河北省衡水第二中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案(数理化网)


衡水市第二中学 15--16 学年上学期考试 高三年级数学(理科)试题 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项 中,只有一项符合题目要求。 ) 1.复数 z ?

3 ? ai 在复平面内对应的点在第三象限是 a≥0 的( i
2 2



A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.设集合 A={x|x ﹣(a+3)x+3a=0},B={x|x ﹣5x+4=0},集合 A∪B 中所有元素之和为 8, 则实数 a 的取值集合为 ( ) A.{0} B.{0,3} C.{1,3,4} D.{0,1,3,4} 3.已知命题 p:函数 f(x)=|sin x﹣ |的最小正周期为 π ; 命题 q:若函数 f(x+1)为偶函数,则 f(x)关于 x=1 对称.则 下列命题是真命题的是( ) A.p∧q B.p∨q C. (¬p)∧(¬q) D.p∨(¬q) 4. 某几何体的三视图如右图, 若该几何体的所有顶点都在一个 球面上,则该球面的表面积为 A. 4? C.
3 正视图 1 1 俯视图 侧视图
2

2

2

28 ? B. 3
D. 20?

44 ? 3

5.已知两条不重合的直线 m、n 和两个不重合的平面 α 、β ,有下列命题: ①若 m⊥n,m⊥α ,则 n∥α ; ②若 m⊥α ,n⊥β ,m∥n,则 α ∥β ;

③若 m、n 是两条异面直线,m ? α ,n ? β ,m∥β ,n∥α ,则 α ∥β ; ④若 α ⊥β ,α ∩β =m,n ? β ,n⊥m,则 n⊥α .其中正确命题的个数是( ) A 1 6..函数 y ? A.1 B 2 C 3 D 4

a ? a x ? a ? 0, a ? 0 ? 的定义域和值域都是 ?0,1? ,则 log a
B.2 C.3 D. 4

5 ?log 6

a

48 ?( ) 5

7.下列三个数: a ? ln

A.a ? c ? b

3 3 ? , b ? ln ? ? ? , c ? ln 3 ? 3 ,大小顺序正确的是( ) 2 2 B.a ? b ? c C .a ? c ? b D.b ? a ? c

8.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 的图象如下图所示, 为了得到 g ( x) ? ? A cos?x 的图像, 可以 将 f ( x) 的图像 ()

? 个单位长度 12 ? C.向左平移 个单位长度 12
A.向右平移

5? 个单位长度 12 5? D.向左平移 个单位长度 12
B.向右平移
*

9.在数列{an}中,若对任意的 n 均有 an+an+1+an+2 为定值(n∈N ) ,且 a7=2,a9=3,a98=4,则 数列{an}的前 100 项的和 S100=( ) A.132 B.299 C.68 D.99 10. 如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, BC=AC ,AC1⊥A1B,M,N 分别是 A1B1,AB 的中点, 给出下列结论:①C1M⊥平面 A1ABB1,②A1B⊥NB1 ,③平面 AMC1⊥平面 CBA1 , 其中正确 结论的个数为 ( )

? ? ? ? ? ? ? ? ? 11.设 a, b 为单位向量,若向量 c 满足 c ? (a ? b) ? a ? b ,则 c 的最大值是(
A. 2 2 B.2 C. 2 D.1 12.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,其导函数为 f ?( x ) ,若 f ?( x) ? f ( x) ,且

A.0

B.1

C.2

D.3



f ( x ? 1) ? f (3 ? x) , f (2015) ? 2 ,则不等式 f ( x) ? 2e x?1 的解集为(
A. (1, ??) B. (e, ??) C. ( ??, 0)

) D. (??, )

1 e

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

? ?? 4 ? 13.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为______ 6? 5 12 ?
?x ? y ? 1 ? 14.已知 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 若目标函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 的最大值 ?2 x ? y ? 2 ?
为7,则

3 4 ? 的最小值为_________. a b
a﹣2csinA=0.若 c=2,

15.在锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 则 a+b 的最大值为 . 16. f ( x) ?

2 3 且切点的横坐标都大于零, x ? x2 ? ax ? 1 己知曲线存在两条斜率为 3 的切线, 3

则实数 a 的取值范围为

三、解答题:解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 10 分)(1)已知函数 f(x)=|x-1|+|x-a|.若不等式 f(x)≥a 恒成立,求实数 a 的取值范围. (2) .如图,圆 O 的直径为 AB 且 BE 为圆 O 的切线,点 C 为圆 O 上不同于 A、B 的一点,AD 为∠BAC 的平分线,且分别与 BC 交于 H,与圆 O 交于 D,与 BE 交于 E,连结 BD、CD. (Ⅰ)求证:∠DBE=∠DBC; (Ⅱ)若 HE=4,求 ED.

18. ( 本 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a , b, c , 且

a2 ? (b ? c)2 ? (2 ? 3)bc , sin A sin B ? cos
? 4 ? ? ? 的前 n 项和 S n ? a n a n ?1 ?

2

C , (1)求角 B 的大小; 2

( 2 )若等差数列 {an } 的公差不为零,且 a1 cos2B =1 ,且 a 2、a 4、a8 成等比数列,求

19.(本小题满分 12 分)已知数列{an}是等比数列,首项 a1=1,公比 q>0,其前 n 项和为 Sn, 且 S1+a1,S3+a3,S2+a2 成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足 an+1= ( 最大值.

1 anbn ) ,T 为数列{b }的前 n 项和,若 T ≥m 恒成立,求 m 的 2
n n n

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2 (1)当 x∈ (0,

sinxcosx﹣3sin x﹣cos x+3.

2

2

?
2

) 时,求 f(x)的值域;
, =2+2cos

(2)若△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 = (A+C) ,求 f(B)的值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a) ln x ?

1 ? 2ax . x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ) 当 a ? 0 时,讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)若对任意的 a ? (?3, ?2), x1, x2 ??1.3? 恒有 (m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立, 求实数 m 的取值范围.

22、(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 0) . x

(I)函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上是增函数还是减函数?证明你的结论; (II)当 x ? 0 时, f ( x) ?

k 恒成立,求整数 k 的最大值; x ?1
2 n ?3

(III)试证明: (1 ? 1 ? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? (1 ? 3 ? 4) ?? ? (1 ? n( n ? 1)) ? e

.

衡水市第二中学 15--16 学年上学期考试 高三年级数学(理科)试题答案 ADBBC 13. CABBD AA 15.解答:解: 由 a﹣2csinA=0 及正弦定理, 得 ﹣2sinCsinA=0

17 2 14.7 50

(sinA≠0) , ∴ ,∵△ABC 是锐角三角形,∴C=
2 2

.∵c=2,C=
2

,由余弦定理, , 化为 (a+b)

, 即 a +b ﹣ab=4, ∴ (a+b)=4+3ab
2

≤16, ∴a+b≤4, 当且仅当 a=b=2 取 “=” , 故 a+b 的最大值是 4. 故答案为: 4. 16. (3, )

7 2

17.【解析】 (1)由不等式的性质得: f ? x ? ? a ?1 ,要使不等式 f ( x) ? a 恒成立,则只要

a ? 1 ? a ,解得: a ?

1 1? ? ,所以实数 a 的取值范围为 ? ? ?, ? 2 2? ?

?4 分

(2) . (Ⅰ)证明:∵BE 为圆 0 的切线,BD 为圆 0 的弦,∴根据弦切角定理知∠DBE=∠DAB? 由 AD 为∠DAB=∠DAC 的平分线知∠DAB=∠DAC,又∠DBC=∠DAC,∴∠DBC=∠DAB∴∠DBE=∠ DBC?(7 分) (Ⅱ)解:∵⊙O 的直径 AB∴∠ADB=90°,又由(1)得∠DBE=∠DBH,∵HE=4,∴ED=2.? 10 分
2 18 、 【 解 】 : ( 1 ) 由 a2 ? ( b ? ) c
2 b2 ? c ? a 2 3 ? 2bc 2

? ( 2?

2 3 b )c a , ? 2 b?2 c ? 所? 以 3 b c

c oAs?





0 ? A ? ? ,? A ?

?
6



c 1 1 ? cos C sin A sin B ? cos 2 , sin B ? , sin B ? 1 ? cos C ,? cos C ? 0 ,则 C 为钝角。 2 2 2 5 5 ? B ? C ? ? , 则 s i ?n ? C( ? ? C )? 1 C ?c ? o? s , c 解 o得 s 6 6 3 2 ? C ? ? ,? B ? 。…6 分 3 6
(2) 设 {an } 的 公 差 为 d , 由 已 知 得 a1 ?

(

)

1 ?2 , c o As



2 a4 ? a2 ? a8 .∴ (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? d )(a1 ? 7d ) .

又d ? 0,

∴d ? 2.

∴ an ? 2n .

??9 分 ∴

4 1 1 1 ? ? ? . an an?1 n(n ? 1) n n ? 1
????12 分

∴ S n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ?

1 2

1 1 2 3

1 1 3 4

1 n

1 n 1 ? ) ? 1? n ?1 n ?1 n ?1

19.解答:

解: (Ⅰ) 法一: 由题意可知: 2 (S3+a3) = (S1+a1) + (S2+a2) ∴S3﹣S1+S3﹣S2=a1+a2 ,∵q>0,∴ ;∵a1=1,∴ .

﹣2a3,即 4a3=a1,于是

(Ⅰ)法二:由题意可知:2(S3+a3)=(S1+a1)+(S2+a2)当 q=1 时,不符合题意; 当 q≠1 时, ,∴2(1+q+q +q )=2+1+q+q,∴4q =1,
2 2 2



, ,∵a1=1,∴ .

∵q>0,∴

(Ⅱ)∵ ∴ ∴(1)﹣(2)得:

,∴ (1) ∴

,∴

, (2)

=



∵Tn≥m 恒成立, 只需 (Tn) min≥m∵ ∴{Tn}为递增数列,∴当 n=1 时, (Tn)min=1,∴m≤1,∴m 的最大值为 1. 20.解答: 解: (1)∵f(x)=2 +3 sinxcosx﹣3sin x﹣cos x+3=
2 2

sin2x﹣3?



=

sin2x﹣cos2x+1=2sin(2x+

)+1,∵x∈ (0,

?
2

) ,∴2x+

∈(

, )

,?6 分

∴sin(2x+ (2)∵

)∈(

,1],∴f(x)=2sin(2x+

)+1∈(0,3];?6 分

=2+2cos(A+C) ,∴sin(2A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C) ,

∴sinAcos(A+C)+cosAsin(A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C) ,∴﹣sinAcos(A+C)+cosAsin (A+C)=2sinA,即 sinC=2sinA,由正弦定理可得 c=2a,又由 = 可得 b= a,由余弦定

理可得 cosA=

=

=

,∴A=30°,由正弦定理可得

sinC=2sinA=1,C=90°,由三角形的内角和可得 B=60°,∴f(B)=f(60°)=2 12 分 21.(Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) . f ?( x) ? ? 得 x1 ?

?

1 1 ? 4 ,令 f ?( x) ? ? 2 ? 4 =0 , 2 x x

1 1 ; x2 ? ? (舍去) . 2 2

2分

当 x 变化时, f ? ? x ? , f ( x) 的取值情况如下:

x
f ? ? x?
f ( x)

1 (0, ) 2
— 减

1 2
0 极小值

1 ( , ??) 2

?


1 4分 2 1 1 2?a 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2 ? 2a ? (Ⅱ) f ?( x) ? ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? , x2 ? ? , 2 2 a x x x
所以,函数 f ( x) 的极小值为 f ( ) ? 4 ,无极大值. 当 a ? ?2 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 的在定义域 (0, ??) 单调递增; 5 分 当 ?2 ? a ? 0 时,在区间 (0, ) , ( ?

1 2

1 , ??) ,上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, a
7分

在区间 ( , ? ) ,上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;

1 2

1 a

当 a ? ?2 时,在区间 (0, ? ) , ( , ??) ,上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, 在区间 ( ?

1 a

1 2

1 1 , ) ,上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. a 2

8分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知当 a ? (?3, ?2) 时,函数 f ( x) 在区间 ?1.3? 单调递减;所以,当 x ??1.3? 时,

1 f ( x)max ? f (1) ? 1 ? 2a , f ( x)min ? f (3) ? (2 ? a) ln 3 ? ? 6a 3

10 分

问题等价于: 对任意的 a ? (?3, ?2) , 恒有 (m ? ln 3) a ? 2ln 3 ? 1 ? 2 a ? (2 ? a) ln 3 ? 成立,即 am ?

1 ?6 a 3

2 2 2 ? 4a ,因为 a<0,? m ? ? 4 ,? m ? ( ? 4) min 所以,实数 m 的取 3 3a 3a 13 ? . 12 分 值范围是 (?? ,? 3 1 [ ? ln( x ? 1)] ? 0, ..2 分 22.试题解析: (Ⅰ)由题 x ? 0, f ?( x) ? ? x ? 1 2 x
故 f ( x) 在区间 (0, ??) 上是减函数;????3 分


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