2

消去 y 得, (k ? 1) x ? (8k ? 6k ? 2m) x ? 9k ? 24k ? 9 ? 6m ? 0 , 由韦达定理得 3 ? x2 ?

9k 2 ? 24k ? 9 ? 6m , k 2 ?1
2

(法 2 即有 ( x ? 3)[(k ? 1) x ? (3k ? 8k ? 3 ? 2m)] ? 0 )
2

得 x2 ?

3k 2 ? 8k ? 3 ? 2m . k 2 ?1 3k 2 ? 8k ? 3 3k 2 ? 8k ? 3 ? 2m 2m ? ? 2 2 2 k ?1 k ?1 k ?1

所以, x1 ? x2 ?

AB2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (k 2 ? 1)( x1 ? x2 )2 ? (k 2 ? 1)(

2m 2 4m 2 ) ? 2 . k 2 ?1 k ?1

同理可得, CD2 ?

4m2 4m2 k 2 , ? 2 1 (? ) 2 ? 1 k ? 1 k
4m 2 4m 2 k 2 ? ? 4m2 为定值. k 2 ?1 k 2 ?1

所以, AB ? CD ?
2 2

18.已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A(-1,5) 、B(-2,-1) 、C(4,3) 是 BC 边的中 ,M 点. (1)求 AB 边所在的直线方程; (2)求中线 AM 的长.
【答案】 1)由两点式得 AB 所在直线方程为: ( 即 6x-y+11=0.

y?5 x ?1 ? , ?1? 5 ? 2 ?1

(2)设 M 的坐标为( x 0 , y 0 ) ,则由中点坐标公式得,

x0 ?

?2?4 ?1? 3 ? 1, y 0 ? ? 1, 2 2
(1 ? 1) 2 ? (1 ? 5) 2 ? 2 5 .

即点 M 的坐标为(1,1) .

故 | AM |?

19.过点 P(2,1) 的直线 l 与 x 轴、 y 轴正半轴交于 A, B 两点,求满足下列条件的直线 l 的方程,

O 为坐标原点, (1) V AOB 面积最小时; (2) | OA | ? | OB | 最小时; (3) | PA | ? | PB | 最
小时. 【答案】解一:由题意,设 A(a,0), B(0, b), a ? 0, b ? 0 ,直线方程为

x y ? ? 1 .又直线 l 过点 a b

2 1 ? ?1 a b 2 1 ? (1) Q ? ? 1?? a ? 2b ? ab ? a ? 2b ? ab ? 2 ? ?2 ? a (1 ? b) ? 2(b ? 1) ? ?2 a b 1 ? (a ? 2)(b ? 1) ? 2 ? 0, a ? 2, b ? 1 当 V AOB 面积最小时,即 S ? ab 最小, 2 1 1 1 得 S ? ab ? (a ? 2b) ? [(a ? 2) ? 2(b ? 1)] ? 2 ? 2(a ? 2)(b ? 1) ? 2 ? 4 2 2 2

P(2,1) ,得

当且仅当 a ? 2 ? 2(b ? 1), 即 a ? 4, b ? 2 时取等号,此时直线 l 的方程为

x y ? ? 1 ,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 4 2
(2) | OA | ? | OB |? a ? b ? (a ? 2) ? (b ?1) ? 3 ? 3 ? 2 当且仅当 a ? 2 ? b ? 1 ? 此时直线 l 的方程为

2

2 ,即 a ? 2 ? 2 ,b ? 1 ? 2 时取等号,

x y ? ? 1 ,即 x ? 2 y ? 2 ? 2 ? 0 . 2 ? 2 1? 2

(3) | PA | ? | PB |? [(a ? 2) ? (1 ? 0) ][2 ? (b ? 1) ]
2 2 2 2

? (a ? 2) 2 (b ? 1) 2 ? 4(a ? 2) 2 ? (b ? 1) 2 ? 4 ? 8 ? 4(a ? 2) 2 ? (b ? 1) 2

? 8 ? 2 4(a ? 2)2 ? (b ? 1) 2 ? 4
当且仅当 2(a ? 2) ? b ? 1 ? 2 ,即 a ? b ? 3 时取等号, 此时直线 l 的方程为

x y ? ? 1 ,即 x ? y ? 3 ? 0 . 3 3
解二:设直线 l 的倾斜角为 ? ( (1) S ?

?
2

?? ?? ) a ? 2? ,则

1 ,b ? 1 ? 2 tan ? tan ?

1 1 1 1 ab ? (2 ? )(1 ? 2 tan ? ) ? 2 ? ? (?2 tan ? ) ? 4 2 2 tan ? ?2 tan ? 1 1 1 ? ?2 tan ? ,即 tan ? ? ? ( tan ? ? 舍去! 当且仅当 )时取等号, ?2 tan ? 2 2 1 此时直线 l 的方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 2) ,即 x ? 2 y ? 4 ? 0 . 2 1 ? 1 ? 2 tan ? ? 3 ? 2 2 (2) | OA | ? | OB |? a ? b ? 2 ? tan ?
当且仅当

1 2 2 ? ?2 tan ? ,即 tan ? ? ? ( tan ? ? 舍去! )时取等号, ? tan ? 2 2

此时直线 l 的方程为 y ? 1 ? ?

2 ( x ? 2) ,即 x ? 2 y ? 2 ? 2 ? 0 . 2

(3) | PA | ? | PB |?

1

sin(? ? ? ) cos(? ? ? )

?

2

?

4 ?2sin ? ? cos ?

?

4 ? sin 2?

当且仅当 sin 2? ? ?1 ,即 tan ? ? ?1 时取等号, 此时直线 l 的方程为 y ? 1 ? ?( x ? 2) ,即 x ? y ? 3 ? 0 . 20.已知圆 C 通过不同的三点 P(m,0)、Q(2,0)、R(0,1) ,且圆 C 在点 P 处的切线的斜率为 1. (1)试求圆 C 的方程; (2)若点 A、B 是圆 C 上不同的两点,且满足 CP ? CA ? CP ? CB , ①试求直线 AB 的斜率; ②若原点 O 在以 AB 为直径的圆的内部,试求直线 AB 在 y 轴上的截距的范围。 【答案】 (1)设圆方程为 x -1
2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则圆心 C ( ?

D E ,? ) ,且 PC 的斜率为 2 2

? 1? E ? F ? 0 ?4 ? 2 D ? F ? 0 ? D 2?m ? D ?1 ? ? ? ? E ?5 ? 2 ? 2 2 2 所以 ? 解得 ? ,所以圆方程为 x ? y ? x ? 5 y ? 6 ? 0 E F ? ?6 ? ? ?0 ? ? 2 ? m ? ?3 ? ?1 ? ? D ? ?m ? 2 ?
(2)① CP ? CA ? CP ? CB ? CP ? (CA ? CB) ? 0 ? CP ? AB ? 0 ? CP ? 为1
2 ②设直线 AB 方程为 y ? x ? t ,代入圆 C 方程得 2 x

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

AB ,所以 AB 斜率

? (2t ? 6) x ? t 2 ? 5t ? 6 ? 0

? ?? ? 0 ? ?7 ? t ? 3 ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 ? x1 ? x 2 ? ?t ? 3 ? t 2 ? 5t ? 6 ? x1 x 2 ? 2 ?
原点 O 在以 AB 为直径的圆的内部,即整理得, t
2

? 2t ? 6 ? 0 ? ? 7 ? 1 ? t ? 7 ? 1

21.两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)和 B(-3,-1),并且各自绕着 A,B 旋转,如果两条平行 直线间的距离为 d. 求:1)d 的变化范围; 2)当 d 取最大值时两条直线的方程。 【答案】 (1)方法一:①当两条直线的斜率不存在时,即两直线分别为 x=6 和 x=-3,则它们 之间的距离为 9. ②当两条直线的斜率存在时,设这两条直线方程为

l1:y-2=k(x-6),l2:y+1=k(x+3), 即 l1:kx-y-6k+2=0,l2:kx-y+3k-1=0, |3k-1+6k-2| 3|3k-1| ∴d= = . 2 2 k +1 k +1 2 2 2 即(81-d )k -54k+9-d =0. ∵k∈R,且 d≠9,d>0, 2 2 2 ∴Δ =(-54) -4(81-d )(9-d )≥0,即 0<d≤3 10且 d≠ 9. 综合①②可知,所求 d 的变化范围为(0,3 10].
方法二:如图所示,显然有 0<d≤|AB|.

而|AB|= ?6+3? +?2+1? =3 10. 故所求的 d 的变化范围为(0,3 10].

2

2

(2)由图可知,当 d 取最大值时,两直线垂直于 AB. 2-?-1? 1 而 kAB= = , 6-?-3? 3 ∴所求直线的斜率为-3. 故所求的直线方程分别为 y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),即 3x+y-20=0 和 3x+y+10=0. 22.已知 ?ABC三顶点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2).
(1)求该三角形外接圆的方程. (2)若过点 (?1,?2) 的直线 l 被 ?ABC外接圆截得的线段长为 2 17 ,求直线 l 的方程. 【答案】 (1)设圆的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

F ?0 ? ? 则? D?E ?F ?2 ? 0 ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ?
? D ? ?8, E ? 6, F ? 0

? 此外接圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0
(2)设直线 l 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) , 即 kx ? y ? k ? 2 ? 0 又 ( x ? 4) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25,由题意得圆心到直线的距离 为 2 2
4k ? 3 ? k ? 2 k ?1
2

?

?2 2

?k ? ?1或

7 17

? 直线 l 的方程为 x ? y ? 3 ? 0或7 x ? 17 y ? 27 ? 0 .
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