天津市五区县2012届高三数学第一学期期末考试试题 理(扫描版)新人教版


天津市五区县 2012 届高三数学第一学期期末考试试题 理(扫描版) 新人教版

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天津市五区县 2011~2012 学年度第一学期期末考试 高三数学(理工类)试卷参考答案

三、解答题:共 80 分 (15) (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)
f (x) ? 3 s in x c o s x ? c o s x ?
2

1 2

?

3 2

s in 2 x ?

1 2

cos 2 x ? 1

………2 分

? s in ( 2 x ?

?
6

) ?1

……………………………………………………3 分 ………………………………5 分
?
6 ) ?1

∴ f ( x ) 的最小值为 ? 2 ,最小正周期为 ? . (Ⅱ)∵ ∵ ∵
f ( C ) ? s in ( 2 C ?

?
6

) ?1 ? 0 ,

即 s in ( 2 C ?
?
6 ?

…………………6 分
?
3

0 ? C ? ? ,?

?
6

? 2C ?

?
6

?

1 1? 6

,∴ 2 C ?

?
2

,∴ C ?

.…………8 分

sin B ? 2 sin A ? 0 .

由正弦定理

a s in A

?

b s in B



得b ? 2a,
2 2


?
3

……………………10 分 ……………………11 分

∵ c ? 3 ,由余弦定理,得 9 ? a ? b ? 2 a b c o s
?a ? 3

, ②

解方程组①②,得 ?

?b ? 2 3



…………………………………………13 分

(16) (本小题满分 13 分) 解:命题 p : ? ? 1 6 ? 4 a ? 0 ? a ? 2 或 a ? ? 2
2

…………………………2 分

命题 q :∵ m ? [ ? 1,1] ,∴ m ? 8 ? [ 2 2 , 3] . …………………………………3 分
2

∵对 m ? [ ? 1,1] ,不等式 a ? 5 a ? 3 ≥
2

m ? 8 恒成立,
2

只须满足 a ? 5 a ? 3 ≥ 3
2

∴ a ≥ 6 或 a ≤ ?1 . 故命题 q 为真命题时, a ≥ 6 或 a ≤ ? 1 . …………………………………………6 分 命题“ p ? q ”为真命题,且“ p ? q ”为假命题,则 p 与 q 一真一假 (1)若 p 真 q 假,则 ?
? a ? 2或 a ? ? 2 ??1 ? a ? 6
用心

? 2 ? a ? 6 …………………………………9 分

爱心

专心

10

(2)若 p 假 q 真,则 ?

??2 ≤ a ≤ 2 ? a ≤ ? 1, a ≥ 6

? ?2 ≤ a ≤ ?1

…………………………12 分

综合(1) (2)得实数 a 的取值范围为 ? 2 ≤ a ≤ ? 1 , 2 ? a ? 6 . ………13 分 (17) (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:以 DA 所在直线为 x 轴,过 D 作 AC 的垂线为 y 轴,DB 所在直线为 z 轴建立 空间直角坐标系 则 A(1,0,0),C( ? 1, 0 , 0 ),E( - 1 ,- 1 ,0 ),A1( 1 ,- 2 ,0 ),C1( - 1 ,- 2 ,0 ),B( 0,0,
???? ? ??? ? ???? A E ? ( - 2, - 1, 0 ) , A1 D ? ( - 1 ,2 ,0 ) , B D ? ( 0 ,0 ,- 3 )
3)

∵ A E ? A1 D = 2 -2 + 0 = 0 ∴ A E ? A1 D
??? ???? ? AE ? BD ? 0 ? 0 ? 0 ?

??? ???? ? ?

………………………………………………2 分 …………………………………………4 分

3 ? 0 ∴ AE ? BD

又 A1D 与 BD 相交 ∴AE⊥面 A1BD (其它证法可平行给分) (Ⅱ)设面 DA1B 的法向量为 n1 ? ( x1 , y 1 , z 1 )
?? ? n1 ? 由 ? ?? ? n1 ? ???? ? ? A1 D ? 0 , ???? ? BD ? 0

……………………………………………………………5 分
??

?? ? ? x1 ? 2 y 1 ? 0 ? ? ? ,取 n1 ? ( 2 ,1, 0 ) ……………………………7 分 ? z1 ( ? 3 ) ? 0 ? ?? ?

设面 AA1B 的法向量为 n 2 ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,
?? ? ? n2 ? 则由 ? ?? ? ? n2 ? ???? ?? x ? 2 y ? ? A1 B ? 0 ? 2 2 ? ? ???? ? A1 A ? 0 ? 2 y2 ? 0 ?
6 5 ? 12 ? 15 5
15 5

3 z2 ? 0

,取 n 2 ? (3, 0 , 3 ) ………………9 分

?? ?

?? ?? ? c o s ? n1 ? n 2 ? ?

故二面角 D ? B A1 ? A 的余弦值为
????

…………………………………10 分
??

(Ⅲ) B1 B ? (0 , 2 , 0 ) ,平面 A1BD 的法向量取 n1 ? ( 2 ,1, 0 )
???? ?? B B ?n 2 5 则 B1 到平面 A1BD 的距离为 d ? | 1 ?? 1 | ? 5 n1

…………………………13 分

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11

(II)由题意知 l 的斜率存在且不为零, 设 l 方程为 x ? m y ? 2 ( m ? 0 )
x
2



将①代入

? y

2

? 1 ,整理得 ( m ? 2 ) y ? 4 m y ? 2 ? 0
2 2

…………………………8 分

2

由? ? 0 得m ? 2
2

?4m ? y ? y2 ? 2 ? 1 ? m ?2 设 E ( x 1 , y 1 ) , F ( x 2 , y 2 ) ,则 ? 2 ? y y ? 1 2 2 ? m ?2 ?



??? ? ??? ? 由已知 B F ? 2 B E ,即 y 2 ? 2 y 1 .

?4m ? 3 y1 ? 2 ? ? m ?2 代入②得, ? ………………10 分 2 ?2 y 2 ? 2 ? 1 m ?2 ?

消去 y 1 得

2

9 (m ? 2)
2

?

16 m

2 2

?

2 m ?2
2

解得 m ?
2

18 7

,满足 m ? 2 . 即 m ? ?
2

3 14 7

.

……………………………………12 分

所以,所求直线 l 的方程为 7 x ? 3 1 4 y ? 1 4 ? 0 或 7 x ? 3 1 4 y ? 1 4 ? 0 …………13 分 (19) (本小题满分 14 分) 解: (I) 直线 y ? x ? 2 的斜率为 1.函数 f ( x ) 的定义域为 (0 , ? ? ) , f ? ( x ) ? ? 以 f ? (1) ? ?
2 1
2

2 x
2

?

a x

,所

? 2 x

a 1

? ? 1 ,解得 a ? 1

……………………………………………2 分

所以 f ( x ) ?

? ln x ? 2

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12

f ?( x ) ?

x?2 x
2



2 2 a

? a ln

2 a

? 2 ? 2 ( a ? 1)

……………………………………………………………8 分

即 a ln

2 a

? a ,解得 0 ? a ?

2 e

.

所以 a 的范围是 ( 0 ,
2

2 e

)

……………………10 分

(III)依题得 g ( x ) ?

2 x

? ln x ? x ? 2 ? b ,则 g ? ( x ) ?

x ? x?2 x
2

.

由 g ? ( x ) ? 0 解得 x ? 1 ;由 g ? ( x ) ? 0 解得 0 ? x ? 1

…………………………11 分

所以函数 g ( x ) 在区间 (0, 1) 为减函数,在区间 (1, ? ? ) 为增函数.
? g ( e ) ≥ 0, ? ?1 又因为函数 g ( x ) 在区间 [ e , e ] 上有两个零点,所以 ? g ( e ) ≥ 0, ? g (1) ? 0 . ?
?1

………………13 分

解得 1 ? b ≤

2 e

? e ? 1 .所以 b 的取值范围是 (1,

2 e

? e ? 1] .

……………………14 分

(20) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)? S 1 ?
a a- 1 ( a 1 ? 1),

∴ a1 ? a ,
a a ?1 an ? a a ?1

…………………………………………1 分
an a n ?1

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ?

a n ?1 ,

? a



…………………2 分

即 { a n } 是等比数列. ∴ a n ? a ? a n ? 1 ? a n ;

………………………………4 分

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13

(III)证明:由(Ⅱ)知 a n ? ( ) n ,
3

1

所以 c n ?

1 1 n 1? ( ) 3
n

?

1 1 n ?1 1? ( ) 3
3
n ?1 n ?1

?

3
n

n

3 ?1

? 3

3

n ?1

n ?1

?1

?

3 ?1?1 3 ?1
n

?
1

?1?1 ?1
1 3 1
n ?1

?1?
1

1 3 ?1
n

?1? 3
1 ?1 )

1
n ?1

3
n ?1

?1
n

? 2?(
1 3
n ?1

1 3 ?1
n

? 3

1
n ?1

?1

)

……10 分



1 3 ?1
n

?

1 3
n

, 3
n

?1 ? 3

?



3 ?1
n

? 3
n

n ?1

?

1 3

?

,

所以 c n ? 2 ? (

1 3 +1

n ?1

?1

)? 2?(

1 3

? 3

1
n ?1

…………………………………11 分

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