等比数列的概念与性质练习题


等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 =
2

2 C. 2 D.2 2 2. 如果 ?1, a, b, c, ?9 成等比数列,那么( ) A、 b ? 3, ac ? 9 B、 b ? ?3, ac ? 9
A. B.

1 2

3、若数列 an ? 的通项公式是 an ? (?1)n (3n ? 2), 则a1 ? a2 ?

?

C、 b ? 3, ac ? ?9

D、 b ? ?3, ac ? ?9

? a10 ?

(A)15 (B)12 (C) ??? D) ??? 4.在等比数列{an}中,a2=8,a5=64, ,则公比 q 为( ) A.2 B.3 C.4 D.8 n 5..若等比数列{an}满足 anan+1=16 ,则公比为 A.2 B.4 C.8 A.4 B.2 C.-2 D.-4

D.16

6.若互不相等的实数 a , b, c 成等差数列, c, a , b 成等比数列,且 a ? 3b ? c ? 10 ,则 a ? 7.公比为 3 2 等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3a11 ? 16 ,则 log2 a16 =( A. 4
8.在等比数列



B. 5

C. ?

D. ?

?an ?中, a7 ? a11 ? 6, a4 ? a14 ? 5 ,则 a20
a10
B.

?(



2 3 或 3 2 9.等比数列 {an } 中,已知 a1a2 a12 ? 64 ,则 a4 a6 的值为(
A. C. A.16 B.24 C.48

2 3

3 2

D. - ) D.128

2 3 或- 3 2

10.实数 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 依次成等比数列,其中 a1 =2, a5 =8,则 a3 的值为(



A. -4
11.等比数列

B.4

C. ±4

D. 5

?an ? 的各项均为正数,且 a5a6 ? a4a7 =18,则 log3 a1 ? log3 a2 ?
B.10
2

? log3 a10 =

A.12

C. 8

D.2+ log3 5

12. 设函数 f ?x? ? ?x ? 1? ? n ? 1 ? x ? 3, n ? N * 的最小值为 an , 最大值为 bn , 则 cn ? bn A.公差不为零的等差数列 C.常数列 B.公比不为 1 的等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 )

?

?

2

ab ?n n

是(

)

13. 三个数 a, b, c 成等比数列,且 a ? b ? c ? m, m ? 0 ,则 b 的取值范围是( A. ?0, ? ? 3?

? m?

B. ?? m,? ? 3? ?

?

m?

C. ? 0,

? ?

m? ? 3?

D. ?? m,0? ? ? 0,

? ?

m? 3? ?


14.已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,则
15.已知 1, a1, a2, 4 成等差数列,1, b1, b2, b3, 4 成等比数列,则

a1 ? a3 ? a9 的值为 a 2 ? a 4 ? a10

a1 ? a 2 ? ______. b2

1

16.已知 an ? 2 ? ? ? ,把数列 {an } 的各项排成三角形状:

?1? ? 3?

n

a1 a 2 , a3 , a 4 a 5 , a 6 , a 7 , a8 , a 9 ??

记 A?m, n ?表示第 m 行,第 n 列的项,则 A?10,8? =_______.
17.设二次方程 an x
2

? an?1x ?1 ? 0(n ? N ? ) 有两个实根 ? 和 ? ,且满足 6? ? 2?? ? 6? ? 3 .

(1)试用 an 表示 an ?1 ; (2)求证: {an ? } 是等比数列; (3)当 a1 ?

2 3

7 时,求数列 {an } 的通项公式. 6

18.已知两个等比数列 ?an ? 、 ?bn ? 满足 a1 ? a?a ? 0? , b1 ? a1 ? 1, b2 ? a2 ? 2, b3 ? a3 ? 3 . (1)若 a ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?an ? 唯一,求 a 的值.

2

等比数列的概念与性质练习题参考答案 1.B【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q
2 8

?

4 2

? ,即 q

2

? 2 ,又因为等比数列 {an } 的公比为正数,

所以 q ? 2.B 3.A

2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ,选 B ? ? q 2 2

4. A

5。B

6. D解析 由互不相等的实数 a , b, c 成等差数列可设a=b-d,c=b+d,由 a ? 3b ? c ? 10 可得b=2, 所以a=2-d,c=2+d,又 c, a , b 成等比数列可得d=6,所以a=-4,选D
2 7.【解析】 a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a16 ? a7 ? q9 ? 32 ? log2 a16 ? 5 .

8.C

9.A

10.B

11.B
2 2

12.【解析】选 A.由已知得 an=f(1)=n,bn=f(-1)=f(3)=n+4,∴cn=bn -anbn=(n+4) -n(n+4)=4n+16,显然{cn}是 公差为 4 的等差数列。 13.【分析】应用等比数列的定义和基本不等式。选 D。 14.
15.

13 16

5 ; 解析: ∵ 1, a1, a2, 4 成等差数列, ∴a1 ? a2 ? 1 ? 4 ? 5 ; ∵ 1, b1, b2, b3, 4 成等比数列, ∴b22 ? 1? 4 ? 4 , 2
又 b2 ? 1? q2 ? 0 ,∴b2 ? 2 ;∴

5 a1 ? a 2 ? ; b2 2
89

1? 2 16.前 m 项共有 m 个项, 前 9 项共用去 81 项,A?10,8? 为第 10 行第 8 个数, 即 n ? 89 时 A?10,8? ? 2 ? ? ? ? 。 ? 3?
17.(1)解析: ?

?? ?

an?1 6a 1 2 , ?? ? ,而 6? ? 2?? ? 6? ? 3 ,得 n ?1 ? ? 3 , an an an an

1 1 an ? ; 2 3 1 1 2 1 2 2 (2)证明:由(1) an ?1 ? an ? ,得 an ?1 ? ? (an ? ) ,所以 {an ? } 是等比数列; 2 3 3 2 3 3 7 2 7 2 1 1 (3)解析:当 a1 ? 时, {an ? } 是以 ? ? 为首项,以 为公比的等比数列, 6 2 3 6 3 2 2 1 1 n ?1 2 1 n an ? ? ? ( ) ,得 an ? ? ( ) (n ? N ? ) . 3 2 2 3 2
即 6an?1 ? 2 ? 3an ,得 an ?1 ? 18.【分析】 (1)设{an}的公比为 q,则 b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq =3+q . 由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+q) =2(3+q ),即 q -4q+2=0,解得 q1=2+ 2,q2=2- 2, 所以{an}的通项公式为 an=(2+ 2)
n-1
2 2 2 2 2

或 an=(2- 2)
2

n-1

.
2 2

(2)设{an}的公比为 q,则由(2+aq) =(1+a)(3+aq ),得 aq -4aq+3a-1=0.(*)由 a>0 得,Δ =4a +

2

3

1 4a>0 ,故方程(*)有两个不同的实根,由{an}唯一,知方程(*)必有一根为 0,代入(*)得 a= . 3 19.数列 {an } 为等差数列, an 为正整数,其前 n 项和为 Sn ,数列 {bn }为等比数列,且 a1 ? 3, b1 ? 1 ,数列

{ban } 是公比为 64 的等比数列, b2 S2 ? 64 .
(1)求 an , bn ; (2)求证

1 1 ? ? S1 S2

?

1 3 ? . Sn 4

19.解: (1)设 {an } 的公差为 d , {bn }的公比为 q ,则 d 为正整数,

an ? 3 ? (n ?1)d , bn ? qn?1
? ban?1 q 3? nd ? 3? ( n ?1) d ? q d ? 64 ? 26 ? q 依题意有 ? ban ① ? S2b2 ? (6 ? d )q ? 64 ? 由 (6 ? d )q ? 64 知 q 为正有理数,故 d 为 6 的因子 1, 2,3, 6 之一, 解①得 d ? 2, q ? 8
故 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ?1, bn ? 8n?1 (2) Sn ? 3 ? 5 ?

? (2n ? 1) ? n(n ? 2) 1 1 1 1 1 1 ∴ ? ? ? ? ? ? ? S1 S2 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2 1 1 1 1 3 ? (1 ? ? ? )? 2 2 n ?1 n ? 2 4

?

1 n(n ? 2)

4


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