【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量章末优化总结 新人教A版必修4


章末优化总结

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)

平面向量的概念与性质 理解向量、共线向量、相等向量、单位向量、向量的模、夹角等概念.突显向量“形” 的特征是充分运用向量并结合数学对象的几何意义解题的重要前提. 关于平面向量 a,b,c 有下列三个命题: ①若 b⊥c,则(a+c)?b=a?b; ②若 a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则 k=-3; ③非零向量 a 和 b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 60°. 其中真命题的序号为________.(写出所有真命题的序号) [解析] ①因为 b⊥c,所以 b?c=0,所以(a+c)?b=a?b+c?b=a?b; 1 k ②a∥b,且 a≠0? b=λ a? = ? k=-3; -2 6 ③|a|=|b|=|a-b|? a,b,a-b 构成等边三角形,a 与 a+b 的夹角应为 30°. 所以真命题为①②. [答案] ①②

平面向量的线性运算
1

1.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算,通常叫作向量的线性运算,主要是运用 它们的运算法则、运算律,解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题. 2. 理解向量的有关概念[如平行向量(共线向量)、 相等与相反向量、 平面向量基本定理、 单位向量等]及其相应运算的几何意义,并能灵活应用基向量、平行四边形法则、三角形法 则等,是求解有关向量线性运算问题的基础. → → → 1→ 如图,在△ABC 中,AQ=QC,AR= AB,BQ 与 CR 相交于点 I,AI 的延长线与边 BC 3 交于点 P. → → → → (1)用AB和AC分别表示BQ和CR; → → → → → (2)如果AI=AB+λ BQ=AC+μ CR,求实数 λ 和 μ 的值; (3)确定点 P 在边 BC 上的位置.

→ 1→ → → → → 1→ → 1→ → → → [解] (1)由AQ= AC,可得BQ=BA+AQ=-AB+ AC,又AR= AB,所以CR=CA+AR=- 2 2 3 1 → → AC+ AB. 3 → → 1→ → → 1→ (2)将BQ=-AB+ AC,CR=-AC+ AB, 2 3 → → → → → 代入AI=AB+λ BQ=AC+μ CR, → ? → 1→? → ? → 1→? 则有AB+λ ?-AB+ AC?=AC+μ ?-AC+ AB?, 2 ? 3 ? ? ? 1 1 → → → → 即(1-λ )AB+ λ AC= μ AB+(1-μ )AC. 2 3 1 4 1-λ = μ , λ = 3 5 所以 解得 1 3 λ =1-μ , μ = . 2 5 → → → → (3)设BP=mBC,AP=nAI. → 1→ 2→ 由(2),知AI= AB+ AC, 5 5 → → → → → ?1→ 2→? → 2n→ ?n ?→ 所以BP=AP-AB=nAI-AB=n? AB+ AC?-AB= AC+? -1?AB 5 ? 5 ?5 ?5 ? → → → =mBC=mAC-mAB, n 2 -m= -1, m= , 5 3 所以 解得 2n 5 m= , n= . 5 3 BP → 2→ 所以BP= BC,即 =2.即点 P 是 BC 上靠近点 C 的三等分点. 3 PC

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

平面向量的数量积

2

求平面向量的数量积的方法有两个:一个是根据数量积的定义,另一个是根据坐标.定 义法是 a?b=|a||b|?cos θ ,其中 θ 为向量 a,b 的夹角;坐标法是 a=(x1,y1),b= (x2,y2)时,a?b=x1x2+y1y2.利用数量积可以求长度,也可判断直线与直线的关系(相交的 夹角以及垂直),还可以通过向量的坐标运算转化为代数问题解决. (1)设单位向量 m=(x,y),b=(2,-1).若 m⊥b,则|x+2y|=________. (2)已知两个单位向量 a,b 的夹角 θ 为 60°,c=ta+(1-t)b,若 b?c=0,则 t= ________. [解析] (1)因为单位向量 m=(x,y), 2 2 则 x +y =1.① 若 m⊥b, 则 m?b=0,即 2x-y=0.② 1 2 由①②解得 x = , 5 5 ,|x+2y|=5|x|= 5. 5 (2)法一:因为 b?c=0, 所以 b?[ta+(1-t)b]=0, 2 即 ta?b+(1-t)b =0. 又因为|a|=|b|=1,θ =60°, 1 所以 t+1-t=0,所以 t=2. 2 法二:由 t+(1-t)=1 知向量 a,b,c 的终点 A、B、C 共线,在平面直角坐标系中设 3? 3? ?1 ?3 a=(1,0),b=? , ?,则 c=? ,- ?. 2 ? ?2 2 ? ?2 把 a、b、c 的坐标代入 c=ta+(1-t)b,得 t=2. 所以|x|=

[答案] (1) 5

(2)2

平面向量的应用 平面向量的应用主要体现在两个方面, 一是在平面几何中的应用, 向量的加法运算和平 行,数乘向量和相似,距离、夹角和数量积之间有着密切联系,因此利用向量方法可以解决 平面几何中的相关问题.二是在物理中的应用,主要是解决力、位移、速度等问题. 如图所示,G 为△AOB 的中线 OM 的中点,过点 G 作直线分别交 OA,OB 于点 P,Q, OP OQ 1 1 设 =m, =n,试推断 + 是否为定值.

OA

OB

m n

→ → [解] 设OA=a,OB=b,

3

→ 1→ 则OG= OM= 2 1 → → 1 1 (OA+OB)= a+ b. 4 4 4 → → → 1 1 所以PG=OG-OP= a+ b-ma 4 4 1 1 ? ? =? -m?a+ b. ?4 ? 4 → → → → → PQ=OQ-OP=nOB-mOA=nb-ma. → → → → 因为PG与PQ共线,所以PG=λ PQ(λ ∈R), ?1 ? 1 即? -m?a+ b=λ (nb-ma). ?4 ? 4 1 -m=-λ m, 4 所以 1 =λ n. 4 1 m 1 1 消去 λ 得 -m=- ? -1=- . 4 4n 4m 4n 1 1 所以 + =4 为定值.

? ? ? ? ?

m n

质量 m=2.0 kg 的木块在平行于斜面向上的拉力 F=10 N 的作用下,沿斜面角 θ 2 =30°的光滑斜面向上滑行|s|=2.0 m 的距离,如图所示(g 取 9.8m/s ).

(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功; (2)在这一过程中,物体所受各力对物体做的功的代数和是多少; (3)求物体所受合外力对物体所做的功,并指出它与物体所受各个力对物体做功的代数 和之间有什么关系. [解] (1)木块受三个力的作用,重力 G,拉力 F 和支持力 FN,如题图所示,拉力 F 与 位移 s 方向相同,所以拉力对木块所做的功为 WF=F?s=|F||s|cos 0°=20(J). 支持力对木块所做的功为 WFN =FN?s=0. 重力 G 对物体所做的功为 WG=G?s=|G||s|cos(90°+θ )=-19.6(J). (2)物体所受各力对物体做功的代数和为 W=WF+WFN +WG=0.4(J). (3)物体所受合外力的大小为|F 合|=|F|-|G|sin 30°=0.2(N). 所以,物体所受合外力对物体所做的功为 W=F 合?s=0.4(J). 所以,物体所受合外力对物体所做的功,与物体所受各力对物体做功的代数和相等. → → → → 1.O 为平面上的一个定点,A、B、C 是该平面上不共线的三点, 若(OB-OC)?(OB+OC- → 2OA)=0,则△ABC 是( ) A.以 AB 为底边的等腰三角形 B.以 BC 为底边的等腰三角形
4

C.以 AB 为斜边的直角三角形 D.以 BC 为斜边的直角三角形 → → → → → → → → 解析:选 B.由题意知(OB-OC)?(OB+OC-2OA)=CB?(AB+AC)=0,如图所示,

→ → → 其中AB+AC=2AD(点 D 为线段 BC 的中点),所以 AD⊥BC,即 AD 是 BC 的中垂线,所以 AB=AC,即△ABC 为等腰三角形.故选 B. 2 2. 已知 e 为单位向量, |a|=4, a 与 e 的夹角为 π , 则 a 在 e 方向上的投影为________. 3 2π 解析:根据定义知 a 在 e 方向上的投影为|a|cos =-2. 3 答案:-2 1? ? 3.已知向量 a=(6,2),b=?-4, ?,直线 l 过点 A(3,-1)且与向量 a+2b 垂直, 2? ? 则直线 l 的方程为________. 1? → ? 解析: 设 B(x, y)为 l 上任意一点, 则AB=(x-3, y+1), 又 a+2b=(6, 2)+2?-4, ? 2 ? ? → =(-2,3),由题意得AB?(a+2b)=0,所以(x-3,y+1)?(-2,3)=-2(x-3)+3(y +1)=0,即 2x-3y-9=0. 答案:2x-3y-9=0 4.设向量 a,b 满足|a|=|b|=1,且|2a-b|= 5. (1)求|2a-3b|的值; (2)求 3a-b 与 a-2b 的夹角. 2 2 2 解:(1)因为|2a-b| =4a -4a?b+b =4-4a?b+1=5, 所以 a?b=0. 2 2 2 因为|2a-3b| =4a +9b =4+9=13, 所以|2a-3b|= 13. (2)设 3a-b 与 a-2b 的夹角为 θ , 2 2 (3a-b)?(a-2b) 3a +2b 5 2 则 cos θ = = = = , |3a-b|?|a-2b| 2 10? 5 5 2 π 又因为 θ ∈[0,π ],所以 θ = 为所求. 4 → → 5.如图,平行四边形 ABCD 中,AB=a,AD=b,H、M 分别是 AD、DC 的中点,BC 上一点 1 F 使 BF= BC. 3

→ → (1)以 a、b 为基底表示向量AM与HF; → → (2)若|a|=3,|b|=4,a 与 b 的夹角为 120°,求AM?HF.

5

→ → → 1 解:(1)由已知得AM=AD+DM= a+b. 2 1 2 1 → → → → HF=HD+DC+CF= b+a+(- b)=a- b. 2 3 6 1 (2)由已知得 a?b=|a||b|cos 120°=3?4?(- ) 2 =-6, 1 1 1 11 1 1 11 1 → → 2 2 2 2 从而AM?HF=( a +b)?(a - b)= |a| + a?b - |b| = ?3 + ?(-6)- ?4 2 6 2 12 6 2 12 6 11 =- . 3

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[学生用书单独成册])

(时间:100 分钟,分数:120 分) 一、选择题(本大题共有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每个小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1.下列说法正确的是( ) A.共线向量的方向相同 B.零向量是 0 C.长度相等的向量叫做相等向量 D.共线向量是在一条直线上的向量 解析:选 B.对 A,共线向量的方向相同或相反,错误;对 B,零向量是 0,正确;对 C, 方向相同且长度相等的向量叫做相等向量,错误;对 D,共线向量所在直线可能平行,也可 能重合,错误.故选 B. → 4→ → 2.已知 A、B、D 三点共线,存在点 C,满足CD= CA+λ CB,则 λ =( ) 3 2 1 A. B. 3 3 1 2 C.- D.- 3 3 → → → → → → 解析: 选 C.因为 A, B, D 三点共线, 所以存在实数 t, 使AD=tAB, 则CD-CA=t(CB-CA), 4 ? ?1-t= , → → → → → → 3 即 λ =-1. 即CD=CA+t(CB-CA)=(1-t)CA+tCB,所以? 3 ? ? t= λ , 3.已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数,(a+λ b)∥c,则 λ =( ) 1 1 A. B. 4 2 C.1 D.2 解析:选 B.a+λ b=(1+λ ,2),由(a+λ b)∥c 得(1+λ )?4-3?2=0,所以 λ = 1 . 2 → → → → → → 4.已知点 O,N 在△ABC 所在平面内,且|OA|=|OB|=|OC|,NA+NB+NC=0,则点 O, N 依次是△ABC 的( ) A.重心,外心 B.重心,内心
6

C.外心,重心

D.外心,内心

→ → → → → → → → 解析:选 C.由|OA|=|OB|=|OC|知,O 为△ABC 的外心;由NA+NB+NC=0,得AN=NB+ → → → → → NC,取 BC 边的中点 D,则AN=NB+NC=2ND,知 A、N、D 三点共线,且 AN=2ND,故点 N 是 △ABC 的重心. ?π ? 5.已知向量 a=(cos θ ,sin θ ),其中 θ ∈? ,π ?,b=(0,-1),则 a 与 b 的夹 ?2 ? 角等于( ) π π A.θ - B. +θ 2 2 3π C. -θ D.θ 2 解析:选 C.设 a 与 b 的夹角为 α ,a?b=cos θ ?0+sin θ ?(-1)=-sin θ ,|a| a?b 3π ?π ? =1,|b|=1,所以 cos α = =-sin θ =cos( -θ ),因为 θ ∈? ,π ?,α ∈ |a||b| 2 ?2 ? [0,π ], 3π y=cos x 在[0,π ]上是递减的,所以 α = -θ ,故选 C. 2 → → → 6.已知等边三角形 ABC 的边长为 1,BC=a,CA=b,AB=c,则 a?b-b?c-c?a 等 于( ) 3 3 A.- B. 2 2 1 1 C.- D. 2 2 解析:选 D.由平面向量的数量积的定义知, a?b-b?c-c?a=|a||b|cos(π -C)-|b||c|cos(π -A)-|c||a|cos(π -B) 1 =cos(π -C)-cos(π -A)-cos(π -B)=-cos C+cos A+cos B=cos 60°= .故 2 选 D. 7.已知平面向量 a,b,|a|=1,|b|= 3,且|2a+b|= 7,则向量 a 与向量 a+b 的 夹角为( ) π π A. B. 2 3 π C. D.π 6 解析:选 B.因为|2a+b| =4|a| +4a?b+|b| =7,|a|=1,|b| = 3, 所以 4+4a?b+3=7,a?b=0,所以 a⊥b.如图所示,a 与 a+ |CA| b 的夹角为∠COA,因为 tan∠COA= = 3, |OA| π π 所以∠COA= ,即 a 与 a+b 的夹角为 . 3 3 → → 8. 在△ABC 中, ∠BAC=60°, AB=2, AC=1, E, F 为边 BC 的三等分点, 则AE?AF=( 5 5 A. B. 3 4 10 15 C. D. 9 8 )
2 2 2

7

→ 1→ → → → → 1 → → 解析:选 A.依题意,不妨设BE= EC,BF=2FC,则有AE-AB= (AC-AE), 2 2 2 1 → → → 即AE= AB+ AC; 3 3 → → → → → 1→ 2→ AF-AB=2(AC-AF),即AF= AB+ AC. 3 3 2 1 1 2 → → → → → → 所以AE?AF=( AB+ AC)?( AB+ AC) 3 3 3 3 1 → → → → = (2AB+AC)?(AB+2AC) 9 1 →2 →2 → → = (2AB +2AC +5AB?AC) 9 1 5 2 2 = (2?2 +2?1 +5?2?1?cos 60°)= ,故选 A. 9 3 9.已知非零向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,向量 a,b 的夹角为 60°,且|b|=|a|=1, 则向量 a 与 c 的夹角为( ) A.60° B.30° C.120° D.150° 解析:选 D.因为 a+b+c=0,所以 c=-(a+b), 2 2 2 2 所以|c| =(a+b) =a +b +2a?b=2+2cos 60°=3,所以|c|= 3. 3 2 又 c?a=-(a+b)?a=-a -a?b=-1-cos 60°=- , 2 3 - 2 a?c 3 设向量 c 与 a 的夹角为 θ ,则 cos θ = = =- , |a||c| 2 3?1 因为 0°≤θ ≤180°,所以 θ =150°. 1 → → → 10.在△ABC 中,AC=6,BC=7,cos A= ,O 是△ABC 的内心,若OP=xOA+yOB,其 5 中 0≤x≤1,0≤y≤1,则动点 P 的轨迹所覆盖的面积为( ) 10 5 A. 6 B. 6 3 3 10 20 C. D. 3 3 → → → 解析:选 A.如图,因为OP=xOA+yOB,其中 0≤x≤1,0≤y≤1,所以 动点 P 的轨迹所覆盖的区域是以 OA,OB 为邻边的平行四边形 OAMB,则动点 P 的轨迹所覆盖的面积 S=AB?r,r 为△ABC 的内切圆的半径. → → → 在△ABC 中,由向量的减法法则得BC=AC-AB, →2 → → 2 → 2 → 2 → 2 → → 所以BC =(AC-AB) ,即|BC| =|AC| +|AB| -2|AC||AB|cos A, 1 → 2 → 2 2 由已知得 7 =6 +|AB| -12?|AB|? , 5 → 2 → → 所以 5|AB| -12|AB|-65=0,所以|AB|=5. 1 所以 S△ABC= ?6?5?sin A=6 6,又 O 为△ABC 的内心,故 O 到△ABC 各边的距离均 2 为 r, 1 此时△ABC 的面积可以分割为三个小三角形的面积的和,所以 S△ABC= (6+5+7)?r, 2

8

1 即 (6+5+7)?r=6 6, 2 2 6 2 10 所以 r= ,故所求的面积 S=AB?r=5? 6= 6. 3 3 3 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上) 11. 已知向量 a=(2, 3), b=(-1, 2), 若 ma+4b 与 a-2b 共线, 则 m 的值为________. 解析:ma+4b=(2m-4,3m+8),a-2b=(4,-1),因为 ma+4b 与 a-2b 共线, 所以-1(2m-4)=4(3m+8),解得 m=-2. 答案:-2

→ → → → → 12.如图,在四边形 ABCD 中,AC 和 BD 相交于点 O,设AD=a,AB=b,若AB=2DC,则AO =________(用向量 a 和 b 表示). μ → → → → ? 1 ? 解析:因为AO=μ AC=μ (AD+DC)=μ ?a+ b?=μ a+ b. 2 ? 2 ? μ 2 → 2 1 因为 μ + =1,解得 μ = .所以AO= a+ b. 2 3 3 3 2 1 答案: a+ b 3 3 13.已知两点 A(-1,0),B(-1, 3),O 为坐标原点,点 C 在第一象限,且∠AOC= → → → 120°.设 OC=-3OA+λ OB(λ ∈R),则 λ =________. → 解析: 由题意, 得OC=-3(-1, 0)+λ (-1, 3)=(3-λ , 3λ ), 因为∠AOC=120°, → → OA?OC 1 λ -3 1 3 所以 =- ,即 =- ,解得 λ = . 2 2 → → 2 2 2 (3-λ ) +3λ |OA||OC| 3 答案: 2 14.已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°,点 E,F 分别在边 BC、DC 上,BC=3BE, → → DC=λ DF.若AE?AF=1,则 λ 的值为________. → → → → 1→ → → → → 1 → 解析:因为AE=AB+BE=AB+ AD,AF=AD+DF=AD+ AB, 3 λ → → → 1→ → 1→ 所以AE?AF=(AB+ AD)?(AD+ AB) 3 λ 1 →2 1+3λ → → 1→2 = AB + AD?AB+ AD λ 3λ 3 4 1+3λ 4 10-2λ = + ?2?2?cos 120°+ = =1. λ 3λ 3 3λ 解得 λ =2. 答案:2 π 15. 若将向量 a=(1, 2)绕原点按逆时针方向旋转 得到向量 b, 则 b 的坐标是________. 4

9

解析:如图,设 b=(x,y), 则|b|=|a|= 5, π 2 5 2 a?b=|a||b|?cos = 5? 5? = , 4 2 2 5 2 2 2 又 x +y =5,a?b=x+2y,得 x+2y= , 2 解得 x=- 故 b=?- 2 3 2 3 2 2 ,y= (舍去 x= ,y= ). 2 2 2 2

2 3 2? ? , ?. 2 ? ? 2 2 3 2? ? 答案:?- , ? 2 ? ? 2 三、解答题(本大题共 5 小题,共 55 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 10 分)已知 a,b,c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2). (1)若|c|=2 5,且 c∥a,求 c 的坐标; 5 (2)若|b|= ,且 a+2b 与 2a-b 垂直,求 a 与 b 的夹角 θ . 2 解:(1)由 a=(1,2),得|a|= 1 +2 = 5, 又|c|=2 5,所以|c|=2|a|. 又因为 c∥a,所以 c=±2a, 所以 c=(2,4)或 c=(-2,-4). (2)因为 a+2b 与 2a-b 垂直,所以(a+2b)?(2a-b)=0, 5 5 2 2 即 2|a| +3a?b-2|b| =0,将|a|= 5,|b|= 代入,得 a?b=- . 2 2
2 2

a?b =-1,又由 θ ∈[0,π ],得 θ =π ,即 a 与 b 的夹角为 π . |a|?|b| 17.(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,4),B(-2,3),C(2,
所以 cos θ = -1). → → → → (1)求AB,AC及|AB+AC|; → → → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)⊥OC,求 t 的值. 解: (1)因为 A(1,4),B(-2,3),C(2,-1). → → → → 所以AB=(-3,-1),AC=(1,-5),AB+AC=(-2,-6), → → 2 2 |AB+AC|= (-2) +(-6) =2 10. → → → → → → (2)因为(AB-tOC)⊥OC,所以(AB-tOC)?OC=0, → → →2 → → 即AB?OC-tOC =0,因为AB?OC=-3?2+(-1)?(-1)=-5, →2 OC =22+(-1)2=5,所以-5-5t=0,所以 t=-1. → → → → → → → → 18.(本小题满分 10 分)已知向量OP1、OP2、OP3满足条件OP1+OP2+OP3=0,|OP1|=|OP2 → |=|OP3|=1. 求证:△P1P2P3 是正三角形.
10

→ → → 证明:因为OP1+OP2+OP3=0, → → → 所以OP1+OP2=-OP3, → → 2 → 2 → 2 → 2 → → → 2 所以(OP1+OP2) =(-OP3) ,所以|OP1| +|OP2| +2OP1?OP2=|OP3| , → → 1 OP1?OP2 1 → → 所以OP1?OP2=- ,又 cos∠P1OP2= =- ,所以∠P1OP2=120°. 2 → → 2 |OP1|?|OP2| → → → 所以|P1P2|=|OP2-OP1|= → → 2 (OP2-OP1) =

OP12+OP22-2OP1?OP2= 3.









→ → 同理可得|P2P3|=|P3P1|= 3. 故△P1P2P3 是等边三角形. 19.(本小题满分 12 分)已知正方形 ABCD,E、F 分别是 CD、AD 的中点,BE、CF 交于点 P.求证: (1)BE⊥CF; (2)AP=AB. 证明:如图建立直角坐标系 xOy,其中 A 为原点,不妨设 AB=2,

则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1). → → → (1)BE=OE-OB=(1,2)-(2,0)=(-1,2), → → → CF=OF-OC=(0,1)-(2,2)=(-2,-1), → → 因为BE?CF=-1?(-2)+2?(-1)=0, → → 所以BE⊥CF,即 BE⊥CF. → → (2)设 P(x,y),则FP=(x,y-1),CF=(-2,-1), → → 因为FP∥CF,所以-x=-2(y-1),即 x=2y-2. → → 同理,由BP∥BE,得 y=-2x+4,代入 x=2y-2. 6 8 ?6 8? 解得 x= ,所以 y= ,即 P? , ?. 5 5 ?5 5? 2 8 2 →2 ?6? →2 ? ? 所以AP =? ? +? ? =4=AB , ?5? ?5? → → 所以|AP|=|AB|,即 AP=AB. 20.(本小题满分 13 分)(1)如图,设点 P,Q 是线段 AB 的三等分点, → → → → → → → → 若OA=a,OB=b,试用 a,b 表示OP,OQ,并判断OP+OQ与OA+OB的关系. (2)受(1)的启示,如果点 A1,A2,A3,?,An-1 是 AB 的 n(n≥3)等分 点,你能得到什么结论?请证明你的结论. → → → → 1→ 解:(1)OP=OA+AP=OA+ AB 3 1 2 1 → → → → → 2 1 =OA+ (OB-OA)= OA+ OB= a+ b. 3 3 3 3 3

11

→ 1 2 同理OQ= a+ b. 3 3 → → → → OP+OQ=a+b=OA+OB. → → → → → → (2)结论:OA1+OAn-1=OA2+OAn-2=?=OA+OB. 证明如下: → → → → 1→ 由(1)可推出OA1=OA+AA1=OA+ AB

n

n-1 → 1 → → 1 → → =OA+ (OB-OA)= OA+ OB, n n n
→ n-1 1 所以OA1= a+ b,

n

n

1 n-1 → 同理OAn-1= a+ b,

n

n

→ → → → 所以OA1+OAn-1=a+b=OA+OB. n-2 2 又 OA2= a+ b,

n

n

2 n-2 → OAn-2= a+ b, n n → → → → 所以OA2+OAn-2=a+b=OA+OB,?, → → → → → → 因此有OA1+OAn-1=OA2+OAn-2=?=OA+OB.

12


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